黃浩峰

摘 要：帶小孔的平行板電容器是高中物理中的常見模型，在分析中通常直接忽略了小孔對電場分布的影響。本文直接從Maxwell方程組出發(fā)利用有限元方法來分析小孔對平行板電容器電場分布的影響。分析發(fā)現(xiàn)若要使小孔對平行板極板之間區(qū)域任意位置的影響都可以忽略，則小孔寬度必須小于1cm。同時極板長度、極板間距、極板厚度這些參數(shù)的取值越大，小孔帶來的電場分布擾動會越小。

關(guān)鍵詞：平行板電容器；電場分布；小孔

中圖分類號：O441 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

0 引言

電容器是一種常見的儲能器件，由兩塊金屬電極之間夾一層絕緣電介質(zhì)構(gòu)成。當(dāng)兩塊金屬電極相互平行時便構(gòu)成了平行板電容器。平行板電容器是高中物理中的常見模型，常被用于控制帶電粒子的運(yùn)動軌跡或能量。為了讓粒子能夠進(jìn)入到平行板電容器的電場區(qū)域，往往需要在平行極板上引入小孔。在高中物理教材中直接認(rèn)為小孔對平行板電容器的電場分布沒有任何影響。已有一些文獻(xiàn)報(bào)道采用保角變換，施瓦茨-克利斯多菲變換等方法來分析引入小孔帶來的影響，然而這些方法都具有一定的局限性。本文將直接從Maxwell方程組出發(fā)利用有限元方法來分析小孔對平行板電容器電場分布的影響，并總結(jié)出小孔影響可忽略的條件。

1 平行板電容器的電場分布

帶小孔的平行板電容器如圖1（a）所示，由兩塊長度為L的平行導(dǎo)體極板構(gòu)成，極板厚度為H。上側(cè)極板中心有一寬度為W的小孔，兩極板間距用D表示。根據(jù)高中靜電場的知識可知，若兩極板之間存在電勢差U，則在極板附近將形成靜電場。高中物理認(rèn)為極板之間的靜電場可以近似為勻強(qiáng)電場：電場線是均勻等間距的平行直線，方向垂直于金屬導(dǎo)體極板并從高電勢指向低電勢；等勢面是平行于導(dǎo)體極板的等間距直線。如文獻(xiàn)分析所示，雖然實(shí)際的平行板電容器存在邊緣效應(yīng)，但在電容器的中心區(qū)域任舊近似為勻強(qiáng)電場分布。如果極板中心存在小孔則會對電場分布產(chǎn)生擾動，如圖1（b）（c）所示。圖中以L=20cm、H=0.5cm、D=10cm、W=3cm的平行板電容器在U=10V的情況下為例，利用有限元數(shù)值計(jì)算方法直接求解Maxwell方程組中靜電場的高斯定理便可得到電容器的電場即電勢分布。由圖可見，平行板電容器的中心遠(yuǎn)離小孔的區(qū)域電場確實(shí)可以近似為勻強(qiáng)電場分布。小孔附近的電場和電勢都收到了明顯的影響，在本文的下一節(jié)中將定量分析這種影響的大小。

2 小孔對平行板電容器電場分布的影響

為了定量分析小孔對平行板電容器電場分布的影響，我們利用有限元方法計(jì)算出了帶小孔平行板電容器極板之間任意位置處的電勢V，并根據(jù)極板電勢差U計(jì)算出該位置在勻強(qiáng)電場近似下的電勢U0?；谶@些數(shù)據(jù)，我們定義了歸一化電勢誤差（Err）來定量描述小孔帶來的電場分布影響，如公式（1）所示。

由于高中物理中學(xué)習(xí)的平行板電容器的勻強(qiáng)電場近似僅適用于兩導(dǎo)體極板之間的區(qū)域，因此本文只分析小孔對平行板電容器極板之前電場分布的影響。仍以L=20cm、H=0.5cm、D=10cm、W=3cm的平行板電容器為例，小孔附近的Err分布如圖2（a）所示。由圖可見小孔的存在使得附近區(qū)域電勢降低（Err<0）；且越靠近小孔中心電勢降低得越多。因此，本文又分析了平行極板之間最靠近小孔中心處的Err隨電容器結(jié)構(gòu)參數(shù)變化的關(guān)系，該Err對應(yīng)于整個極板之間區(qū)域電勢減小量的最大值。結(jié)果如圖2（b）～圖2（c）所示，無論其他參數(shù)取值如何，小孔寬度W都是最主要的影響參數(shù)，W越小，小孔對電場分布的影響就越小。若要使小孔對平行板極板之間區(qū)域任意位置的影響都可以忽略（Err<1%），則小孔寬度必須小于1cm。同時極板間距D與也極板長度L應(yīng)該越大越好。因?yàn)樵谙嗤腤下，Err的絕對值會隨著當(dāng)D或L的減小而增加。從圖中還可以發(fā)現(xiàn)極板厚度H對Err影響不大，隨著H的增加而Err的絕對值稍有增加。此外，我還分析了Err隨極板間電勢差U的變化關(guān)系，發(fā)現(xiàn)U對Err沒有任何影響。

圖2（a）小孔對電勢分布的影響；小孔引起的電勢改變量在不同小孔寬度W下隨（b）極板間距D；（c）極板長度L；（d）極板厚度H的關(guān)系。

結(jié)論

綜上所述，本文利用有限元方法通過求解Maxwell方程組分析了小孔對平行板電容器電場分布的影響。分析發(fā)現(xiàn)極板長度L、極板間距D、極板厚度H、小孔寬度W都對小孔帶來的電場擾動大小有影響。其中W是主要因素，小孔附近的電場分布變化量會隨著W的減小而顯著減小。若要使小孔對平行板極板之間區(qū)域任意位置的影響都可以忽略（歸一化電勢誤差Err<1%），則小孔寬度必須小于1cm。這一結(jié)論在將來帶小孔的平行板電容器分析中具有積極的指導(dǎo)意義，可以作為小孔的影響是否可以忽略的初步判斷標(biāo)準(zhǔn)。同時利用本文中的分析方法可以直接定量分析出小孔的影響大小，且這樣方法可以推廣到任意電容器的分析，具有較大的實(shí)用價(jià)值。

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