劉松山

(河南藝術(shù)職業(yè)學(xué)院　教務(wù)處，河南　鄭州　451464)

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對(duì)RL-C并聯(lián)諧振電路阻抗最大值的研究

劉松山

(河南藝術(shù)職業(yè)學(xué)院教務(wù)處，河南鄭州451464)

對(duì)RL-C并聯(lián)諧振電路，嚴(yán)格計(jì)算了電路阻抗模的最大值|Z|max與電路諧振時(shí)阻抗Z0的關(guān)系.提出并證明了判斷Z0是極值的方法.分析了Z0與|Z|max之間的相對(duì)誤差，這個(gè)相對(duì)誤差隨著電路品質(zhì)因數(shù)的增大而減小，當(dāng)電路的Q值在幾十以上時(shí)，Z0與|Z|max的差別可以忽略，可近似認(rèn)為該電路諧振時(shí)的阻抗Z0=L/RC是最大值.

諧振電路；阻抗；極值

諧振是正弦穩(wěn)態(tài)電路的一種特殊現(xiàn)象，廣泛用于無(wú)線電和電工技術(shù)的諸多領(lǐng)域之中.有關(guān)對(duì)圖1的RL-C并聯(lián)電路諧振時(shí)阻抗Z0=L/RC的討論，有些文獻(xiàn)認(rèn)為該阻抗為最大[1-3]，文獻(xiàn)[4]只是簡(jiǎn)單說(shuō)它不是最大，文獻(xiàn)[5]對(duì)圖1電路阻抗的最大值做了不太嚴(yán)格的推導(dǎo).本文嚴(yán)格計(jì)算了圖1電路阻抗模的最大值|Z|max與電路諧振時(shí)的阻抗Z0之間的關(guān)系，通過(guò)定義伴生角頻率的概念，提出并證明了判斷Z0是極值的簡(jiǎn)便方法，針對(duì)實(shí)際應(yīng)用，分析了Z0與|Z|max相對(duì)誤差的關(guān)系.該項(xiàng)研究完善了對(duì)諧振電路的阻抗或?qū)Ъ{取極值的分析方法和判斷方法.

1　推導(dǎo)阻抗模的最大值

圖1電路的輸入導(dǎo)納為

(1)

(2)

圖1　RL與C并聯(lián)電路

(3)

在此有的文獻(xiàn)[1-3]根據(jù)電路諧振時(shí)式(1)的虛部等于0，判斷Y0是最小值，得出Z0是最大值的結(jié)論.此概念不全面，因?yàn)閷?dǎo)納的實(shí)部一般是角頻率的函數(shù)，當(dāng)它的虛部等于0時(shí)，導(dǎo)納的模不一定是最小值.正確的計(jì)算方法是計(jì)算諧振電路阻抗模的極值.由式(1)得阻抗的模為

(4)

因?yàn)镽、L、C均為定值，|Y|2是ω的連續(xù)函數(shù)，所以可求|Y|2對(duì)ω的導(dǎo)數(shù)為

(5)

令式(5)等于0，得

(6)

(7)

由式(7)可見，圖1電路諧振時(shí)的阻抗Z0不是最大.設(shè)圖1電路的L=10 mH，C=100 μF，當(dāng)R=5 Ω時(shí)，由式(3)、式(7)分別可得Z0=20 Ω，|Z|max≈22.4 Ω；當(dāng)R=2 Ω時(shí)，可得Z0=50 Ω，|Z|max≈50.99 Ω.可見Z0與|Z|max相差不大.當(dāng)L=10 mH，C=100 μF，R=5 Ω或R=2 Ω時(shí)，由式(4)畫出圖1電路阻抗的頻率特性如圖2所示，曲線上標(biāo)有黑色小圓點(diǎn)的縱、橫坐標(biāo)分別表示諧振時(shí)的阻抗值和角頻率.

圖2　不同電阻值的阻抗頻率特性

2　判斷Z0是極值的方法

圖1電路諧振時(shí)，由式(3)、式(4)有

化簡(jiǎn)得C2L4ω4-2CL3ω2+L2C2R4=0

3　Z0與|Z|max的相對(duì)誤差

在實(shí)際應(yīng)用中，若以Z0為最大值，由此引起Z0與|Z|max的相對(duì)誤差，可把式(3)、(7)代入下式計(jì)算相對(duì)誤差

(8)

(9)

(10)

圖3　δ與Q的關(guān)系曲線

Q δ/%118.9534.6661.32100.49200.12300.06

4　結(jié)論

電路諧振時(shí)的阻抗(或?qū)Ъ{)是極值的簡(jiǎn)便判斷方法是，當(dāng)電路輸入阻抗(或?qū)Ъ{)的實(shí)部等于該電路諧振時(shí)的阻抗(或?qū)Ъ{)時(shí)，電路諧振時(shí)的阻抗(或?qū)Ъ{)是極值.至于該極值是最大值還是最小值，需要通過(guò)計(jì)算諧振電路阻抗模的極值進(jìn)行判斷，或者，畫出阻抗的頻率特性曲線進(jìn)行判斷. 圖1電路諧振時(shí)的阻抗Z0=L/RC不是最大值，而該電路阻抗的最大值由式(7)確定.當(dāng)圖1電路的Q值在幾十

以上時(shí)，Z0與|Z|max的差別可以忽略，應(yīng)用時(shí)可近似認(rèn)為電路諧振時(shí)的阻抗Z0=L/RC是最大值.由此可見，科學(xué)既是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)囊彩墙频?，在認(rèn)識(shí)客觀規(guī)律建立概念的過(guò)程中必須嚴(yán)謹(jǐn)，在實(shí)際計(jì)算過(guò)程中需要合理近似，才能使分析的問(wèn)題得到簡(jiǎn)化.

[1]石生.電路基礎(chǔ)分析[M].3版.北京:高等教育出版社，2008:153-155.

[2]康華光.電子技術(shù)基礎(chǔ)[M].5版.北京:高等教育出版社，2006:442-444.

[3]王桂夢(mèng)，王幼林.電工電子技術(shù)[M]. 北京:機(jī)械工業(yè)出版社，2013:72.

[4]邱關(guān)源.電路[M].4版.北京:高等教育出版社，1999:210-218.

[5]汪小娜，單潮龍，王向軍，等.關(guān)于RL與C并聯(lián)電路阻抗的最大值[J].電氣電子教學(xué)學(xué)報(bào)，2010，32(5):29-31.

[6]劉松山.對(duì)諧振電路品質(zhì)因數(shù)定義的再認(rèn)識(shí)[J].西南師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2014，39(9):200-203.

[7]陳水生，鄭富年.RL-C并聯(lián)諧振態(tài)量與Q的幾個(gè)關(guān)系式[J].大學(xué)物理，1999，18(10):23-25.

Study of the maximum impedance value in the RL-C parallel resonant circuit

LIU Song-shan

(Dean’s Office, Henan Arts Vocational College, Zhengzhou, Henan 451464, China)

For aRL-Cparallel resonant circuit，the relation between the maximum impedance value |Z|maxand the impedance of resonantZ0is presented strictly. The discrimination method ofZ0to be an extreme value is proposed and proved.The relative error ofZ0to|Z|maxis analyzed, the relative error decreases as the circuit quality factor increases. If theQis large enough, the difference ofZ0and|Z|maxshould be negligible, in this case the circuit resonant impedanceZ0=L/RCarrives at the maximum value.

resonant circuit; impedance; extreme value

2015-11-15；

2016-01-13

河南省高等教育教學(xué)改革研究項(xiàng)目(2014SJGLX474)資助

劉松山(1958—)男，河南鄭州人，河南藝術(shù)職業(yè)學(xué)院副教授，學(xué)士，主要從事電路理論教學(xué)與應(yīng)用研究工作.

O 441.4

A

1000- 0712(2016)07- 0014- 03