摘要：“雞兔同籠”是一類問題的總稱，用哪種方法教，哪種方法更易讓學(xué)生接受，這要根據(jù)學(xué)生的年齡特征來判斷?！半u兔同籠”的教學(xué)要重視向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想方法，關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，它不能僅僅停留在知識的層面，它在培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維以及化歸、枚舉、數(shù)形結(jié)合、假設(shè)、建模等數(shù)學(xué)思想方法，還有關(guān)注孩子思維成長方面具有較高的研究價值。而這些數(shù)學(xué)思想方法對不同年級的學(xué)生來說，會產(chǎn)生不一樣的選擇傾向。教學(xué)中要讓學(xué)生在充分感知的基礎(chǔ)上，通過觀察、思考、發(fā)現(xiàn)、比較，應(yīng)用畫圖、列表、假設(shè)、方程等方法來解決，揭示感性經(jīng)驗背后理性抽象的數(shù)學(xué)經(jīng)驗，讓學(xué)生獲取具有概括性、普遍性的數(shù)學(xué)知識，實現(xiàn)從感性到理性的轉(zhuǎn)變。

關(guān)鍵詞：經(jīng)歷；經(jīng)驗；生長；不同學(xué)段

一、 理論篇

“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”這是我國古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》中的一道趣題?！半u兔同籠”教學(xué)要讓學(xué)生經(jīng)歷自主探究問題解決的過程，培養(yǎng)邏輯推理能力，增強應(yīng)用意識和實踐能力。就解題的角度來說，有一系列的方法：畫圖法、列表法、假設(shè)法、方程法、二元一次方程組等。這個問題的多種解法中，同時對應(yīng)著一定的數(shù)學(xué)思想。比如，列表與枚舉，畫圖與數(shù)形結(jié)合等。學(xué)生在運用多種解法解決問題的同時，對數(shù)學(xué)思想會有一定的感悟。可以說，“雞兔同籠”教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)中可挖掘的資源非常豐富，是學(xué)生積累數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗和滲透數(shù)學(xué)思想方法的典型的課。它的教學(xué)價值追求不應(yīng)局限于問題本身，而在于其學(xué)習(xí)價值的實現(xiàn)。

但，僅用一個課時教學(xué)，教與學(xué)都容易“囫圇吞棗”。更何況基本活動經(jīng)驗和數(shù)學(xué)思想方法的形成需要一個長期的過程，教師要提供不斷地組織學(xué)生參與的數(shù)學(xué)探究過程，只有學(xué)生參與了多樣化的數(shù)學(xué)活動，經(jīng)歷多次調(diào)用和加工后才能逐漸達(dá)到理性的感悟。由于各版本教材編排的學(xué)段、價值取向和教材解讀定位不同，許多教師不知道如何定位雞兔同籠問題，如北師大版教材安排在五年級上冊，重點在列表法，人教版教材安排在四年級下冊，重點是假設(shè)法。那么，是否可將解法的難易度與學(xué)生的可接受水平結(jié)合起來考慮？就雞兔同籠問題在低、中、高年段進(jìn)行連續(xù)課教學(xué)，根據(jù)學(xué)生不同年齡的特點，選擇合適的教學(xué)法。如：二年級選擇畫圖法，五年級選擇列表法，六年級選擇假設(shè)法或方程法，七年級選擇二元一次方程組。為此，筆者進(jìn)行了實踐。

二、 實踐篇

（一） 二年級教學(xué)片段

教學(xué)價值取向就是引導(dǎo)和幫助二年級的小朋友借助畫圖的方法進(jìn)行嘗試與猜測，解決雞兔同籠問題。

情境：雞和兔關(guān)在同一個籠子里，上面數(shù)有8個頭，下面數(shù)有26條腿，請問雞、兔各有幾只？

（學(xué)生嘗試解決問題）

師：你是怎么做的？

生：用畫圖的方法解決。我先畫了8個圓圈表示雞和兔子共有8只，在每個圓圈的下面都畫上2條腿，發(fā)現(xiàn)只有16條腿，還少10條腿，把這10條腿添到雞的下面。

師：大家都是這樣想的嗎？請一位小朋友上來給大家畫畫看。

在老師的引導(dǎo)下，學(xué)生全身心地投入到用畫圖解決問題當(dāng)中。滲透了數(shù)形結(jié)合的思想，比較直觀，易學(xué)好教，一道相對有難度的雞兔同籠問題就這么有趣地解決了。

（二） 五年級教學(xué)片段

在北師大版的教材中，強調(diào)用列表的方法解雞兔同籠問題。教材編排的價值取向就是讓孩子從無序的猜測到有序的整理，從逐一列表的繁瑣到跳躍列表法的彈性調(diào)整，最后選擇取中列表法。

情境：今雞兔同籠，上有35頭，下有94腿，問雞、兔各幾只？

（讓學(xué)生感受數(shù)據(jù)太大比較難解決）

再出示：“雞兔同籠，有9個頭，26條腿，雞、兔各幾只？”

……

生嘗試練習(xí)原題，選取典型三種列表法小組交流。

用列表法解決雞兔同籠問題，在枚舉和假設(shè)中讓學(xué)生經(jīng)歷列表、嘗試和不斷調(diào)整的過程，從原始逐一列舉到跳躍列舉，理透了數(shù)量關(guān)系間的變化后，大部分學(xué)生喜歡簡便快捷的取中列舉的方法。但教師有必要讓學(xué)生明白每一種方法各有各的優(yōu)點，應(yīng)根據(jù)實際情況選擇合適的方法。

（三） 六年級教學(xué)片段

把雞兔同籠問題放在六年級上，是考慮六年級孩子的認(rèn)知水平和已有的知識經(jīng)驗有較好的基礎(chǔ)，為理解假設(shè)法和用方程解決做好了準(zhǔn)備。

情境：今雞兔同籠，上有35頭，下有94腿，問雞、兔各幾只？

（小組合作，以小組為單位匯報）

生1：我們小組采用的方法有假設(shè)法、列表法、畫圖法三種方法。

生2：我是用畫圖法來表示的。

生3：我用的是列表法。（幻燈展示）

生4：我用假設(shè)法來算的。假設(shè)全部都是雞，35只雞就有70條腿，70條腿比94條腿少了24條腿，說明這24條腿是兔子的，我們把兔子都當(dāng)成雞來算了，每只雞比兔子少2條腿，所以24÷2就是兔子的只數(shù)，35-12就是雞的只數(shù)。

師：那么可不可以假設(shè)都是兔子呢？

……

生5：我是用列方程來解決的……

（四） 七年級教學(xué)片段

七年級以“雞兔同籠”為突破口，認(rèn)識二元一次方程組。從已有的“方程”經(jīng)驗入手，借助并列的兩組等量關(guān)系，列出二元一次方程組，并學(xué)會用代數(shù)法或消元法解方程組，并注重結(jié)果的驗證。

情境：今雞兔同籠，上有35頭，下有94腿，問雞、兔各幾只？

師：今天我們學(xué)習(xí)用二元一次方程組來解決雞兔同籠問題。你們能從題目中得到哪些等量關(guān)系？

生：“雞只數(shù)+兔只數(shù)=總只數(shù)”和“兔腿+雞腿=總腿數(shù)”

師：設(shè)雞有x只，兔有y只。我們可以得到哪兩個方程？

生：x+y=352x+4y=94

師：我們可以組成一個方程組。（板書）

x+y=35①2x+4y=94②endprint

……

師：我們可以用代數(shù)法和消元法解這個二元一次方程組。

三、 思考篇

“雞兔同籠”問題在不同年級教學(xué)中大致的方法定位后，我們會面對一個追問：到七年級學(xué)了二元一次方程組后，學(xué)生馬上能夠解決這個問題，那么之前的那些“低級”方法有價值嗎？是的，就從解題的方法而言，價值不大！但我們要發(fā)掘的是雞兔同籠問題的教學(xué)價值以及教育價值。

（一） 在經(jīng)歷解決問題的過程中積累活動經(jīng)驗

“雞兔同籠”問題不管在哪個年段教學(xué)都應(yīng)該著眼于其教材的本質(zhì)，解讀其解題策略的本質(zhì)屬性。重視學(xué)習(xí)過程中學(xué)生思維、情感的全程參與，在不斷地提出問題、解決問題的過程中，激活學(xué)生原有的經(jīng)驗，不斷修復(fù)有缺陷的經(jīng)驗，使粗糙的經(jīng)驗漸漸趨于精致，淺層次的經(jīng)驗得到提升，讓新生成的經(jīng)驗自然地嵌入已有的經(jīng)驗系統(tǒng)。“雞兔同籠”解題策略豐富多樣的背后也有同一性，即“假設(shè)法”。

無論是對解決問題方法、思路的總結(jié)以及方法的類比、遷移，最終的目的都是為了幫助學(xué)生積累經(jīng)驗，經(jīng)驗的獲得、能力的發(fā)展，并需要通過一節(jié)課一節(jié)課循序漸進(jìn)地積累。

（二） 獲得活動經(jīng)驗是智慧生長的重要路徑

美國數(shù)學(xué)家克萊因曾說過：“音樂能激發(fā)或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩歌能動人心弦，哲學(xué)使人獲得智慧，科技可以改善物質(zhì)生活，但數(shù)學(xué)能給予以上的一切?！币虼?，教學(xué)中不能僅僅停留在知識的層面，“雞兔同籠”在各年段教學(xué)中，教學(xué)內(nèi)容都納入到原有的知識體系中，實現(xiàn)認(rèn)知體系的新建構(gòu)，站在“學(xué)生未來發(fā)展所必須具備的解決問題的能力這一高度”思考其價值和意義，不斷刷新基本活動經(jīng)驗的高度，從而讓學(xué)生獲得智慧的無限生長。

不同學(xué)段不同的方法，反映了學(xué)生操作思維、表象思維、分析思維三種不同的思維水平，“雞兔同籠”的解題策略從“畫圖法→列表法→假設(shè)法→方程→二元一次方程組”體現(xiàn)了不同的思維層次。但它們一脈相承，有自己獨特的生長方式。

（三） 在經(jīng)驗積累中感悟數(shù)學(xué)思想

經(jīng)驗積累與思想感悟決定人的思維方式。而經(jīng)驗積累和思想感悟是悟出來的，想出來的，不是教會的?！半u兔同籠”教學(xué)不能過多地在“繁、難、奇、深”上下功夫，應(yīng)該在準(zhǔn)確把握文本教學(xué)價值的前提下，經(jīng)歷探究、思考、抽象、推理、反思的過程，積累觀察、操作、猜想、歸納、推廣等活動經(jīng)驗。從“雞兔同籠”問題的教學(xué)中，體驗“化歸”、“數(shù)形結(jié)合”、“枚舉”、“建?！钡鹊鹊臄?shù)學(xué)思想，感受數(shù)學(xué)的魅力。比如：在列表法中，鼓勵學(xué)生進(jìn)行枚舉，如果頭和腿的數(shù)目較多，可以在枚舉過程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律然后進(jìn)行調(diào)整，如“發(fā)現(xiàn)腿數(shù)差很多，那就多增加兔子只數(shù)”，還可以從假設(shè)一半雞或兔子開始枚舉，來培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感和估算能力?？墒?，在實際教學(xué)中，很多老師往往不會這樣引導(dǎo)學(xué)生思考，覺得這是一個笨辦法。其實，這種方法是具有一般性的。教師要引導(dǎo)學(xué)生抓住學(xué)數(shù)學(xué)用數(shù)學(xué)的本質(zhì)，學(xué)習(xí)“雞兔同籠”問題并非單純解決“雞兔同籠”問題，而是以“雞兔同籠”問題為載體，學(xué)習(xí)解決類似的實際問題的方法。

“雞兔同籠”問題不同年級連續(xù)課的教學(xué)，應(yīng)充分認(rèn)識到可以挖掘的內(nèi)涵，使學(xué)生的收獲不僅僅停留在活動經(jīng)驗上，而是從知識技能、數(shù)學(xué)原理、思想方法、具體策略等多方面得到發(fā)展，教師要獨具慧眼，把握好教學(xué)時機。

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作者簡介：

楊凱明，浙江省義烏市江濱小學(xué)。endprint