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        離散型隨機(jī)變量的期望與方差

        2018-01-29 18:12:07趙碧云余錦銀
        高中生學(xué)習(xí)·高三版 2017年12期
        關(guān)鍵詞:鮮牛奶黑球白球

        趙碧云+余錦銀

        離散型隨機(jī)變量的分布列、期望、方差是三個(gè)緊密相連的有機(jī)統(tǒng)一體,一般綜合在一起進(jìn)行考查. 其解題的關(guān)鍵是求出分布列,然后套用公式即可求出期望與方差. 下面我們結(jié)合實(shí)例談一談離散型隨機(jī)變量的期望與方差及其應(yīng)用.

        常見分布列的數(shù)學(xué)期望與方差

        例1 一個(gè)口袋內(nèi)裝有5個(gè)白球和2個(gè)黑球,現(xiàn)從中每次摸取一個(gè)球,取出黑球就放回,取出白球則停止摸球. 求取球次數(shù)[ξ]的數(shù)學(xué)期望[Eξ]與方差[Dξ].

        分析 每次取出黑球就放回,取到白球才結(jié)束. 每次從袋內(nèi)取出白球的概率[p=57],取出黑球的概率[q=27]. [ξ]的取值為1,2,3,…,有無窮多個(gè). 因此[ξ]服從幾何分布.

        解 用[ξ=k]表示前[k-1]次均取到黑球,而第[k]次取到白球,

        故[pξ=k=qk-1?p=27k-1?57],[k=1,2,3,…].

        又[ξ]服從幾何分布.

        從而[Eξ][=1p=75],[Dξ][=1-pp2=1-57572=1425].

        點(diǎn)評(píng) (1)幾何分布:概率為[p]的事件[A],以[X]記為[A]首次發(fā)生所進(jìn)行的實(shí)驗(yàn)次數(shù),則[X]的分布列:[pX=k=1-pk-1?p,k=1,2,3,…],具有這種分布列的隨機(jī)變量[X],稱為服從參數(shù)[p]的幾何分布. (2)幾何分布的期望[Eξ=1p],方差[Dξ=1-pp2].

        例2 某校校慶,各屆校友紛至沓來,某班共來了n位校友(n>10且[n∈N*]),其中女校友6位,組委會(huì)對這n位校友制作了一份校友名單. 現(xiàn)隨機(jī)從中選出2位校友代表,若選出的2位校友是一男一女,則稱為“最佳組合”.

        (1)若隨機(jī)選出的2位校友代表為“最佳組合”的概率等于[12],求n的值;

        (2)當(dāng)n=12時(shí),設(shè)選出的2位校友中女校友人數(shù)為ξ,求ξ的分布列以及Eξ,[Dξ].

        解析 (1)由題意可知,所選兩人為“最佳組合”的概率[P=C1n-6C16C2n=12n-6nn-1].

        則[12n-6nn-1=12].

        化簡得,n2-25n+144=0,

        解得,n=9(舍去),或n=16.

        故n=16.

        (2)由題意得,[ξ]的可能取值為0,1,2.

        則P(ξ=0)=[C26C212=522],P(ξ=1)=[C16C16C212=611],

        P(ξ=2)=[C26C212=522].

        [[ξ] 0 1 2 [P] [522] [611] [522] ]

        [∴][Eξ=0×522+1×611+2×522=1],

        [Dξ=0-12×522+1-12×611+2-12×522=511.]

        點(diǎn)評(píng) ①在含有[M]件次品數(shù)的[N]件產(chǎn)品中,任取[n]件,其中含有[X]件次品數(shù),則事件[{X=k}]發(fā)生的概率為[P(X=k)=CkMCn-kN-MCnN],[k]=0,1,2,…,[m],其中[m=min{M,n}],且[n≤N],[M≤N],[n],[M],[N∈N*],稱此分布列為超幾何分布列.

        ②超幾何分布的期望[EX=nMN],[DX=nMN-][nMN2+nn-1MM-1NN-1].

        離散型隨機(jī)變量在實(shí)際中的應(yīng)用

        例3 甲、乙兩個(gè)野生動(dòng)物保護(hù)區(qū)有相同的自然環(huán)境,且野生動(dòng)物的種類和數(shù)量也大致相等. 而兩個(gè)保護(hù)區(qū)內(nèi)每個(gè)季度發(fā)現(xiàn)違反保護(hù)條例的事件次數(shù)的分布列如下. 試評(píng)定這兩個(gè)保護(hù)區(qū)的管理水平.

        甲保護(hù)區(qū)

        分析 一是要比較一下甲、乙兩個(gè)保護(hù)區(qū)內(nèi)每季度發(fā)生的違規(guī)事件的次數(shù)的均值,即數(shù)學(xué)期望;二是要看發(fā)生違規(guī)事件次數(shù)的波動(dòng)情況,即方差值的大小. (當(dāng)然,亦可計(jì)算其標(biāo)準(zhǔn)差,同樣說明道理. )

        解 甲保護(hù)區(qū)的違規(guī)次數(shù)[ξ1]的數(shù)學(xué)期望和方差為:

        [Eξ1=0×0.3+1×0.3+2×0.2+3×0.2=1.3,]

        [Dξ1=(0-1.3)2×0.3+(1-1.3)2×0.3+(2-1.3)2×0.2 ]

        [+(3-1.3)2×0.2=1.21.]

        乙保護(hù)區(qū)的違規(guī)次數(shù)[ξ2]的數(shù)學(xué)期望和方差為:

        [Eξ2=0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3,]

        [Dξ2=(0-1.3)2×0.1+(1-1.3)2×0.5+(2-1.3)2×0.4 ]

        [=0.41].

        因?yàn)閇Eξ1=Eξ2,Dξ1>Dξ2],所以兩個(gè)保護(hù)區(qū)內(nèi)每季度發(fā)生的違規(guī)平均次數(shù)是相同的;乙保護(hù)區(qū)內(nèi)的違規(guī)事件次數(shù)更集中和穩(wěn)定,而甲保護(hù)區(qū)的違規(guī)事件次數(shù)相對分散和波動(dòng).

        (標(biāo)準(zhǔn)差[σξ1=Dξ1=1.1,σξ2=Dξ2≈0.64]這兩個(gè)值在科學(xué)計(jì)算器上容易獲得,顯然,[σξ1>σξ2].)

        點(diǎn)評(píng) 數(shù)學(xué)期望只體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的平均大小,但有時(shí)僅知道均值大小還是不夠的(比如:兩個(gè)隨機(jī)變量的均值相等了,即數(shù)學(xué)期望值相等),這就還需要知道隨機(jī)變量的取值如何在均值周期變化,即計(jì)算其方差(或是標(biāo)準(zhǔn)差). 方差大說明隨機(jī)變量取值分散性大,方差小說明取值分散性小或者說取值比較集中、穩(wěn)定.

        期望、方差與其他知識(shí)的綜合應(yīng)用

        例4 某廠用鮮牛奶在某臺(tái)設(shè)備上生產(chǎn)[A,B]兩種奶制品. 生產(chǎn)1噸[A]產(chǎn)品需鮮牛奶2噸,使用設(shè)備1小時(shí),獲利1000元;生產(chǎn)1噸[B]產(chǎn)品需鮮牛奶1.5噸,使用設(shè)備1.5小時(shí),獲利1200元. 要求每天[B]產(chǎn)品的產(chǎn)量不超過[A]產(chǎn)品產(chǎn)量的2倍,設(shè)備每天生產(chǎn)[A,B]兩種產(chǎn)品時(shí)間之和不超過12小時(shí). 假定每天可獲取的鮮牛奶數(shù)量W(單位:噸)是一個(gè)隨機(jī)變量,其分布列如下.endprint

        [[W] 12 15 18 [P] 0.3 0.5 0.2 ]

        該廠每天根據(jù)獲取的鮮牛奶數(shù)量安排生產(chǎn),使其獲利最大,因此每天的最大獲利[Z](單位:元)是一個(gè)隨機(jī)變量.

        (1)求[Z]的分布列和均值;

        (2)若每天可獲取的鮮牛奶數(shù)量相互獨(dú)立,求3天中至少有1天的最大獲利超過10000元的概率.

        解析 (1)設(shè)每天[A,B]兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量分別為[x,y],相應(yīng)的獲利為[z],

        則[2x+1.5y≤W,x+1.5y≤12,2x-y≥0,x≥0, y≥0. ] (*)

        目標(biāo)函數(shù)為[z=1000x+1200y].

        ①當(dāng)[W=12]時(shí),(*)表示的平面區(qū)域如圖1,三個(gè)頂點(diǎn)分別為[A(0, 0), B(2.4, 4.8), C(6, 0)].

        [圖1]

        將[z=1000x+1200y]變形為[y=-56x+z1200],

        當(dāng)[x=2.4, y=4.8]時(shí),直線[l]:[y=-56x+z1200]在[y]軸上的截距最大,

        最大獲利[Z=zmax=2.4×1000+4.8×1200][=8160].

        ②當(dāng)[W=15]時(shí),(*)表示的平面區(qū)域如圖2,三個(gè)頂點(diǎn)分別為[A(0, 0), B(3, 6), C(7.5, 0)].

        將[z=1000x+1200y]變形為[y=-56x+z1200],

        當(dāng)[x=3, y=6]時(shí),直線[l]:[y=-56x+z1200]在[y]軸上的截距最大,

        最大獲利[Z=zmax=3×1000+6×1200=10200].

        ③當(dāng)[W=18]時(shí),(*)表示的平面區(qū)域如圖3,四個(gè)頂點(diǎn)分別為[A(0, 0), B(3, 6), C(6, 4), D(9, 0)].

        將[z=1000x+1200y]變形為[y=-56x+z1200],

        當(dāng)[x=6,y=4]時(shí),直線[l]:[y=-56x+z1200]在[y]軸上的截距最大,

        最大獲利[Z=zmax=6×1000+4×1200=10800].

        故最大獲利[Z]的分布列為

        [[Z] 8160 10200 10800 [P] 0.3 0.5 0.2 ]

        故[E(Z)=8160×0.3+10200×0.5+10800×0.2]

        [=9708.]

        (2)由(1)知,一天最大獲利超過10000元的概率[p1=P(Z>10000)=0.5+0.2=0.7].

        由二項(xiàng)分布知,3天中至少有1天最大獲利超過10000元的概率為[p=1-(1-p1)3=1-0.33=0.973.]

        點(diǎn)評(píng) 本題是隨機(jī)變量的分布列、期望、二項(xiàng)分布與線性規(guī)劃的綜合應(yīng)用. 很多同學(xué)由于題目較長讀不懂題意,無法轉(zhuǎn)化,導(dǎo)致丟分. 其實(shí)只需根據(jù)[W]的取值和線性規(guī)劃的知識(shí)求出[Z]的所有可能取值及對應(yīng)的概率就可得到[Z]的分布列,問題也就迎刃而解了.endprint

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