張建軍++宋業(yè)新++紀(jì)祥鯤

摘 要：本文研究了“由果析因”法對(duì)提高數(shù)學(xué)競(jìng)賽中解題水平的作用。分析了數(shù)學(xué)競(jìng)賽培訓(xùn)中提高學(xué)生分析問題和解決問題能力的重要性，通過典型實(shí)例闡明了求解數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題時(shí)如何運(yùn)用這一方法有效地、有針對(duì)性地對(duì)問題進(jìn)行科學(xué)分析，并確定出解決問題的路線和方法，幫助參賽學(xué)生更深刻地理解和掌握數(shù)學(xué)競(jìng)賽中這一重要的思維方法，有助于培養(yǎng)其良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)競(jìng)賽 高等數(shù)學(xué) 羅爾定理 分析問題 解決問題

中圖分類號(hào)：O172 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2017）11（a）-0231-02

全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽從2009年開始至今已經(jīng)舉辦了八屆，作為全國(guó)性的高水平學(xué)科競(jìng)賽，為大學(xué)生提供了一個(gè)展示其數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)基本功的平臺(tái)，對(duì)創(chuàng)新人才的選拔意義重大。數(shù)學(xué)競(jìng)賽重在考核學(xué)生運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)基本理論和基本方法分析問題和解決問題的能力，該項(xiàng)競(jìng)賽在同類競(jìng)賽中當(dāng)屬難度最高。我們指導(dǎo)學(xué)生參加該項(xiàng)競(jìng)賽多年，在歷次競(jìng)賽特別是近三年中所指導(dǎo)的學(xué)生參加決賽均取得佳績(jī)，其成績(jī)?cè)谌珖?guó)名列前茅?？偨Y(jié)該項(xiàng)賽事培訓(xùn)工作的實(shí)踐，我們深深感到，要使得學(xué)生在這種重大的單兵作戰(zhàn)的賽事中，在短短的3個(gè)小時(shí)的時(shí)間內(nèi)，高質(zhì)量地完成一系列具有相當(dāng)難度的、平時(shí)培訓(xùn)和訓(xùn)練中極難見到的難題，殊非易事。很多在高等數(shù)學(xué)的課程考試中獲得過優(yōu)異成績(jī)的學(xué)生，在競(jìng)賽中對(duì)于考核基本功的常規(guī)題型，往往能應(yīng)付自如；但一旦遇到從未見到過的題型，就頓時(shí)慌了手腳，不知從何下手，難以考出好的成績(jī)。為避免出現(xiàn)這種現(xiàn)象，一方面需要在高等數(shù)學(xué)課程的日常教學(xué)中為學(xué)生掌握基本理論和基本方法狠下功夫；更重要的是在進(jìn)行競(jìng)賽的培訓(xùn)授課時(shí)，教師不僅要在問題的寬度和深度上狠下功夫，特別要將重點(diǎn)放在培養(yǎng)學(xué)生掌握求解數(shù)學(xué)問題的一系列科學(xué)的方法上面，這種方法可以簡(jiǎn)單地稱之為“解題的數(shù)學(xué)思維方法”，使得學(xué)生掌握了這種解題的基本思想方法以后，再遇到從未見到的所謂“難題、新題”時(shí)，不會(huì)感到束手無(wú)策，而是能有條不紊地、有針對(duì)性地對(duì)問題進(jìn)行科學(xué)分析，確定出解決問題的路線和方法，再運(yùn)用其嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评砟芰涂焖贉?zhǔn)確的計(jì)算能力，難題就能迎刃而解了。

1 求解問題的“由果析因”法

本文所提的“由果析因”法，指“由結(jié)果分析原因”的一種思想方法，指的是學(xué)生在扎實(shí)掌握學(xué)科的基本理論和基本方法的基礎(chǔ)上，對(duì)于要求解的各種問題，通過科學(xué)地、有效地分析問題尋求的目標(biāo)或“果”（即問題中欲證明的結(jié)論或欲完成的計(jì)算），再采用啟發(fā)式和發(fā)散思維方法，多層面、多角度地分析其所反映的邏輯關(guān)系或數(shù)量關(guān)系，反向從題中的條件中尋求達(dá)到這一目標(biāo)的前提條件或“因”（即證明欲證結(jié)論或獲得計(jì)算結(jié)果的條件、方法）。實(shí)踐證明，在競(jìng)賽的培訓(xùn)工作中貫穿這一解題方法，能有益于學(xué)生科學(xué)性、流暢性、變通性和獨(dú)創(chuàng)性思維的形成，有效地培養(yǎng)他們分析問題的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，進(jìn)而真正提高其解決復(fù)雜問題的能力，在數(shù)學(xué)競(jìng)賽考試中獲得佳績(jī)。本文針對(duì)兩個(gè)典型的競(jìng)賽題型，重點(diǎn)介紹我們?nèi)绾螏椭鷮W(xué)生科學(xué)地運(yùn)用“由果析因”法去分析問題進(jìn)而解決問題的過程。

2 “由果析因”法求解數(shù)學(xué)競(jìng)賽題的具體做法

運(yùn)用“由果析因”法求解難題，教師首先應(yīng)該讓學(xué)生明白以下三點(diǎn)：第一是競(jìng)賽試題常常是難點(diǎn)重重，但無(wú)論多難、多新的問題，都必須也可以進(jìn)行科學(xué)的分析，沒有分析就不可能解決疑難問題，要養(yǎng)成分析的習(xí)慣；其次也是最關(guān)鍵的，如何分析問題是反復(fù)思考、自覺訓(xùn)練形成的一種數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，絕不是一日之功；最后，分析問題只是解決問題的前提，要解決問題，還要以嚴(yán)密的邏輯思維、快速準(zhǔn)確的計(jì)算作為基礎(chǔ)。教學(xué)實(shí)踐表明，將這幾個(gè)問題講透徹，學(xué)生才能自覺加強(qiáng)訓(xùn)練，在實(shí)際解題時(shí)就能不斷感受到解題能力的提高。

例1：設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，且，，證明：存在，使得。

分析：這是一道較難的題目，很多學(xué)生看到要證明的結(jié)論，完全沒有頭緒。首先，的表達(dá)式?jīng)]有給出，不能直接驗(yàn)證的存在性；其次，這里要證明的“果”是所謂的“中值”的存在性，容易讓學(xué)生聯(lián)想到羅爾定理等三大“中值定理”，但“果”中滿足的是不等式，運(yùn)用這些中值定理都很難奏效；再者，盡管泰勒定理有時(shí)可用于證明不等式，但要從題中尋求能運(yùn)用泰勒定理的“因”卻讓人失望，因?yàn)楹瘮?shù)僅在上連續(xù)，遠(yuǎn)遠(yuǎn)達(dá)不到具有高階導(dǎo)數(shù)這一條“因”；常規(guī)方法都卡了殼，困難出現(xiàn)了，因此需另辟蹊徑。

教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步深入分析：既然直接證法不奏效，若反過來(lái)想：“存在中值滿足不等式”的反面，正是“對(duì)于區(qū)間中的任意，反向不等式均成立”，可以看到，原來(lái)問題的“難”，有可能可以通過采用反證法化解；為什么呢？再深入分析，原來(lái)題中提供了所滿足的一組等式，它們可能就是我們要用的“因”。這樣，通過科學(xué)地分析問題，就找到了解決問題的方法——反證法，即：假設(shè)，均有。要提醒學(xué)生，這是一個(gè)廣泛性假定，因而可以被用于區(qū)間性的量（比如定積分）的計(jì)算或估計(jì)。同時(shí)，如何利用“由果析因”法去導(dǎo)致矛盾呢？其實(shí)，分析題中條件可見與任意次多項(xiàng)式相乘后在上的積分都很容易求得，比如，而求得的結(jié)果很有可能會(huì)與運(yùn)用上述假定獲得的結(jié)論相矛盾。這樣就在心中勾畫出解決問題的過程。

解：假設(shè)，均有。考慮積分，依題意，易見；但根據(jù)上述假定又有：

這就導(dǎo)致了矛盾！因此存在，使得。

證明如此之短。可以看出，正是有了對(duì)問題的科學(xué)分析，才導(dǎo)致了“簡(jiǎn)單明了”的證明。教師要使學(xué)生明白，分析是解決問題的關(guān)鍵，這一切都是“由果析因”法分析的結(jié)果！

有的學(xué)生一定會(huì)問：為何不直接用，或等形式更“簡(jiǎn)單”的積分去“導(dǎo)致”矛盾呢？教師可留下這個(gè)懸念，讓學(xué)生課后討論、親自算一算，看看究竟能不能導(dǎo)致矛盾，體會(huì)題中積分的妙處。其實(shí)，通過不斷的思維訓(xùn)練，把“由果析因”法內(nèi)化成為一種自覺的思維方法和數(shù)學(xué)素養(yǎng)，這也是競(jìng)賽培訓(xùn)的主要目的之一。

例2：若是實(shí)數(shù)集上的一個(gè)無(wú)窮次可微的函數(shù)，且 ，，試計(jì)算（）的值。

分析：要計(jì)算在處的各階導(dǎo)數(shù)，題中只給出了在序列中各點(diǎn)處的函數(shù)值，而沒給出其明確的表達(dá)式，那么能否由條件直接解出函數(shù)的表達(dá)式呢？怎么看都難以下手。該如何選擇具體的解題方法呢？endprint

其實(shí)我們并不需要的表達(dá)式，要計(jì)算問題的“果”即，只需利用已知條件（即問題的“因”）充分研究在的性態(tài)，逐步（可能是遞歸地）確定其在該點(diǎn)的各階導(dǎo)數(shù)值即可。事實(shí)上，由條件容易看出，與函數(shù)在處恰好有相同函數(shù)值，即函數(shù)在數(shù)列中各點(diǎn)處的函數(shù)值均為零，因此函數(shù)與函數(shù)在（恰好是數(shù)列的極限?。┑母麟A導(dǎo)數(shù)值會(huì)有密切關(guān)系。因此，通過“由果析因”法就找到了解決問題的“突破點(diǎn)”，即本題可采用輔助函數(shù)法，只要確定了函數(shù)在處的各階導(dǎo)數(shù)值，實(shí)際上也就求出了在處的各階導(dǎo)數(shù)。

問題轉(zhuǎn)化為確定在處的各階導(dǎo)數(shù)值，其實(shí)從（）出發(fā)，運(yùn)用羅爾定理就可以獲得一個(gè)新的趨于0的數(shù)列，且，再由的連續(xù)性，就可以求得了，余下的步驟就能水到渠成、一氣呵成了。以下簡(jiǎn)要揭示解決問題的過程：

解：令，則亦無(wú)窮次可微，依題意，；令，則是一個(gè)使（）的單調(diào)減少趨于0的數(shù)列，由羅爾定理可知，存在相應(yīng)的單調(diào)減少趨于0的數(shù)列，使得，，。

由于數(shù)列趨于0，由夾逼準(zhǔn)則知亦趨于0，再由無(wú)窮次可微可知，在處連續(xù)，因而；依次對(duì)函數(shù)采用上述同樣的方法，可得，。由于；上述結(jié)果表明與函數(shù)在恰好具有完全相同的各階導(dǎo)數(shù)值，即，。再由冪級(jí)數(shù)展開式（），可知：

通過上述兩個(gè)問題的教學(xué)設(shè)計(jì)，使學(xué)生看到了求解一個(gè)復(fù)雜問題的過程中，極限的夾逼準(zhǔn)則、羅爾中值定理、冪級(jí)數(shù)展開式、數(shù)學(xué)歸納思想等高等數(shù)學(xué)基本理論的綜合運(yùn)用；更重要的是，讓學(xué)生充分意識(shí)到分析問題的思想方法的極端重要性，使他們體會(huì)到“由果析因”法的魅力；如果僅僅是掌握了競(jìng)賽大綱中的知識(shí)體系要求的基本理論和方法，光是有較強(qiáng)的邏輯思維能力和計(jì)算能力，缺乏對(duì)問題進(jìn)行科學(xué)分析的素養(yǎng)，可能就會(huì)一直局限于會(huì)解一些常規(guī)的基本問題，要提高解題能力、在競(jìng)賽中勇創(chuàng)佳績(jī)就只能是一句空話。

問題的分析是解決問題的靈魂，授人以魚不如授人以漁。數(shù)學(xué)競(jìng)賽是一項(xiàng)高等級(jí)的學(xué)科競(jìng)賽，其培訓(xùn)工作極為重要。近年來(lái)的教學(xué)實(shí)踐表明，培訓(xùn)不能只是相應(yīng)理論和方法的簡(jiǎn)單堆砌和大量典型題的訓(xùn)練過程，還應(yīng)該把提高學(xué)生對(duì)問題快速科學(xué)地進(jìn)行分析進(jìn)而有效地解決問題的能力作為培訓(xùn)的中心和落腳點(diǎn)，相關(guān)的各種教學(xué)方法的研究必將對(duì)此起到很好的促進(jìn)作用。

參考文獻(xiàn)

[1] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].7版.北京：高等教育出版社，2014.

[2] 陳兆斗.大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽習(xí)題精講[M].北京：清華大學(xué)出版社，2010.

[3] 張建軍，胡偉文，沈靜.從一題多解看中值定理的應(yīng)用[J].科技創(chuàng)新導(dǎo)報(bào)，2014（1）：95-96.

[4] 段繼楊.創(chuàng)造性教學(xué)通論[M].長(zhǎng)春：吉林人民出版社，1999.endprint