☉浙江余姚市第八中學(xué) 楊惠惠

復(fù)習(xí)教學(xué)有很多模式，教師往往采用過很多方式進(jìn)行復(fù)習(xí)教學(xué)，準(zhǔn)備了各種知識整理和變式探索，旨在提升學(xué)生解決問題的能力.從當(dāng)下高三復(fù)習(xí)教學(xué)的現(xiàn)狀分析，我們發(fā)現(xiàn)常態(tài)課的復(fù)習(xí)教學(xué)仍舊主要是傳統(tǒng)的分析模式，即教師完備的整理設(shè)計結(jié)合試題分析講解，滲透變式教學(xué)為主的復(fù)習(xí)，成為主流教學(xué)方式.可以這么說，這是中學(xué)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)有效高效的典型方式，這是其最大的優(yōu)點.另一方面，其對于學(xué)生而言最大的缺陷恰恰是教師的全部包辦，這種教學(xué)方式在短時間內(nèi)訓(xùn)練了學(xué)生的解題能力，但是缺乏學(xué)生思維素養(yǎng)的培養(yǎng)，更多的時候?qū)W生是對知識操作的熟練，而非自身對知識結(jié)構(gòu)和整合的理解.

眾所周知，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)到達(dá)一定程度需要的是對思維的培養(yǎng)和訓(xùn)練，因此教師改革復(fù)習(xí)教學(xué)的方式，在教師引導(dǎo)下讓學(xué)生嘗試對題目進(jìn)行變式，進(jìn)而能夠在教師給出部分題目的情況下，補充完整題目，對問題進(jìn)行拆解、分析、改編、變式，讓學(xué)生多思維參與成為真正復(fù)習(xí)教學(xué)的主人.

一、“變式型”設(shè)問

變式教學(xué)是中國數(shù)學(xué)教學(xué)的優(yōu)良傳統(tǒng)，其最大的優(yōu)勢在于將知識的如何使用在不同情境背景下的問題中充分展示出來了，讓復(fù)習(xí)教學(xué)變得簡捷高效.

1.對比型變式

案例背景：恒成立問題與存在性問題模型的復(fù)習(xí)求解.

原命題?（fx）max≤g（b）min，問題的關(guān)鍵在于求解兩個獨立函數(shù)的最值，通過最值解決實數(shù)m的取值范圍.本題是雙“任意”，可以對問題進(jìn)行深化為：“雙存在”或一“任意”一“存在”.

評價：雙變量的任意性、存在性問題是中學(xué)數(shù)學(xué)比較普遍的問題，通過互動提問，我們發(fā)現(xiàn)都可以轉(zhuǎn)化為參變分離下的函數(shù)最值研究，這是問題的本質(zhì).

2.等價型變式

例2若函數(shù)f（x）=ax-x-a（a＞0且a≠1）有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍.

案例背景：函數(shù)零點與方程的根復(fù)習(xí)課.

學(xué)生分析：根據(jù)函數(shù)零點的定義可知，函數(shù)f（x）的零點等價于方程f（x）=0的根，也是函數(shù)f（x）的圖像與x軸交點的橫坐標(biāo)，因此問題的等價轉(zhuǎn)化變得很重要.

互動提問：（1）若方程ax-x-a=0（a＞0且a≠1）有兩個不同的解，求實數(shù)a的取值范圍；（2）函數(shù)f（x）=ax-x-a（a＞0且a≠1）的圖像與x軸的有兩個交點，求實數(shù)a的取值范圍；（3）若函數(shù)y=ax（a＞0且a≠1）的圖像與函數(shù)y=x+a（a＞0且a≠1）的圖像有兩個不同的交點，求實數(shù)a的取值范圍.

評價：通過問題分析，我們不難發(fā)現(xiàn)原命題和問題（1）（2）雖然等價，但是真正解決起來并非簡單到位，因此需要我們不斷將其轉(zhuǎn)化，這種轉(zhuǎn)化正是以學(xué)生互動提問的方式進(jìn)行的，幫助思維程度較多的學(xué)生一步一步實現(xiàn)這一轉(zhuǎn)化.筆者認(rèn)為，這一模式最大的幫助在于將知識進(jìn)行了“口語化”交流，提升了思維的含量，若僅僅以問題訓(xùn)練的復(fù)習(xí)方式，學(xué)生獲得的思維提升是有限的.

二、“填空型”設(shè)問

這一方式是互動提問的新形式，教師在選擇性、開放性問題中，設(shè)計了部分空缺的方式，讓試題呈現(xiàn)多元的方向，請學(xué)生補足條件，從而獲得解決的可能.這里提供了學(xué)生思維的想象空間，不同的學(xué)生呈現(xiàn)的恰恰是完全不同的思路，將這些不同的想法進(jìn)行歸納、反饋、整理，我們能獲得問題更多的開放性，也能獲得解決問題的一類或多類方式.

1.條件補充式

例3 直線l：y=2x+b與拋物線C：y2=4x相交于A，B兩點，_______，求直線l的方程.

案例背景：高三第一輪解析幾何復(fù)習(xí)——直線與拋物線的位置關(guān)系.

學(xué)生分析：拋物線C：y2=4x為定曲線，直線l：y=2x+b為斜率恒定，但縱截距不定，如果需要確定直線，可以再確定直線上的一個點，直線在移動的過程中變化的還有弦AB的長度.

互動提問：（1）l經(jīng)過拋物線C的焦點；（2） 弦AB的中點橫坐標(biāo)為4；（3）|AB|=8；（4）OA⊥OB（其中O為坐標(biāo)原點）；（5）點A到準(zhǔn)線的距離為5.

評價：本例設(shè)置了開放性的設(shè)計，請問如何確定直線？這里不同層次的學(xué)生顯然給出了不同的可能性，可以從焦點的角度去思考，即互動提問的第一個問題；也可以從弦中點的角度去思考，即互動提問的第二個問題；當(dāng)然更好的學(xué)生分析得更為富足的變化，如長度關(guān)系、垂直關(guān)系、準(zhǔn)線角度等等，這樣相應(yīng)的知識運用就豐富了許多，可以涉及常見的韋達(dá)定理、焦點弦、弦中點、垂直問題的轉(zhuǎn)化、定義的使用等等，學(xué)生可以從自我分析的視角，提升了知識在頭腦中運用的程度，這是一種更高層次的運用，對于學(xué)生來說，思維的提升遠(yuǎn)比問題的熟練來得重要.

2.目標(biāo)補充式

案例背景：導(dǎo)數(shù)應(yīng)用復(fù)習(xí)課.

學(xué)生分析：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用主要是求函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值，上面這個函數(shù)是個不含參的三次函數(shù)，可以構(gòu)造一些簡單的考查導(dǎo)數(shù)基本應(yīng)用的三個問題.

互動提問：（1）f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）f（x）的極值；（3）f（x）在［0，3］上的最值.

學(xué)生分析：如果函數(shù)中含參，那么單調(diào)區(qū)間、極值、最值都是不確定的；如果要求就需要分類討論，或者加上一些條件，比如說已知單調(diào)性，或者縮小區(qū)間的范圍都可以構(gòu)成求參數(shù)a的取值范圍的問題.

互動提問：（1）討論f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）討論f（x）的極值；（3）求f（x）在［0，3］上的最值；（4）若f（x）在R上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；（5）若f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；（6）若f（x）有三個單調(diào)區(qū)間，求a的取值范圍；（7）若f（x）＞0在x∈［-1，1］上恒成立，求a的取值范圍.

評價：問題（1）（2）（3）是直接利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值.但是我們知道，導(dǎo)數(shù)問題的更高、更廣的要求是涉及變量參數(shù)的求解，因此需要對其加以限定來獲得新的問題的設(shè)計.學(xué)生能夠在這一程度上的設(shè)計普遍是較弱的，需要教師進(jìn)一步引導(dǎo)和改編，這里后續(xù)問題有部分是教師提供的，師生互動問題的設(shè)計也大大提升了復(fù)習(xí)教學(xué)的趣味性.

三、“開放型”設(shè)問

上面的兩種設(shè)問方式都是在教師給出一定題目框架的基礎(chǔ)上，學(xué)生進(jìn)行的再設(shè)計，下面探討的則是更加開放型的設(shè)問，讓學(xué)生有更大的自由空間.教師只給出設(shè)問的主題，比如某個知識點或方法技能設(shè)計問題，不對題目的數(shù)據(jù)、形式等作過多的要求，讓學(xué)生發(fā)揮主觀能動性和想象力，去構(gòu)建符合主題的問題，體會問題產(chǎn)生的過程，了解問題的本質(zhì).

例5 計數(shù)原理、排列組合綜合復(fù)習(xí)（請一位學(xué)生先自由設(shè)計一個問題，其他學(xué)生在第一個問題的基礎(chǔ)上加工變化）.

案例背景：計數(shù)原理、排列組合綜合復(fù)習(xí).

學(xué)生分析：計數(shù)原理有分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理；排列是從n個不同元素中選出m（m≤n）個元素，排成一列；組合是從n個不同元素中選出m（m≤n）個元素，合成一組.

互動提問：（1）5個不同的小球放入4個不同的盒子里，有多少種不同的放法？（2）5個不同的小球放入4個不同的盒子里，每個盒子至少一個，有多少種不同的放法？（3）5個不同的小球放入4個不同的盒子里，恰有一個空盒子，有多少種不同的放法？（4）5個相同的小球放入4個不同的盒子里，有多少種不同的放法？（5）5個相同的小球放入4個不同的盒子里，每個盒子至少一個，有多少種不同的放法？（6）5個相同的小球放入4個不同的盒子里，恰有一個空盒子，有多少種不同的放法？（7）5個編號為1、2、3、4、5的小球放入編號為1、2、3、4、5的5個盒子里，每個盒子一個小球，其中1號小球不放在1號盒子，2號小球不放在5號盒子里，有多少種不同的放法？……

評價：排列組合問題涉及不同元素的選取問題，也是將不同元素改變?yōu)橄嗤?把單一的排列或者組合問題設(shè)計成需要分類討論，使用分類加法計數(shù)原理的問題，也可以設(shè)計成先組后排的組合性問題，或者對特別的幾個元素有限制的等等.第一位學(xué)生給出問題（1），其他學(xué)生在此問題的基礎(chǔ)上不斷進(jìn)行變化.由于計數(shù)原理部分的內(nèi)容更加貼近生活，學(xué)生對這一部分內(nèi)容有更大的想象空間和創(chuàng)造空間.創(chuàng)設(shè)問題、解決問題的工作可以交給學(xué)生來完成，教師在課堂教學(xué)中充當(dāng)問題的發(fā)起者、組織者和整理者.

“互動提問式”教學(xué)模式本身是一種探索性的嘗試，可以這么說，筆者認(rèn)為復(fù)習(xí)課的教學(xué)方式必須是多樣化的、多元化的.對于教師來說，一承不變的傳統(tǒng)復(fù)習(xí)教學(xué)勢必降低了學(xué)習(xí)的興趣和味道，融入新的方式正是為了提高數(shù)學(xué)教學(xué)的效率；對于學(xué)生來說，不善思考的被動接受式傳統(tǒng)復(fù)習(xí)教學(xué)，讓學(xué)生在課堂上昏昏欲睡，有效的主動的互動提問，是提升學(xué)習(xí)注意力、知識全面性的好方法.從課堂教學(xué)的實際操作來看，學(xué)生的創(chuàng)意較多、教師的課堂教學(xué)變得輕松，讓復(fù)習(xí)教學(xué)充滿新奇的元素，也讓學(xué)生的思維獲得進(jìn)一步的發(fā)展.

1.殷偉康.新課程理念下“問題情境”的有效教學(xué)問題與思考.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2010（1）.

2.劉興東.妙學(xué)不在題多少 善學(xué)還從習(xí)慣始.數(shù)學(xué)通訊，2011（6）.