鄧秀蔭

（龍巖一中分校，福建 龍巖 364000）

數(shù)學(xué)的整體性體現(xiàn)在代數(shù)、幾何、三角等各部分內(nèi)容之間的相互聯(lián)系上，同時(shí)也體現(xiàn)在同一部分內(nèi)容中知識(shí)的前后邏輯關(guān)系上。學(xué)生的學(xué)習(xí)是循序漸進(jìn)的，概念要逐個(gè)學(xué)，知識(shí)要逐步教。如何處理好這種矛盾，是教學(xué)中的核心問(wèn)題。單元整體教學(xué)的構(gòu)想，要打破傳統(tǒng)的教學(xué)思路，破除“一課一學(xué)”的局面，運(yùn)用系統(tǒng)、聯(lián)系的觀點(diǎn)看待教學(xué)，通過(guò)知識(shí)體系、單元主題、知識(shí)邏輯關(guān)系、數(shù)學(xué)規(guī)律方法、數(shù)學(xué)思想、解題思路等內(nèi)在聯(lián)系將教學(xué)內(nèi)容加以整合，實(shí)施單元整體教學(xué)，節(jié)省教學(xué)時(shí)間，突出學(xué)科素養(yǎng)培養(yǎng)，提高學(xué)習(xí)整體效益。筆者將以《銳角三角函數(shù)（第1課時(shí)）》教學(xué)為例，說(shuō)明在教學(xué)中滲透單元整體教學(xué)理念、致力發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的實(shí)踐體會(huì)。

一、注重章引言教學(xué)，創(chuàng)設(shè)情境引入核心內(nèi)容

數(shù)學(xué)的發(fā)展來(lái)源于實(shí)際需要或數(shù)學(xué)內(nèi)部的需要。為了體現(xiàn)本章核心知識(shí)的自然性以及學(xué)習(xí)的必要性，注意從實(shí)際問(wèn)題或數(shù)學(xué)問(wèn)題出發(fā)，通過(guò)創(chuàng)設(shè)適當(dāng)情境加以引入。

環(huán)節(jié)1：如何引出本章的主要內(nèi)容

章引言從比薩斜塔糾偏的實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，研究用塔身中心線(xiàn)與垂直中心線(xiàn)所成的角來(lái)描述比薩斜塔的傾斜程度的問(wèn)題，引出本章所要研究的主要內(nèi)容。

從數(shù)學(xué)角度看，上述問(wèn)題就是：已知直角三角形的某些邊長(zhǎng)，求其銳角的底數(shù)。對(duì)于直角三角形的邊角關(guān)系，已經(jīng)研究了什么，還可以研究什么？本章在前面已經(jīng)研究了直角三角形中三邊之間的關(guān)系、兩個(gè)銳角之間的關(guān)系的基礎(chǔ)上，通過(guò)引進(jìn)銳角三角函數(shù)建立了直角三角形中邊與角之間的關(guān)系，使學(xué)生全面掌握直角三角形的組成要素（邊、角）之間的關(guān)系，并綜合運(yùn)用銳角三角函數(shù)、勾股定理等知識(shí)解決與直角三角形有關(guān)的度量問(wèn)題。

環(huán)節(jié)2：引出研究直角三角形中邊角關(guān)系的具體內(nèi)容和方式

從什么角度研究直角三角形中邊角之間的關(guān)系，以及建立邊與角之間的何種關(guān)系，是引入銳角三角函數(shù)時(shí)的首要問(wèn)題，也是關(guān)鍵環(huán)節(jié)。

問(wèn)題如圖，為了綠化荒山，市綠化辦打算從位于山腳下的機(jī)井房沿著山坡鋪設(shè)水管，對(duì)坡面的綠地進(jìn)行噴灌?，F(xiàn)測(cè)得斜坡與水平面所成角的度數(shù)是30°，為使出水口的高度為35 m，那么需要準(zhǔn)備多長(zhǎng)的水管？

在解決這個(gè)實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，需要用到結(jié)論“在直角三角形中，30°角所對(duì)的邊是斜邊的一半”，其等價(jià)形式為“在直角三角形中，30°角所對(duì)的邊與斜邊的比總是常數(shù)”，后者反映了直角三角形中30°角和該角的對(duì)邊與斜邊的比之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

由此獲得啟示，建立直角三角形中邊角之間的關(guān)系，可以通過(guò)研究銳角和它的對(duì)邊與斜邊的比之間的關(guān)系進(jìn)行，從而引出研究直角三角形中邊角關(guān)系的具體內(nèi)容和方式。

二、按認(rèn)識(shí)規(guī)律設(shè)計(jì)教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生系統(tǒng)思維

以數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程為載體，按學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律設(shè)計(jì)教學(xué)，使學(xué)生經(jīng)歷研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的基本過(guò)程，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)識(shí)和解決問(wèn)題的能力。培養(yǎng)系統(tǒng)思維，是為了使學(xué)生養(yǎng)成全面思考問(wèn)題的習(xí)慣，避免“見(jiàn)木不見(jiàn)林”，進(jìn)而使學(xué)生在面對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，能把解決問(wèn)題的目標(biāo)、實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的過(guò)程、解決過(guò)程的優(yōu)化以及對(duì)問(wèn)題的拓展、深化等作為一個(gè)整體進(jìn)行研究。這樣，“使學(xué)生學(xué)會(huì)思考，成為善于認(rèn)識(shí)和解決問(wèn)題的人才”的教學(xué)目標(biāo)就能落在實(shí)處。

環(huán)節(jié)3：銳角三角函數(shù)的定義過(guò)程

以“比薩斜塔糾偏問(wèn)題”引入，以“對(duì)于直角三角形，我們已經(jīng)知道三邊之間、兩個(gè)銳角之間的關(guān)系，它的邊角之間有什么關(guān)系呢？”提出問(wèn)題，然后研究銳角的正弦，再給出銳角的余弦、正切。

環(huán)節(jié)4：銳角的正弦的定義

先利用“直角三角形中，30°角所對(duì)的邊是斜邊的一半”，得到30°角所對(duì)的邊與斜邊的比值；再討論45°、60°角所對(duì)的邊與斜邊的比值；然后討論一般情況：相似直角三角形中，一個(gè)銳角的對(duì)邊與斜邊的比，隨著這個(gè)銳角的變化而變化，隨著它的確定而唯一確定，把Rt△ABC中銳角A的對(duì)邊與斜邊的比叫做∠A的正弦。

環(huán)節(jié)5：銳角三角函數(shù)概念的展開(kāi)

1.課題的引入。從實(shí)際需要看（比薩斜塔糾偏問(wèn)題）；從數(shù)學(xué)內(nèi)部看（以往討論了直角三角形邊與邊的關(guān)系、角與角的關(guān)系，邊與角有沒(méi)有確定的關(guān)系）。

2.概念屬性的歸納。從最熟悉的問(wèn)題開(kāi)始：在直角三角形中，30°角所對(duì)的邊與斜邊的比值是1/2。

思考：由這個(gè)結(jié)論能解決什么問(wèn)題？

當(dāng)∠A=30°時(shí)，已知斜邊就可求出∠A的對(duì)邊，反之亦然。

在直角三角形中，當(dāng)∠A的度數(shù)分別為45°、60°時(shí)，銳角A的對(duì)邊與斜邊的比是多少？由此能解決什么問(wèn)題？

猜想：在直角三角形中，任意給定銳角A，∠A的對(duì)邊與斜邊的比值是否為一個(gè)確定的值？

進(jìn)一步猜想：在直角三角形中，任意給定銳角A，∠A的鄰邊與斜邊的比值、∠A的對(duì)邊與鄰邊的比值是否也都是一個(gè)確定的值？

《幾何畫(huà)板》演示、探索與驗(yàn)證，然后證明。

歸納：在Rt△ABC中，當(dāng)銳角A的度數(shù)一定時(shí)，無(wú)論三角形的大小如何，∠A的對(duì)邊與斜邊的比都是一個(gè)固定值，∠A的鄰邊與斜邊的比值、∠A的對(duì)邊與鄰邊的比值也都是一個(gè)固定值。

3.概念的明確與表示。下定義，用符號(hào)表示。

4.概念的辨析。（1）∠A為 Rt△ABC的銳角，△ABC的大小可以變化，但∠A的對(duì)邊與斜邊的比值不變，即對(duì)于每一個(gè)銳角A都有唯一確定的比值與之對(duì)應(yīng)，這個(gè)比值叫做∠A的正弦；∠A的鄰邊與斜邊的比值不變，即對(duì)于每一個(gè)銳角A都有唯一確定的比值與之對(duì)應(yīng)，這個(gè)比值叫做∠A的余弦；∠A的對(duì)邊與鄰邊的比值不變，即對(duì)于每一個(gè)銳角A都有唯一確定的比值與之對(duì)應(yīng)，這個(gè)比值叫做∠A的正切。

（2）符號(hào)sin A，cosA，tanA的理解:一個(gè)由A唯一確定的數(shù)，如sin30°=1/2 等。

（3）銳角三角函數(shù)定義中，sinA不是sin與A的乘積，sinA是一個(gè)整體，表示∠A的正弦、余弦、正切類(lèi)似。

5.概念的鞏固應(yīng)用。已知直角三角形的邊求銳角三角函數(shù)值等。

在《語(yǔ)言、語(yǔ)境和語(yǔ)篇》（Halliday&Hasan 1985）一書(shū)中，Hasan擴(kuò)大了銜接概念的覆蓋范圍，把銜接分為非結(jié)構(gòu)銜接和結(jié)構(gòu)銜接。非結(jié)構(gòu)銜接中的成分銜接包括指稱(chēng)、省略、連接詞語(yǔ)和詞匯銜接。結(jié)構(gòu)銜接是指平行對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)、主位—述位結(jié)構(gòu)、已知信息—新信息結(jié)構(gòu)。

6.概念的精致。解直角三角形。

三、加強(qiáng)探究過(guò)程，揭示概念內(nèi)涵，發(fā)展思維能力

對(duì)一些在重要知識(shí)點(diǎn)或關(guān)鍵環(huán)節(jié)，提供學(xué)生探索交流的空間，發(fā)展學(xué)生的思維能力。

本節(jié)的一個(gè)重要教學(xué)目標(biāo)是使學(xué)生探究并理解銳角三角函數(shù)的概念，教學(xué)中讓學(xué)生充分經(jīng)歷“實(shí)際問(wèn)題引入—研究特殊直角三角形—研究一般直角三角形—給出銳角的正弦概念”的定義過(guò)程，在探究直角三角形中銳角的對(duì)邊與斜邊之比的不變性上下足功夫。

這樣的探究過(guò)程可以幫助學(xué)生理解銳角三角函數(shù)的內(nèi)涵：銳角三角函數(shù)建立了直角三角形中邊與角之間的關(guān)系，具體地，在直角三角形中，對(duì)于一個(gè)確定的銳角，它的正弦、余弦、正切分別表示這個(gè)銳角的對(duì)邊與斜邊之比、鄰邊與斜邊之比、對(duì)邊與鄰邊之比，它們分別都是確定的值。

四、注重揭示知識(shí)間的聯(lián)系，呈現(xiàn)研究問(wèn)題的方法

相似三角形的性質(zhì)是銳角三角函數(shù)概念的基礎(chǔ)，只有利用“相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例”才能得到銳角三角函數(shù)定義的合理性，在給出銳角三角函數(shù)定義的過(guò)程中必須充分利用這一知識(shí)聯(lián)系性。

在“理解概念，鞏固提高”環(huán)節(jié)中，設(shè)計(jì)如下例題與練習(xí)：

如右圖，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，AB=13，BC=5，求 sin A，cosA，tanA的值。

變式：如圖（與例題同），在

Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC=12，BC=5，求∠B的正弦值、余弦值和正切值。

思考：觀察例題與變式的題目和計(jì)算結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)了什么?

鞏固練習(xí)：

1.判斷下列結(jié)論是否正確，并說(shuō)明理由。

（1）如圖1，sinA=0.6m 。（ ）

（2）在Rt△ABC中，銳角A的對(duì)邊和鄰邊同時(shí)擴(kuò)大100倍，tanA的值也擴(kuò)大100倍。（ ）

（3）如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，則

（4）如圖3所示，△ABC的頂點(diǎn)是正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)，則sin

通過(guò)例題與變式，鞏固銳角三角函數(shù)概念，規(guī)范學(xué)生的解題格式；引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)總結(jié)解題關(guān)鍵，注意觀察題目條件的變化、總結(jié)結(jié)論之間的關(guān)系；通過(guò)鞏固練習(xí)，進(jìn)一步鞏固銳角三角函數(shù)概念，加深對(duì)它們的理解；引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)總結(jié)解題關(guān)鍵和注意事項(xiàng)，總結(jié)解題方法，提高解題能力；從中體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想解決問(wèn)題。

在“歸納小結(jié)，反思提升”環(huán)節(jié)中，設(shè)計(jì)如下問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生梳理學(xué)習(xí)內(nèi)容，及時(shí)歸納總結(jié)研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的思路，提煉學(xué)習(xí)過(guò)程中的數(shù)學(xué)思想方法，學(xué)會(huì)研究問(wèn)題的方法。

1.本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)？

2.研究銳角正弦的思路是如何構(gòu)建的？

3.你學(xué)到哪些研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的思想方法？

在“布置作業(yè)，拓展提升”環(huán)節(jié)中，作業(yè)設(shè)計(jì)分必做題與選做題，滿(mǎn)足不同層次學(xué)生需求；設(shè)計(jì)例題、鞏固練習(xí)的變式題、拓展提高題，加強(qiáng)知識(shí)間的聯(lián)系，有利于拓展學(xué)生思維。

五、加強(qiáng)與實(shí)際問(wèn)題的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識(shí)

銳角三角函數(shù)和解直角三角形是緊密聯(lián)系的，銳角三角函數(shù)是解直角三角形的基礎(chǔ)，解直角三角形的理論又為解決一些實(shí)際問(wèn)題提供了強(qiáng)有力的工具。因此教學(xué)中應(yīng)注意加強(qiáng)與實(shí)際的聯(lián)系。

例如，本節(jié)課通過(guò)比薩斜塔引出本章的主要內(nèi)容；利用確定山坡上所鋪設(shè)的水管的長(zhǎng)度問(wèn)題引出銳角的正弦。

六、注意數(shù)形結(jié)合，發(fā)展學(xué)生幾何直觀和想象能力

銳角三角函數(shù)的一個(gè)突出特點(diǎn)是其概念的產(chǎn)生和應(yīng)用都與圖形有著密切的聯(lián)系。銳角三角函數(shù)具有鮮明的幾何意義，其自變量是銳角，函數(shù)值是直角三角形中兩條邊的比值，因此本章內(nèi)容是體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的良好載體。

例如，對(duì)于銳角三角函數(shù)的概念，利用學(xué)生對(duì)直角三角形的認(rèn)識(shí)（在直角三角形中，30°角所對(duì)的邊等于斜邊的一半，有一個(gè)銳角為45°的直角三角形是等腰直角三角形）以及相似三角形的有關(guān)知識(shí)引入的，結(jié)合幾何圖形來(lái)定義銳角三角函數(shù)的概念，將數(shù)形結(jié)合起來(lái)，有利于學(xué)生理解銳角三角函數(shù)的本質(zhì)。

［1］鄧秀蔭.單元整體教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法的研究［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2015（10）.

［2］章建躍.整體性、系統(tǒng)思維與核心素養(yǎng)［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)，2016（10）.

［3］姜風(fēng)平，侯丙生.換一種教法：?jiǎn)卧w課程實(shí)施與評(píng)價(jià)（初中數(shù)學(xué)）［M］.濟(jì)南：山東文藝出版社，2013.