楊勇，王家序, 2，周青華，祝晉旋，楊萬(wàn)友

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橢圓凸輪波發(fā)生器零側(cè)隙諧波齒輪傳動(dòng)共軛齒廓精確求解

楊勇1，王家序1, 2，周青華1，祝晉旋1，楊萬(wàn)友1

(1. 四川大學(xué) 空天科學(xué)與工程學(xué)院，四川 成都，610065；2. 重慶大學(xué) 機(jī)械傳動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶，400044)

提出一種凸輪波發(fā)生器諧波傳動(dòng)共軛齒廓精確求解法，該方法在求解過(guò)程中不作近似處理，并以原始曲線(xiàn)呈橢圓為例演示該算法求解共軛齒廓的過(guò)程。對(duì)雙圓弧齒廓諧波傳動(dòng)共軛區(qū)間和共軛齒廓進(jìn)行計(jì)算比較，結(jié)合有限元分析，驗(yàn)證算法的正確性和合理性。通過(guò)對(duì)不同算法求得的2組諧波傳動(dòng)分別求出側(cè)隙分布和運(yùn)用限元分析求得應(yīng)力分布。研究結(jié)果表明：本文算法所得側(cè)隙分布較近似算法更加微小均勻，并且由本文解法所得傳動(dòng)應(yīng)力分布狀況更優(yōu)。

諧波齒輪；雙圓弧齒廓；共軛；精確算法；橢圓

諧波齒輪傳動(dòng)因結(jié)構(gòu)緊湊、質(zhì)量輕、體積小而減速比大、傳動(dòng)精度高等諸多優(yōu)點(diǎn)，廣泛運(yùn)用于航空航天和工業(yè)機(jī)器人等特殊領(lǐng)域。為了提高其傳動(dòng)性能，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)其運(yùn)動(dòng)學(xué)和嚙合理論[1?6]、振動(dòng)與動(dòng)態(tài)性能[7?8]、齒廓形狀[9?11]、位置精度[12?13]等領(lǐng)域開(kāi)展了大量研究。隨著空間機(jī)器人和航天飛行器的快速發(fā)展，對(duì)諧波減速器的性能，尤其是對(duì)體積、質(zhì)量和傳動(dòng)精度等指標(biāo)提出了更加嚴(yán)格的要求。諧波齒輪傳動(dòng)在波發(fā)生器作用下柔輪產(chǎn)生的周期性彈性變形是獲得大變速比的前提，而且這種彈性變形決定著兩輪輪齒共軛運(yùn)動(dòng)的規(guī)律。為獲得更優(yōu)的嚙合性能和傳動(dòng)精度，對(duì)諧波傳動(dòng)中柔輪的變形進(jìn)行深入研究，建立更精確的齒廓共軛算法實(shí)現(xiàn)零側(cè)隙傳動(dòng)尤為必要。諧波減速器在裝配后柔輪產(chǎn)生變形，柔輪輪齒的位置變化除徑向位移和切向位移外，其對(duì)稱(chēng)線(xiàn)還相對(duì)于矢徑旋轉(zhuǎn)了一個(gè)角度。在用包絡(luò)理論和運(yùn)動(dòng)學(xué)法求諧波齒輪傳動(dòng)共軛齒廓的方法中，為了計(jì)算方便，對(duì)柔輪輪齒對(duì)稱(chēng)線(xiàn)相對(duì)于矢徑的轉(zhuǎn)角和柔輪中線(xiàn)變形的切向位移引起的轉(zhuǎn)角都采用近似方法求解。DONG等[4]提出了平面諧波傳動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué)原理，為建立更精確的共軛方程提供了理論基礎(chǔ)。陳曉霞等[6]提出了基于柔輪彈性變形的包絡(luò)理論精確算法，提高了共軛齒廓求解精度，但仍可完善。本文作者參考現(xiàn)有柔輪彈性變形的多種分析和求解方法[1?6]，在假設(shè)1) 理想輕載，假設(shè)2) 柔輪中線(xiàn)變形前后不伸長(zhǎng)，假設(shè)3) 柔輪輪齒相對(duì)柔輪齒槽為剛體，假設(shè)4) 變形后柔輪緊密貼合波發(fā)生器等的基礎(chǔ)上，提出一種基于柔輪彈性變形和運(yùn)動(dòng)學(xué)的共軛精確算法。在輪齒嚙合端，精確計(jì)算橢圓弧長(zhǎng)、柔輪輪齒對(duì)稱(chēng)線(xiàn)相對(duì)于矢徑的轉(zhuǎn)角、柔輪中線(xiàn)變形切向位移引起的轉(zhuǎn)角等各個(gè)參數(shù)，建立嚙合方程，并利用數(shù)值法計(jì)算變形后柔輪齒的共軛齒廓，為零側(cè)隙諧波齒輪傳動(dòng)共軛齒廓的求解和優(yōu)化提供指導(dǎo)。

1 建立坐標(biāo)系統(tǒng)及確定自變量

圖1 極坐標(biāo)中柔輪中性線(xiàn)變形前后

在極坐標(biāo)系中平面曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)計(jì)算公式如下

而不應(yīng)是現(xiàn)在近似方法普遍運(yùn)用的

因此，求解諧波傳動(dòng)共軛齒廓可以考慮使用以上推導(dǎo)的精確表達(dá)式，或?qū)λ羞\(yùn)動(dòng)參數(shù)選擇以1(而不是)為自變量表示進(jìn)行求解，1為以波發(fā)生器長(zhǎng)軸為極軸的極坐標(biāo)系的極角。本文算法取1為自變量表示所有運(yùn)動(dòng)參數(shù)，可精確簡(jiǎn)便地求解橢圓波發(fā)生器雙圓弧齒廓諧波傳動(dòng)共軛齒廓。

建立如圖2所示的坐標(biāo)系統(tǒng)，用于描述柔輪、剛輪和波發(fā)生器之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)以及柔輪中線(xiàn)變形曲線(xiàn)上選定點(diǎn)的位移。假設(shè)剛輪固定，波發(fā)生器逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)輸入，柔輪順時(shí)針旋轉(zhuǎn)輸出。其中固定坐標(biāo)系2{2，2，2}與剛輪相固連，2軸與剛輪齒槽對(duì)稱(chēng)線(xiàn)重合，原點(diǎn)2位于剛輪回轉(zhuǎn)中心。動(dòng)坐標(biāo)系{，，}和1{1，1，1}分別與波發(fā)生器和柔輪嚙合端輪齒相固連，軸與波發(fā)生器的長(zhǎng)軸重合，原點(diǎn)位于波發(fā)生器的回轉(zhuǎn)中心；1軸與柔輪輪齒對(duì)稱(chēng)線(xiàn)重合，原點(diǎn)1位于柔輪中線(xiàn)上。

柔輪中線(xiàn)變形曲線(xiàn)的位移示意如圖2所示。初始位置是：1，2和三軸共線(xiàn)，坐標(biāo)系，2重合，坐標(biāo)系1中1點(diǎn)位于波發(fā)生器長(zhǎng)軸頂點(diǎn)。圖中所示位置為波發(fā)生器相對(duì)于2軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)2時(shí)，柔輪非變形端相對(duì)于2軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，而變形端則順時(shí)針旋轉(zhuǎn)。根據(jù)諧波傳動(dòng)摩擦模型的運(yùn)動(dòng)學(xué)理論可知，傳動(dòng)時(shí)剛輪節(jié)圓和柔輪彈性節(jié)曲線(xiàn)是作純滾動(dòng)[1, 4]。因此剛輪相對(duì)波發(fā)生器旋轉(zhuǎn)的角度2和柔輪相對(duì)波發(fā)生器旋轉(zhuǎn)的角度1之間有如下關(guān)系：

圖2 諧波傳動(dòng)坐標(biāo)系統(tǒng)

柔輪中線(xiàn)變形曲線(xiàn)由波發(fā)生器的形狀決定，變形曲線(xiàn)的自變量為柔輪未變形端相對(duì)于波發(fā)生器長(zhǎng)軸所旋轉(zhuǎn)的角度，以圖2所示順時(shí)針為正。對(duì)圖中轉(zhuǎn)角變量，取方向與箭頭方向一致為正值，否則為負(fù)值。波發(fā)生器迫使柔輪嚙合端中線(xiàn)發(fā)生變形，使得1點(diǎn)從1處移動(dòng)到圖示1處，而且法線(xiàn)由1方向變?yōu)?方向。

極徑1的長(zhǎng)度表達(dá)式如下

對(duì)式(7)求導(dǎo)可得

基于諧波傳動(dòng)中柔輪變形前后其中線(xiàn)不伸長(zhǎng)的假設(shè)，可由下式確定

圖2中其他角度也都能寫(xiě)成關(guān)于1的函數(shù)：

2 傳統(tǒng)算法中的近似處理

在求諧波傳動(dòng)共軛齒形的傳統(tǒng)包絡(luò)法[1]中，以柔輪未變形端轉(zhuǎn)角為自變量，表示出矢徑()、徑向變形()、周向變形()和轉(zhuǎn)角變形()等變量，再作一些簡(jiǎn)化計(jì)算的近似處理來(lái)求解。主要存在以下近似處理。

2.1 變形后柔輪中性層變形曲線(xiàn)轉(zhuǎn)角

為求得變形后柔輪中性層變形曲線(xiàn)轉(zhuǎn)角1，傳統(tǒng)算法還需對(duì)式(2)做如下近似處理[6]，否則不能解析表達(dá)。

由此可將1表示成自變量的函數(shù)，即

而在本文算法中，以1為自變量，式(13)不僅能夠精確表示，還可以方便地運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行處理和計(jì)算。

2.2 齒廓對(duì)稱(chēng)線(xiàn)相對(duì)于徑矢的轉(zhuǎn)角

對(duì)于柔輪輪齒對(duì)稱(chēng)線(xiàn)相對(duì)于徑矢轉(zhuǎn)過(guò)角度，為便于計(jì)算進(jìn)行了以下近似處理[1]。

因?yàn)椴粫?huì)增加太多計(jì)算困難，所以本文算法對(duì)沒(méi)有進(jìn)行近似處理；文獻(xiàn)[6]中雖然也沒(méi)有采用近似處理，但需由1用復(fù)雜的定積分表示，大大增加了計(jì)算難度。

3 求解共軛齒廓的精確算法

圖2中坐標(biāo)系1到2的坐標(biāo)變換矩陣21和底矢變換矩陣21分別如下：

1.2 現(xiàn)代中醫(yī)研究 現(xiàn)代中醫(yī)對(duì)小兒厭食癥也多有研究，趙瓊等[3]分析認(rèn)為本病證型以脾胃氣虛、脾虛食積、脾胃陰虛、脾虛濕困、肝脾不調(diào)為主。溫愛(ài)平等[4]研究顯示，小兒厭食病因?yàn)轱嬍巢还?jié)、多病久病、暑濕熏蒸、先天不足，其中飲食不節(jié)占53.1%。胡愛(ài)國(guó)[5]對(duì)300例厭食癥患兒進(jìn)行病因分析，發(fā)現(xiàn)飲食不節(jié)、喂養(yǎng)不當(dāng)者占47.9%，多病久病、傷害脾胃者占27.1%，先天不足、后天失調(diào)者占20.8%，暑濕熏蒸、脾陽(yáng)失展者占3.3%，環(huán)境變化，思慮傷脾者占0.8%。閆雁等[6]則認(rèn)為小兒厭食尚有肝脾郁結(jié)、肝陰虛、肝膽濕熱證型，故從肝論治本病能取得較好療效。

根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)法，在相互包絡(luò)齒廓的接觸點(diǎn)處，相對(duì)運(yùn)動(dòng)的速度矢量應(yīng)當(dāng)垂直于齒廓的法線(xiàn)矢量，即兩曲面在接觸點(diǎn)處必須滿(mǎn)足以下嚙合方程[15]

式中：和(12)分別表示在坐標(biāo)系S中兩共軛曲面在接觸點(diǎn)處的公法矢和相對(duì)速度矢。

定義矩陣，令

4 計(jì)算實(shí)例

以波發(fā)生器為標(biāo)準(zhǔn)橢圓凸輪的雙圓弧諧波齒輪傳動(dòng)為例，柔輪輪齒局部坐標(biāo)系和公切線(xiàn)式雙圓弧齒廓如圖3所示。

選取模數(shù)0.317 5 mm，徑向變形系數(shù)0=1.0，全齒高=1.5 m，齒頂高a=0.6 m，齒根高f=0.9 m，柔輪齒數(shù)z=160，剛輪齒數(shù)z=162，具體參數(shù)見(jiàn)表1。

圖3 雙圓弧齒廓及柔輪輪齒坐標(biāo)系

表1 柔輪齒廓參數(shù)

4.1 所得共軛離散點(diǎn)比較

分別采用近似算法和本文所提的精確算法求得此諧波傳動(dòng)柔輪的共軛區(qū)間和共軛齒廓，如圖4和圖5所示。

從圖4可看出：由不同算法求得柔輪齒廓上各個(gè)點(diǎn)發(fā)生共軛時(shí)對(duì)應(yīng)的有明顯差異，且在共軛Ⅰ區(qū)兩者的差別較共軛Ⅱ區(qū)更加顯著(齒廓的先、后2次共軛區(qū)域，分別稱(chēng)為共軛Ⅰ區(qū)和Ⅱ區(qū)[17])。在共軛Ⅰ區(qū)靠近齒頂或齒根處差異要小于中間部分，差異由中間向兩端逐漸減??；而在共軛Ⅱ區(qū)除凸圓弧齒廓和直線(xiàn)段齒廓相切點(diǎn)附近差別明顯較大外，其他地方差異則較為均勻。采用本文算法得出的齒廓共軛區(qū)域Ⅰ和Ⅱ之間的距離更近，總共軛區(qū)間明顯大于近似算法的總共軛區(qū)間，將使參與嚙合的齒對(duì)處于共軛嚙合而不是尖點(diǎn)嚙合的數(shù)目更多，對(duì)提高雙圓弧諧波齒輪傳動(dòng)精度和扭轉(zhuǎn)剛度有重要意義。

本例諧波傳動(dòng)存在2次共軛現(xiàn)象，由本文算法求得的第1次共軛區(qū)間為[2.912 307°，10.880 029°]，第2次共軛區(qū)間為[12.493 927°，46.968 601°]；而由近似算法求得的第1次和第2次共軛區(qū)間分別為 [2.549 667°，7.786 985°]與[13.652 177°，46.018 008°]。第1次和第2次共軛區(qū)間最小角度偏移量分別為0.362 640°和1.158 250°，最大角度偏移量為3.093 045°和0.950 593°。定義偏移角度與共軛區(qū)間大小之比為偏差[6]，則在第1次共軛區(qū)間內(nèi)最大值偏差為38.82%，最小值偏差為4.55%；在第2次共軛區(qū)間內(nèi)最大值偏差為2.76%，最小值偏差為3.36%。

圖4 柔輪齒廓共軛區(qū)間比較

圖5所示為不同算法對(duì)求取剛輪的理論共軛齒廓的影響。由圖5可知：算法差異對(duì)共軛凹齒廓的影響很小，而對(duì)共軛凸齒廓的影響更明顯。因?yàn)橹C波齒輪齒廓精細(xì)，細(xì)微的變化可能明顯改善性能，特別是對(duì)輪齒側(cè)隙影響顯著(因側(cè)隙為微米級(jí))，所以不容忽視。

(a) 凹齒廓；(b) 凸齒廓

4.2 圓弧擬合后比較

本例中柔輪齒廓參數(shù)是經(jīng)過(guò)文獻(xiàn)[17]提出的齒廓優(yōu)化方法得出的優(yōu)化值，存在一定“雙共軛區(qū)”，易于實(shí)現(xiàn)諧波齒輪的零側(cè)隙傳動(dòng)。為便于加工制造和量化分析，對(duì)分別由2種算法求得的柔輪共軛齒廓離散點(diǎn)進(jìn)行圓弧擬合，得到各自對(duì)應(yīng)的剛輪齒廓，其相關(guān)參數(shù)見(jiàn)表2。

表2 剛輪齒廓參數(shù)對(duì)比

從表2可看出：2種算法求得的齒廓各個(gè)參數(shù)的差別在10?2 mm的量級(jí)上，而且算法的不同對(duì)剛輪凸齒廓的影響較凹齒廓更明顯。定義齒廓半徑差與半徑之比為偏差，則凹齒廓半徑偏差為1.72%，凸齒廓半徑偏差為8.50%。

為直觀地反映裝配變形后雙圓弧諧波齒輪的嚙合狀態(tài)及側(cè)隙分布，通過(guò)不斷改變波發(fā)生器轉(zhuǎn)角，對(duì)柔輪齒廓坐標(biāo)進(jìn)行坐標(biāo)變換來(lái)模擬柔輪和剛輪輪齒的相對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。在波發(fā)生器旋轉(zhuǎn)取0°~90°，基于本文提出共軛算法的柔輪輪齒相對(duì)于剛輪齒槽的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖6所示。由圖6可知：嚙合過(guò)程中柔輪與剛輪齒廓未發(fā)生干涉。

1—?jiǎng)傒嘄X廓；2—柔輪齒廓。

此例中波發(fā)生器單側(cè)嚙合齒對(duì)為23對(duì)，運(yùn)用文獻(xiàn)[18]提出的側(cè)隙求解方法，基于MATLAB設(shè)計(jì)程序計(jì)算各齒對(duì)側(cè)隙。在橢圓凸輪波發(fā)生器作用下，由不同算法求得的2組齒輪副之間的側(cè)隙分布如圖7所示，圖中，橫坐標(biāo)表示齒數(shù)，將波發(fā)生器長(zhǎng)軸對(duì)應(yīng)的柔輪輪齒記為0，往右側(cè)數(shù)依次記為1，2，3，…，，往左側(cè)方向的齒則記為負(fù)數(shù)；縱坐標(biāo)表示側(cè)隙，對(duì)已發(fā)生齒廓重疊干涉的齒對(duì)側(cè)隙用負(fù)數(shù)表示，經(jīng)驗(yàn)證均沒(méi)有干涉發(fā)生。從圖7可看出：根據(jù)本文算法求得的齒輪副齒對(duì)之間側(cè)隙分布均勻，右側(cè)各個(gè)齒對(duì)整體上側(cè)隙在0.2 μm左右，最大值為0.316 4 μm對(duì)應(yīng)橫坐標(biāo)為1，最小值為0.052 4 μm；而近似算法右側(cè)各齒對(duì)間側(cè)隙分布不夠均勻。雖然2組齒廓側(cè)隙都很小，但根據(jù)本文算法求得的齒輪副齒對(duì)間側(cè)隙分布較近似算法波動(dòng)性更小、更均勻，在動(dòng)力傳遞中有利于合理分配齒間載荷，減小振動(dòng)沖擊，提高承載能力和傳動(dòng)性能。

1—本文算法；2—近似算法。

4.3 有限元分析

考慮到傳動(dòng)時(shí)沒(méi)有軸向力，也沒(méi)有限制軸向應(yīng)變的約束，因而沒(méi)有軸向應(yīng)力，采用平面應(yīng)力有限元模型是合理的[9]。諧波齒輪傳動(dòng)由剛輪、柔輪和波發(fā)生器組成，波發(fā)生器帶有滾珠軸承外圈呈橢圓，當(dāng)波發(fā)生器裝入柔輪內(nèi)，柔輪內(nèi)圈將與波發(fā)生器外圈相貼合而呈橢圓，在有限元模型中可略去滾珠軸承把波發(fā)生器簡(jiǎn)化成橢圓形的剛體[11]。按照本例雙圓弧諧波傳動(dòng)所求參數(shù)，在UGNX中建立三維模型，提取二維特征后以Parasolid格式導(dǎo)入非線(xiàn)性有限元分析軟件ABAQUES進(jìn)行平面有限元分析。柔輪材料為30CrMnSiNiA，彈性模量為206 GPa，剛輪材料為45鋼，彈性模量為210 GPa，泊松比為0.3，密度為7.8×103kg/m3。

因可能涉及到非常大的網(wǎng)格扭曲問(wèn)題，采用細(xì)網(wǎng)格剖分的線(xiàn)性減縮積分單元CPS4R對(duì)諧波傳動(dòng)各組件進(jìn)行結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格劃分，并對(duì)裝配和傳動(dòng)過(guò)程中參與嚙合計(jì)算的輪齒齒側(cè)及齒根處的網(wǎng)格適當(dāng)加密網(wǎng)格大小為0.02 mm。在整個(gè)有限元模型中上下半橢圓凸輪分別劃分為2 180個(gè)CPS4R單元，環(huán)形柔輪被劃分成176 114個(gè)CPS4R單元，剛輪被劃分成146 379個(gè)CPS4R單元和4 111個(gè)CPS3單元。裝配后網(wǎng)格劃分情況如圖8所示。采用動(dòng)力顯式模塊Explicit進(jìn)行準(zhǔn)靜態(tài)分析，模擬波發(fā)生器裝配入柔輪的過(guò)程。由于在波發(fā)生器裝入前，柔輪體是圓形的，而波發(fā)生器是橢圓，其長(zhǎng)軸要比柔輪體內(nèi)圓半徑大，因此在對(duì)諧波齒輪進(jìn)行模擬裝配時(shí)，先將波發(fā)生器分成2個(gè)半橢圓，2個(gè)半橢圓分別向內(nèi)縮進(jìn)徑向變形量0=0.317 5 mm，分別指定好各自的參考點(diǎn)，模擬時(shí)把上下2個(gè)半橢圓視為剛體，在定義邊界條件時(shí)給定上半凸輪參考點(diǎn)向上的位移和下半凸輪參考點(diǎn)向下的位移，其值為0。由于柔輪被撐開(kāi)后柔輪上某些區(qū)域可能變形量較大，屬于大位移，所以在分析時(shí)，設(shè)置成非線(xiàn)性分析，分析完成后，2個(gè)參考點(diǎn)剛好在凸輪中心點(diǎn)重合，柔輪發(fā)生初始變形，形成初始應(yīng)力，同時(shí)還可以看到柔輪，剛輪在裝配后的初始嚙合情況。接著類(lèi)似普通齒輪副嚙合靜力分析方法，設(shè)置剛輪與柔輪之間的摩擦因數(shù)設(shè)為0.01，柔輪內(nèi)壁固定，在剛輪回轉(zhuǎn)中心上加載 20 N·m轉(zhuǎn)矩，采用通用模塊Standard求解，分析受力情況。

圖8 諧波齒輪有限元模型網(wǎng)格劃分

圖9所示為二維諧波傳動(dòng)有限元分析結(jié)果。由圖9可見(jiàn)：對(duì)于施加相等轉(zhuǎn)矩二者呈現(xiàn)出不同的應(yīng)力分布狀態(tài)，最大應(yīng)力相差近40%。本文算法所得的各接觸齒對(duì)間受力較均勻，而由近似算法所得應(yīng)力中有少部分接觸齒對(duì)受力很小，對(duì)于嚙入較深主要承受載荷的6對(duì)齒，本文算法所得的柔輪齒根應(yīng)力比近似算法同位置的應(yīng)力均小10 MPa，而本文算法所得的齒面應(yīng)力比近似算法的均勻得多，本文算法所得為218，213，221，292，331和341 MPa；近似算法為205，188，322，412，522和481 MPa；而對(duì)于嚙出部分，本文算法所得嚙出齒對(duì)柔輪剛輪齒頂間隙比近似算法所得的大，出現(xiàn)齒頂干涉的可能性更低。綜上可知，采用本文算法求得的剛輪齒廓與柔輪齒嚙合時(shí)將具有更好的力學(xué)性能。

(a) 本文算法；(b) 近似算法

5 結(jié)論

1) 提出一種求解共軛齒廓的精確算法，可方便地求解計(jì)算，所得共軛點(diǎn)更可靠。

2) 從數(shù)學(xué)上，傳統(tǒng)算法中表示柔輪變形前后對(duì)應(yīng)弧長(zhǎng)相等的等式兩邊不是精確相等而是近似相等，因而給出了精確表達(dá)式。

3) 本文算法求得的諧波傳動(dòng)側(cè)隙要比近似算法求得的結(jié)果更為均勻合理，波動(dòng)性更小，這對(duì)提高諧波傳動(dòng)承載能力和傳動(dòng)性能有重要意義。

4) 通過(guò)對(duì)實(shí)例進(jìn)行有限元分析，得出采用本文算法求出的剛輪齒廓與柔輪嚙合過(guò)程中將具有更佳的應(yīng)力分布，也可降低發(fā)生齒頂干涉的可能。

5) 文中以原始曲線(xiàn)為橢圓的凸輪波發(fā)生器諧波齒輪傳動(dòng)為例介紹共軛齒廓精確求解法，但此方法的求解思想對(duì)原始曲線(xiàn)為(工程上有應(yīng)用的)任意形狀的諧波傳齒輪動(dòng)都適用。

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(編輯 趙俊)

Exact solution for conjugate profiles of zero backlash harmonic drives with elliptical cam wave generators

YANG Yong1, WANG Jiaxu1, 2, ZHOU Qinghua1, ZHU Jinxuan1, YANG Wanyou1

(1. School of Aeronautics and Astronautics, Sichuan University, Chengdu 610065, China; 2. State Key Laboratory of Mechanical Transmissions, Chongqing University, Chongqing 400044, China)

An exact solution for conjugate profiles of a harmonic drive (HD) with a cam wave generator was presented. The details of the precise solution without approximate treatments were demonstrated through solving the conjugated tooth profiles of a HD with an elliptical cam generator. The accuracy and effectiveness of the proposed solution were verified by comparative analyses of conjugate domains and conjugate tooth profiles of HDs with double-circular-arc tooth profile (DCTP). The differences between the backlash distributions derived by the two algorithms and the finite element analyses (FEA) of the HDs were obtained. The results reveal that smaller and more uniform backlash distributions and better distributions of stress are achieved with the proposed exact solution.

harmonic drive; double-circular-arc tooth profile; conjugate; exact solution; ellipse

10.11817/j.issn.1672?7207.2017.12.013

TH132.43

A

1672?7207(2017)12?3231?08

2016?12?12；

2017?03?18

國(guó)家高技術(shù)研究發(fā)展計(jì)劃(863計(jì)劃)項(xiàng)目(2015AA043001)；國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51435001，51405316)；中航工業(yè)產(chǎn)學(xué)研專(zhuān)項(xiàng)(CXY2013CD36)(Project (2015AA043001) supported by the National High-Tech Research and Development Program (863 Program) of China; Projects (51435001, 51405316) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project (CXY2013CD36) supported by the Industry University Research Projects of Aviation Industry Corporation of China)

周青華，博士，副教授，從事空間摩擦學(xué)與可靠性工程、多尺度飛行器機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)與分析研究；E-mail：qh.zhou@foxmail.com