司國星 閆麗娜

【摘要】兩個(gè)重要極限公式是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)內(nèi)容，在對這兩個(gè)重要極限公式進(jìn)行教學(xué)時(shí)，教師往往是先對這兩個(gè)重要極限公式的兩個(gè)準(zhǔn)則進(jìn)行教學(xué)，然后才能對這兩個(gè)重要極限公式進(jìn)行證明.這種教學(xué)方法不僅需要花費(fèi)大量的時(shí)間，而且推導(dǎo)性內(nèi)容較多，使學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中難以對這些推導(dǎo)過程進(jìn)行深刻理解，從而影響了教學(xué)效果.針對這種情況，本文通過在兩個(gè)重要極限公式教學(xué)中應(yīng)用MATLAB教學(xué)軟件，并充分引入數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，利用探索法來對這兩個(gè)重要極限公式的教學(xué)策略進(jìn)行深入淺出的探討.

【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué)；極限公式；教學(xué)策略

高等數(shù)學(xué)是本科院校中一門非常重要的學(xué)科，而在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，關(guān)于兩個(gè)重要極限公式的教學(xué)一直都是重點(diǎn)和難點(diǎn)內(nèi)容，由于在對這兩個(gè)重要極限公式進(jìn)行證明和推導(dǎo)過程中，推導(dǎo)過程復(fù)雜，并且非常抽象，再加上對這兩個(gè)重要極限公式的教學(xué)課時(shí)相對較少，學(xué)生沒有較多的時(shí)間去推導(dǎo)公式，從而給學(xué)生在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)中帶來了較大的難度，影響了學(xué)生的學(xué)習(xí)效果.而隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的不斷發(fā)展，MATLAB數(shù)學(xué)軟件得到了廣泛的應(yīng)用.本文通過應(yīng)用MATLAB數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行教學(xué)，并引入數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，利用探索法來對這兩個(gè)重要極限公式進(jìn)行講解，以此取得良好的教學(xué)效果.

一、第一重要極限公式的教學(xué)策略

（一）第一重要極限公式 limx→0sinxx=1左極限的教學(xué)探索

第一重要極限公式即 limx→0sinxx=1，本科院校在對第一重要極限公式進(jìn)行教學(xué)時(shí)，都會對夾逼定理進(jìn)行優(yōu)先講解，然后才會利用推導(dǎo)公式對定理進(jìn)行推導(dǎo)和證明.但是，由于推導(dǎo)過程中需要較多的推導(dǎo)過程，推導(dǎo)起來也較為復(fù)雜，而教師對推導(dǎo)的講解也非常抽象，這就使學(xué)生難以理解推導(dǎo)過程，從而加大了學(xué)生的難度.通常情況下，教師在對這一重要極限公式進(jìn)行講解時(shí)，都是先給出公式，然后利用多舉例的辦法使學(xué)生能夠熟悉公式，但這種教學(xué)方式需要占用的課時(shí)較多，并且學(xué)生理解起來也比較困難.而通過引入教學(xué)實(shí)驗(yàn)，并借助MATLAB數(shù)學(xué)軟件，采用探索法來對第一重要極限公式進(jìn)行探索.下面就對該重要極限公式的探索方法進(jìn)行講解.首先，需要先打開MATLAB數(shù)學(xué)軟件，并對MATLAB設(shè)置程序，在程序中分別定義極限函數(shù)、探索左極限，并用矩陣來對函數(shù)的對應(yīng)值進(jìn)行表示，通過對MATLAB數(shù)學(xué)軟件設(shè)置后的程序進(jìn)行運(yùn)行得出結(jié)果.在結(jié)果中x的取值非常重要，通過對x取值的修改能夠非常方便的探索出函數(shù)的極限.通過對結(jié)果進(jìn)行分析，我們發(fā)現(xiàn)在結(jié)果中x的取值都位于軟件的第一排，而第二排則代表著sinxx的取值，并通過進(jìn)一步研究，發(fā)現(xiàn)當(dāng)x的取值越往左側(cè)進(jìn)行排列，其取值數(shù)就越接近于0，而函數(shù)f（x）=sinxx的取值也就越接近1.此時(shí)，我們再次對MATLAB數(shù)學(xué)軟件的程序進(jìn)行修改，并設(shè)置探索左極限，通過對MATLAB數(shù)學(xué)軟件的程序進(jìn)行運(yùn)行和推導(dǎo)可以得到推導(dǎo)過程，此時(shí)，在軟件推導(dǎo)公式的第一排，顯示的是x的取值，而第二排則代表sinxx的取值.通過對推導(dǎo)過程進(jìn)行分析可以了解到，當(dāng)x的取值為-0.03時(shí)，sinxx的取值最終為0.999 9，這個(gè)函數(shù)值基本非常接近1了，如果再繼續(xù)進(jìn)行推導(dǎo)，后面還會出現(xiàn)0.999 99，0.999 999，…，并越來越接近1.因此，通過對上述推導(dǎo)內(nèi)容的分析，我們根據(jù)極限描述性定義可以求得 limx→0sinxx=1.

（二）第一重要極限公式 limx→0sinxx=1右極限的教學(xué)探索

第一重要極限公式 limx→0sinxx=1右極限的探索方法基本與左極限相同，通過在MATLAB數(shù)學(xué)軟件中對x的取值進(jìn)行修改，輸入探索右極限命令，并對MATLAB程序進(jìn)行運(yùn)行，來求得推導(dǎo)過程.推導(dǎo)過程中第一排顯示的是x的取值，而第二排則是sinxx的取值，通過對推導(dǎo)過程進(jìn)行探索和分析可以知道，當(dāng)x的取值為0.03時(shí)，sinxx的取值為0999 9，并且非常接近1，而如果再對程序進(jìn)行運(yùn)行，其數(shù)值也將越來越接近1.由此依據(jù)極限描述定義可以求得 limx→0sinxx=1.當(dāng)然，利用作圖的方式也能對第一重要極限公式 limx→0sinxx=1的極限進(jìn)行探索和驗(yàn)證，通過在MATLAB數(shù)學(xué)軟件中輸入相應(yīng)程序，并對程序運(yùn)行就能得出相應(yīng)的圖像，從圖像中就可以找出 limx→0sinxx=1，而如果通過對程序進(jìn)行修改，并使其區(qū)間加大，圖像顯示的效果也會更強(qiáng).總而言之，通過充分利用MATLAB數(shù)學(xué)軟件來進(jìn)行教學(xué)，將極大縮減教學(xué)時(shí)間，并有效避免了復(fù)雜的推導(dǎo)過程，使學(xué)生的積極性得到了顯著提高.

二、第二重要極限公式的教學(xué)策略

（一）探索法求得第二重要極限公式的探索極限

第二重要極限公式即 limx→∞1+1xx=e，第二重要極限公式也是高等數(shù)學(xué)中的教學(xué)難點(diǎn)，通常情況下，教師在對第二重要極限公式進(jìn)行教學(xué)時(shí)，會先給出定理，該定理為單調(diào)有界數(shù)列必有極限.如果是對本科理工類學(xué)生進(jìn)行教學(xué)時(shí)，教師一般情況下不會對定理進(jìn)行證明，而只有是對數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生進(jìn)行教學(xué)時(shí)，才會對定理進(jìn)行證明，當(dāng)定理給出以后，教師需要對實(shí)數(shù)公理進(jìn)行增加，并對公式進(jìn)行證明，對第二重要極限公式的證明主要分為四個(gè)層次，第一層次是對數(shù)列1+1n 單調(diào)增加的證明；第二層次是對1+1nn 有界數(shù)列的證明；第三層次是利用夾逼定理來對該極限公式進(jìn)行推廣，以使其達(dá)到正實(shí)數(shù)；第四層次是采用換元法來對該極限公式進(jìn)行推廣，使其達(dá)到負(fù)實(shí)數(shù).哪怕經(jīng)過這四個(gè)層次的推導(dǎo)證明，也不能對該極限公式的真正極限進(jìn)行求出.而由于本科院校的高等數(shù)學(xué)教學(xué)課時(shí)有限，因此，使學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)難以得到提高.而利用MATLAB數(shù)學(xué)軟件能夠非常高效的找出該極限公式的探索極限，通過在MATLAB數(shù)學(xué)軟件中輸入程序，以此來定義極限函數(shù)，并運(yùn)行MATLAB程序，可以求得一組數(shù)據(jù).在所求得的數(shù)據(jù)中，第一排數(shù)據(jù)代表著x的取值，而第二排則代表著1+1xx的取值，通過對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，能夠發(fā)現(xiàn)當(dāng)x的取值越大，函數(shù)1+1xx的取值也就越接近2.718.我們能對x的取值進(jìn)行調(diào)整，并設(shè)置探索極限程序，程序運(yùn)行可得到一組數(shù)據(jù)，該組數(shù)據(jù)中的第一排代表著x的取值，而第二排數(shù)據(jù)則代表1+1xx的取值，同樣可以發(fā)現(xiàn)，隨著x取值的不斷增大，函數(shù)1+1xx的值也越來越接近2.718 1.

（二）作圖法求得第二重要極限公式的探索極限

除了應(yīng)用探索法來驗(yàn)證第二重要極限公式的探索極限，還可以采用作圖法來對其探索極限進(jìn)行驗(yàn)證.通過在MATLAB數(shù)學(xué)軟件中輸入相應(yīng)程序，并對程序進(jìn)行運(yùn)行，可以求得第二重要極限公式的圖像，當(dāng)圖像出現(xiàn)后再對程序進(jìn)行修改，并運(yùn)行程序能夠得到全新的圖像，從這兩個(gè)圖像中可以了解到 limx→∞1+1xx=e.通過作圖法的方式來證明第二重要極限公式的探索極限不僅能夠使證明結(jié)果變得更加直觀，也能縮減那些不必要的推導(dǎo)公式，從而極大減少了第二重要極限公式的推導(dǎo)時(shí)間，使教學(xué)任務(wù)的完成變得更加高效，通過這種做法，不僅能夠有效培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的能力，也給學(xué)生在解決這類問題時(shí)提供了科學(xué)有效的方法.通過在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中引入MATLAB數(shù)學(xué)軟件，不僅能夠有效解決課時(shí)較少的問題，也使數(shù)學(xué)難點(diǎn)的教學(xué)變得更加簡易.

三、結(jié) 語

總而言之，通過在高等數(shù)學(xué)中充分應(yīng)用MATLAB數(shù)學(xué)軟件來對第一和第二重要極限公式進(jìn)行推導(dǎo)，不僅能夠使推導(dǎo)過程變得更加簡便，還能有效節(jié)約課程時(shí)間，使學(xué)生通過MATLAB數(shù)學(xué)軟件就能進(jìn)行自主學(xué)習(xí)，從而加深了學(xué)生對這兩個(gè)重要極限公式的理解，提升了學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，使學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)能力得到了極大的強(qiáng)化.當(dāng)前，本科院校在MATLAB數(shù)學(xué)軟件中的應(yīng)用相對較少，更沒有引入數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn).針對這種情況，學(xué)校應(yīng)加強(qiáng)信息技術(shù)的使用，并在高等數(shù)學(xué)中引入數(shù)學(xué)軟件，使師生能夠通過數(shù)學(xué)軟件的使用來共同發(fā)現(xiàn)和解決問題，以此高效地完成教學(xué)任務(wù).

【參考文獻(xiàn)】

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