張文玉，戴又善

(浙江大學(xué) 城市學(xué)院，浙江 杭州　310015)

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夫瑯禾費(fèi)衍射的線性變換計(jì)算

張文玉，戴又善

(浙江大學(xué) 城市學(xué)院，浙江 杭州310015)

夫瑯禾費(fèi)衍射在二維小孔的線性變換下具有簡(jiǎn)單的變換特性，利用線性變換的方法簡(jiǎn)便求得了位于坐標(biāo)系中任何位置的任意三角形小孔和任意平行四邊形小孔夫瑯禾費(fèi)衍射復(fù)振幅的一般解析表達(dá)式，從而提供了一種普遍的方法，無(wú)需通過(guò)積分計(jì)算而僅由代數(shù)運(yùn)算來(lái)求得任意多邊形小孔夫瑯禾費(fèi)衍射光強(qiáng)分布的解析表達(dá)式.作為應(yīng)用例子討論了正六邊形小孔夫瑯禾費(fèi)衍射的光強(qiáng)分布，并依據(jù)所得解析結(jié)果進(jìn)行了計(jì)算機(jī)模擬.

夫瑯禾費(fèi)衍射；線性變換；三角形小孔；平行四邊形小孔；正六邊形小孔

二維小孔的衍射問(wèn)題通常是基于基爾霍夫衍射公式來(lái)討論[1]，但基爾霍夫衍射公式的數(shù)學(xué)運(yùn)算比較復(fù)雜，在討論具體問(wèn)題時(shí)也常需做各種計(jì)算近似，這導(dǎo)致對(duì)許多典型小孔的衍射通常并不能給出簡(jiǎn)明的解析結(jié)果而是求助于近似數(shù)值計(jì)算[2,3].由于夫瑯禾費(fèi)衍射是一種遠(yuǎn)場(chǎng)衍射，其入射光和衍射光都為平行光，這使得夫瑯禾費(fèi)衍射既能反映出衍射的一些基本特征，又具有特殊的簡(jiǎn)單性. 研究夫瑯禾費(fèi)衍射的復(fù)振幅(以下簡(jiǎn)稱振幅)和光強(qiáng)分布通常需要進(jìn)行二維復(fù)積分計(jì)算，特別是對(duì)于復(fù)雜幾何圖形的小孔衍射，計(jì)算將變得更為冗長(zhǎng).而利用小孔的幾何對(duì)稱性來(lái)討論二維小孔夫瑯禾費(fèi)衍射問(wèn)題將可以極大的簡(jiǎn)化計(jì)算，對(duì)此我們?cè)谙惹拔墨I(xiàn)中已討論過(guò)小孔的某些對(duì)稱變換特性[4,5].本文則將進(jìn)一步通過(guò)一般線性變換的方法，利用統(tǒng)一的線性變換矩陣來(lái)討論小孔的幾何對(duì)稱變換，從而可以在避開(kāi)復(fù)雜的基爾霍夫衍射公式計(jì)算的情況下，提供一種無(wú)需積分計(jì)算而僅通過(guò)代數(shù)運(yùn)算來(lái)解析求得各種二維小孔夫瑯禾費(fèi)衍射振幅和光強(qiáng)分布的普遍方法.

任何由直線構(gòu)成的幾何小孔都可以分解為若干個(gè)三角形小孔，或者分解為若干個(gè)三角形小孔和平行四邊形小孔的組合(平行四邊形小孔和三角形小孔都具有3個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)頂點(diǎn)，由于平行四邊形小孔相比于三角形小孔更具有對(duì)稱性，因

而其衍射振幅的公式將更為簡(jiǎn)單).雖然計(jì)算給定的三角形小孔和平行四邊形小孔的衍射振幅并不太難，但分解多邊形小孔則需要確定任何位置和任意形狀的三角形小孔和平行四邊形小孔，因此研究任意三角形小孔和任意平行四邊形小孔的衍射就構(gòu)成了研究一般多邊形小孔衍射的基礎(chǔ).利用二維小孔在線性變換下夫瑯禾費(fèi)衍射振幅的變換特性，則無(wú)需再進(jìn)行具體積分運(yùn)算就可求得變換后相應(yīng)小孔夫瑯禾費(fèi)衍射的振幅和光強(qiáng)分布.為此本文首先計(jì)算了一個(gè)最簡(jiǎn)單基本的等腰直角三角形小孔的夫瑯禾費(fèi)衍射，然后通過(guò)對(duì)該小孔的適當(dāng)線性變換，簡(jiǎn)便求得了位于坐標(biāo)系中任何位置的任意三角形小孔的夫瑯禾費(fèi)衍射振幅公式；另外通過(guò)計(jì)算一個(gè)最簡(jiǎn)單基本的正方形小孔的夫瑯禾費(fèi)衍射，同樣通過(guò)對(duì)該正方形小孔的適當(dāng)線性變換，簡(jiǎn)便求得了位于坐標(biāo)系中任何位置的任意平行四邊形小孔的夫瑯禾費(fèi)衍射振幅公式.需要指出的是由于衍射振幅中三角函數(shù)的表達(dá)形式并不是唯一的，采用不同的積分過(guò)程得到的衍射振幅在表達(dá)形式上也將是不相同的，但通過(guò)選取適當(dāng)線性變換的方法能夠非常簡(jiǎn)便地尋求到衍射振幅最簡(jiǎn)單的解析表達(dá)形式，從而利用本文提供的小孔線性變換的方法和計(jì)算結(jié)果，原則上無(wú)需再進(jìn)行積分計(jì)算而僅由代數(shù)運(yùn)算就能夠給出任意多邊形小孔夫瑯禾費(fèi)衍射振幅和光強(qiáng)分布的一般解析表達(dá)式.

1　夫瑯禾費(fèi)衍射振幅與線性變換

對(duì)于二維小孔的夫瑯禾費(fèi)衍射，觀察屏上的任一點(diǎn)P，其衍射角可以用兩個(gè)參數(shù)來(lái)描寫，不妨取為θx和θy，如圖1所示(圖中省略未畫出起會(huì)聚平行光作用的凸透鏡).由圖2及文獻(xiàn)[5],給出了二維小孔的夫瑯禾費(fèi)衍射復(fù)振幅(以下簡(jiǎn)稱振幅)為

圖1　夫瑯禾費(fèi)小孔衍射

圖2　夫瑯禾費(fèi)衍射光程差

(1)

上式中

(2)

若對(duì)二維小孔S作一般的線性變換，變成新的小孔S′

(3)

令r′=x′i′+y′j′，r=xi+yj，r0=x0i+y0j，即有

(4)

小孔面積元的變換為

dS′=dx′dy′=|J|dxdy=|J|dS

(5)

其中J為相應(yīng)線性變換的雅可比行列式，對(duì)于線性變換其值為常數(shù)

(6)

則小孔面積變換為

S′=∫dS′=∫|J|dS=|J|∫dS=|J|S

(7)

設(shè)原小孔S的衍射振幅為E(α,β)，經(jīng)線性變換后的小孔S′的衍射振幅為E′(α,β)，則有

(8)

即有

(9)而對(duì)于r0=0的齊次線性變換，則有E′(α,β)=E(α′,β′)=E(aα+cβ,bα+dβ).以上我們給出了二維小孔在一般線性變換下夫瑯禾費(fèi)衍射振幅的變換特性公式，下面討論幾種常見(jiàn)的線性變換特例.1) 旋轉(zhuǎn)變換

(10)

引進(jìn)旋轉(zhuǎn)變換矩陣

(11)

E(αcosφ-βsinφ,αsinφ+βcosφ)

(12)

2) 平移變換

對(duì)小孔S的位置整體進(jìn)行平移r0=x0i+y0j，平移變換后的小孔矢徑為r′=r+r0，則U=I；平移后小孔S′的衍射振幅為

E′(α,β)=ei2(x0α+y0β)E(α,β)

(13)

由于光強(qiáng)正比于振幅模的平方，因此對(duì)小孔的整體平移并不改變衍射的光強(qiáng)分布|E′(α,β)|2=|E(α,β)|2.

3) 拉伸變換

(14)

拉伸變換后小孔S′的衍射振幅為

(15)

若考慮拉伸方向與x軸的夾角為φ，拉伸幅度為k0(為常數(shù))，相應(yīng)的拉伸變換矩陣為

Uφ(k0)=UR(-φ)Ux(k0)UR(φ)=

(16)

則拉伸變換后小孔S′的衍射振幅

(17)

其中

(19)

4) 放大(縮小)變換

(20)

放大(縮小)變換后小孔S′的衍射振幅為

(21)放大(縮小)變換相當(dāng)于同時(shí)對(duì)x方向和y方向進(jìn)行相同比例的拉伸變換，k0=-1則為空間反演變換.

2　任意三角形小孔的夫瑯禾費(fèi)衍射

(22)

圖3　等腰直角三角形小孔的衍射

對(duì)于處在坐標(biāo)系中任何位置和任意形狀的三角形小孔，設(shè)其3個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x0,y0)、B(x1,y1)、C(x2,y2)，其衍射振幅記為E△(α,β)；先將頂點(diǎn)A(x0,y0)平移到坐標(biāo)原點(diǎn)，則三角形3個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)將分別變?yōu)锳′(0,0)、B′(x1-x0,y1-y0)、C′(x2-x0,y2-y0)，見(jiàn)圖4.設(shè)其衍射振幅為E′(α,β)，則有

圖4　任意三角形小孔的衍射

(23)

選擇線性變換矩陣U，滿足

(24)

(25)

即可具體確定相應(yīng)的線性變換矩陣為

(26)

則有

(27)

上式中

(28)

由式(23)、(27)和基本等腰直角三角形小孔的衍射振幅式(22)可得任意三角形小孔的夫瑯禾費(fèi)衍射振幅為

(29)

(30)

(31)

圖6　等腰和等邊三角形小孔的夫瑯禾費(fèi)衍射計(jì)算機(jī)模擬

3　任意平行四邊形小孔的夫瑯禾費(fèi)衍射

首先計(jì)算一個(gè)最簡(jiǎn)單的基本平行四邊形小孔即正方形小孔的衍射振幅E0(α,β)，設(shè)正方形小孔的邊長(zhǎng)都為單位長(zhǎng)度1，小孔的面積為S=1，如圖7所示，則有

圖7　正方形小孔的衍射

(32)

對(duì)于處在坐標(biāo)系中任意位置和任意形狀的平行四邊形小孔，設(shè)其四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x0,y0)、B(x1,y1)、C(x2,y2)、D(x3,y3)，其衍射振幅為E?(α,β)；先將頂點(diǎn)A(x0,y0)平移到坐標(biāo)原點(diǎn)，則平行四邊形四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)將分別變?yōu)锳′(0,0)、B′(x1-x0,y1-y0)、C′(x2-x0,y2-y0)、D′(x3-x0,y3-y0)，見(jiàn)圖8.設(shè)其衍射振幅為E′(α,β)，則有

圖8　任意平行四邊形小孔的衍射

(33)

選擇線性變換矩陣U，滿足

(34)

(35)

即可具體確定相應(yīng)的線性變換矩陣為

(36)

因?yàn)閷?duì)于平行四邊形有關(guān)系式x3+x0=x1+x2, y3+y0=y1+y2, 即平行四邊形4個(gè)頂點(diǎn)只有3個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是獨(dú)立的，則有

(37)

由此可知，線性變換矩陣U可將方孔變換到所求的平行四邊形小孔，則有

(38)

由式(33)、(38)和基本正方形小孔的衍射振幅式(32)，可得任意平行四邊形小孔的夫瑯禾費(fèi)衍射振幅為

E?(α,β)=ei2(x0α+y0β)E0(α′,β′)=

(39)

代入α′、β′的表達(dá)式

(40)

可得

E?(α,β)=Emei[(x1+x2)α+(y1+y2)β]·

(41)

(42)

圖9　菱形小孔的衍射

(43)

(44)

圖10為旁軸近似條件下相應(yīng)于式(44)的菱形小孔夫瑯禾費(fèi)衍射的計(jì)算機(jī)模擬圖像.其中圖10(a)為b=3a的菱形小孔衍射圖像；圖10(b)為b=a的正菱形小孔衍射圖像，即為旋轉(zhuǎn)了45°的方孔衍射圖像.

圖10　菱形小孔的夫瑯禾費(fèi)衍射計(jì)算機(jī)模擬

4　 正六邊形小孔的夫瑯禾費(fèi)衍射

一個(gè)任意的多邊形小孔總可以分解為若干個(gè)三角形小孔，而在某些情況下則可分解為若干個(gè)三角形小孔和平行四邊形小孔的組合.因此求得了任意三角形小孔和任意平行四邊形小孔的衍射振幅公式，原則上無(wú)需再進(jìn)行積分計(jì)算僅通過(guò)代數(shù)運(yùn)算就可以得到任意多邊形小孔衍射振幅的解析表達(dá)式.作為一個(gè)簡(jiǎn)單的典型應(yīng)用例子，本小節(jié)將討論邊長(zhǎng)為a的正六邊形小孔的夫瑯禾費(fèi)衍射振幅和光強(qiáng)分布.

利用前面已給出的衍射振幅公式，首先計(jì)算一個(gè)等腰三角形小孔(Ⅰ)和一個(gè)平行四邊形小孔(Ⅱ)的夫瑯禾費(fèi)衍射振幅，見(jiàn)圖11. 所選取的小孔(Ⅰ)和(Ⅱ)都是以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)，且等腰三角形小孔(Ⅰ)具有相對(duì)y軸的對(duì)稱性，而平行四邊形小孔(Ⅱ)具有相對(duì)x軸的對(duì)稱性，這樣充分利用了小孔的對(duì)稱性能夠進(jìn)一步簡(jiǎn)化衍射振幅的計(jì)算和表達(dá)式.

圖11　正六邊形小孔的衍射

(45)

上式的實(shí)部為

(46)

(47)

(49)

圖12　正六邊形小孔的夫瑯禾費(fèi)衍射計(jì)算機(jī)模擬

對(duì)于復(fù)雜小孔的衍射通常是通過(guò)計(jì)算機(jī)編程利用數(shù)值計(jì)算的方法來(lái)近似求解，本文則提供了一種無(wú)需積分計(jì)算的解析求解方法，而對(duì)于小孔衍射的計(jì)算機(jī)模擬由于是基于光強(qiáng)分布的解析表達(dá)式，因而無(wú)需特別編程就可利用Mathematica等通用數(shù)學(xué)軟件對(duì)光強(qiáng)分布的解析公式直接進(jìn)行亮度模擬，相比于完全數(shù)值求解的計(jì)算機(jī)模擬具有模擬速度快、計(jì)算精度高以及便于參數(shù)調(diào)節(jié)等顯著優(yōu)點(diǎn)，從而能夠更好地直觀了解各種小孔夫瑯禾費(fèi)衍射的光強(qiáng)分布特點(diǎn).

本文利用二維小孔在一般線性變換下夫瑯禾費(fèi)衍射振幅的變換特性[見(jiàn)公式(9)]，通過(guò)小孔線性變換的方法，給出了坐標(biāo)系中處于任何位置的任意三角形小孔和任意平行四邊形小孔的夫瑯禾費(fèi)衍射振幅公式.由于三角形和平行四邊形是幾何圖形的構(gòu)成基礎(chǔ)，一個(gè)由直線構(gòu)成的任意幾何圖形總可以分解為若干個(gè)三角形，或者分解為若干個(gè)三角形加平行四邊形的組合(由于平行四邊形小孔相比于三角形小孔具有更為簡(jiǎn)單的衍射振幅表達(dá)式)，因而利用本文給出的小孔線性變換的方法和結(jié)果，提供了一種普遍的解析計(jì)算方法，原則上已無(wú)需再作積分計(jì)算而僅由代數(shù)運(yùn)算就能夠給出任意多邊形小孔夫瑯禾費(fèi)衍射光強(qiáng)分布的一般解析表達(dá)式.而充分利用小孔的對(duì)稱特性則能夠進(jìn)一步簡(jiǎn)化衍射振幅的計(jì)算,本文在最后小節(jié)中給出了一個(gè)正六邊形小孔夫瑯禾費(fèi)衍射的計(jì)算應(yīng)用舉例，限于篇幅更多的應(yīng)用將在另文中討論.

[1]葉玉堂，繞建珍，肖峻，等. 光學(xué)教程[M].北京：清華大學(xué)出版社, 2005.

[2]戴兵，賀安之，等.一類與橢圓和矩形相關(guān)的孔徑的夫瑯禾費(fèi)衍射研究[J].大學(xué)物理，2003，22(3) : 5-8.

[3]謝嘉寧，趙建林，陳偉成，等.夫瑯禾費(fèi)衍射的計(jì)算機(jī)仿真[J].大學(xué)物理，2004，23(3) : 51-54.

[4]戴又善，戴亮.推導(dǎo)圓孔夫瑯禾費(fèi)衍射光強(qiáng)分布的一種簡(jiǎn)便方法[J].大學(xué)物理，2009，28(4) : 29-32.

[5]戴又善.二維小孔的對(duì)稱變換與夫瑯禾費(fèi)衍射光強(qiáng)分布[J].大學(xué)物理，2011，30(11) : 22-27.

Calculate of Fraunhofer diffraction by linear transformation

ZHANG Wen-yu, DAI You-shan

(Zhejiang University City College, Hangzhou, Zhejiang 310015, China)

Fraunhofer diffraction transforms in a simple way under a linear deformation of the shape of the two-dimensional aperture. Based on simple linear transformation, we derive general analytic expressions for the diffraction amplitude in the case of triangular and rhomboidal apertures of arbitrary shape at any given position in a coordinate system. Without performing integration, we solve the Fraunhofer diffraction by any polygon aperture of any shape, through purely algebraic operations. As an example, we apply the present method to find the diffraction intensity distribution for a regular hexagon aperture, and simulate it on a computer based on our analytical results.

Fraunhofer diffraction；linear transformation；triangle aperture；parallelogram aperture；regular hexagon aperture

2015-07-15；

2016-03-24

浙江大學(xué)城市學(xué)院大學(xué)生科研課題(X2016521006)資助

張文玉(1994—)，女，四川成都人，浙江大學(xué)城市學(xué)院計(jì)算分院2013級(jí)本科生.

O 436.1

A

1000- 0712(2016)07- 0047- 09