萬凱歌，吳愛國，董娜，方星

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3-DOF空間機(jī)械臂新型滑模軌跡跟蹤控制

萬凱歌，吳愛國，董娜，方星

(天津大學(xué) 電氣與自動化工程學(xué)院，天津， 300072)

為了實(shí)現(xiàn)機(jī)械臂高精度軌跡跟蹤，提出一種基于擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測器(ESO)的新型滑?？刂破?PD-ESO-SMC)。該控制器滑模面設(shè)計(jì)為PD形式，利用ESO對系統(tǒng)的外界的未知干擾、參數(shù)的攝動、未建模動態(tài)以及耦合部分進(jìn)行實(shí)時估計(jì)和補(bǔ)償，定義并且引入sal函數(shù)抑制抖振現(xiàn)象。最后通過穩(wěn)定性分析證明該控制器的有效性，同時，將仿真結(jié)果與基于PD的滑?？刂?PD-SMC)及PID控制器進(jìn)行對比。研究結(jié)果表明：所提出的控制方案能實(shí)現(xiàn)高精度的軌跡跟蹤，對外部干擾有很強(qiáng)的魯棒性。

機(jī)械臂；擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測器；軌跡跟蹤；耦合；滑模控制

機(jī)械臂在工業(yè)自動化領(lǐng)域扮演著重要的角色，由于對機(jī)械臂的控制精度要求越來越高，所以，研究機(jī)械臂的高精度的軌跡跟蹤具有重要的意義。針對軌跡跟蹤問題，研究者提出了很多控制方法，其中滑?？刂葡到y(tǒng)算法簡單、響應(yīng)速度快、對外部噪聲干擾和參數(shù)攝動具有魯棒性，在機(jī)器人控制領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。XU等[1?2]研究將滑?？刂破鲬?yīng)用于深海作業(yè)機(jī)械臂，并取得了很好的效果。YAGIZ[3]將滑模控制應(yīng)用在3-DOF空間機(jī)械臂系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)了軌跡跟蹤?；？刂朴捎诖嬖诓贿B續(xù)開關(guān)特性，因此，會給系統(tǒng)造成“抖振”，并且抖振只能在一定范圍內(nèi)削弱不可能消除，因?yàn)橄硕墩褚簿褪瓜到y(tǒng)失去了魯棒性。于是，人們提出了滑?？刂婆c智能控制相結(jié)合的策略來削弱抖振。YAGIZ等[4?5]又將滑?？刂婆c模糊控制相結(jié)合，提出了模糊滑?？刂撇呗?。張文輝等[6]研究了在不需要模型估計(jì)值的情況下對不確定空間機(jī)器人軌跡跟蹤問題，提出了滑模變結(jié)構(gòu)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制方案。但是與智能控制相結(jié)合使得控制器的設(shè)計(jì)較為復(fù)雜、成本高，很難在實(shí)際中應(yīng)用。KIM等[7]提出了一種基于干擾觀測器(DO)的魯棒學(xué)習(xí)控制方法，利用觀測器補(bǔ)償系統(tǒng)的參數(shù)攝動、未建模動態(tài)以及外部干擾。CHEN等[8]進(jìn)一步針對機(jī)械臂系統(tǒng)提出了基于非線性干擾觀測器(NDO)的計(jì)算力矩法。VENKATESAN等[9]針對NDO的不足，提出了一種改進(jìn)的干擾觀測器。但是以上這些方法中控制律都包含系統(tǒng)的模型信息。由于3-DOF空間機(jī)械臂是強(qiáng)耦合的非線性系統(tǒng)，其精確模型很難獲得，所以，在實(shí)際應(yīng)用中，這些方法很難取得較好的效果。在此，本文作者提出基于擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測器(ESO)的新型滑?？刂破?PD-ESO-SMC)。ESO可以對系統(tǒng)的未建模部分、參數(shù)的攝動、外界的未知噪聲干擾以及耦合部分進(jìn)行實(shí)時估計(jì)和補(bǔ)償，該控制器一個顯著特點(diǎn)就是不依賴被控對象的精確模型，并且不削弱系統(tǒng)的魯棒性。引入并定義1個sal函數(shù)，削弱系統(tǒng)的抖振現(xiàn)象。最后，在加入外部干擾條件下將PD-ESO-SMC的仿真結(jié)果與PD-SMC及PID的仿真結(jié)果進(jìn)行比較，以驗(yàn)證本文所設(shè)計(jì)的控制器的優(yōu)越性。

1 系統(tǒng)模型

機(jī)械臂如圖1所示。其中：θ為關(guān)節(jié)角度；和為第2和第3個連桿的重心位置；m，I和L分別為每個連桿的質(zhì)量、慣性力矩和長度。

1.1 正運(yùn)動學(xué)模型

在參考坐標(biāo)系下末端坐標(biāo)可以表示如下：

式中：，和為機(jī)械臂末端在參考坐標(biāo)系下的坐標(biāo)。

1.2 逆運(yùn)動學(xué)模型

通過求解式(1)可以得到：

1.3 動力學(xué)模型

建立拉格朗日方程：

式中：=?；和分別為系統(tǒng)的動能和勢能；u為控制力矩分量。由式(3)可以得到系統(tǒng)動力學(xué)模型如下所示：

式中：Δ，Δ和Δ表示參數(shù)的攝動部分；表示未建模動態(tài)部分。進(jìn)一步將式(8)改寫為

定義跟蹤誤差及其各階導(dǎo)數(shù)如下：

2 控制器設(shè)計(jì)

從動力學(xué)模型可以看出：3-DOF機(jī)械臂具有非線性和強(qiáng)耦合性。要想實(shí)現(xiàn)解耦比較困難，所以，在存在較大外擾以及機(jī)械臂系統(tǒng)的精確動力學(xué)模型難以獲得的情況下，一些常規(guī)的控制方法難以取得較高精度的控制效果。而本文設(shè)計(jì)的PD-ESO-SMC不依賴被控對象的精確動力學(xué)模型，并且將不同關(guān)節(jié)通道之間的耦合看作擾動并利用擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測器進(jìn)行實(shí)時估計(jì)和補(bǔ)償[10?12]。所以，可以不用考慮解耦問題，直接針對每個關(guān)節(jié)通道分別設(shè)計(jì)控制器就行控制，整個系統(tǒng)的控制原理如圖2所示。圖2中：d為期望的末端軌跡；d為由期望的末端軌跡經(jīng)過運(yùn)動學(xué)反解得到期望關(guān)節(jié)角；為實(shí)際輸出的關(guān)節(jié)角；為實(shí)際的末端軌跡。

設(shè)計(jì)PD-ESO-SMC控制器，其中，滑模面設(shè)計(jì)為

控制律設(shè)計(jì)為

式中：取值范圍為(0，1)。sal函數(shù)具有符號函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的優(yōu)點(diǎn)，在誤差較大時即離滑模面較遠(yuǎn)處趨近速度較大，可以使系統(tǒng)快速地到達(dá)滑模面。隨著系統(tǒng)跟蹤誤差的減小會逐漸變小，當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)接近滑模面時，趨近速度較小，穿過滑模面的速度有限，因此，可以有效削弱系統(tǒng)的抖振。

在進(jìn)行控制器的設(shè)計(jì)時參數(shù)的選擇滿足如下參數(shù)條件：

圖2 機(jī)械臂新型滑模控制原理圖

Fig. 2 PD-ESO-SMC for spatial robot manipulator

針對式(9)所示的系統(tǒng)，又可以改寫為

式中：為非線性參數(shù)且取值范圍為(0，1)；為線性段的區(qū)間長度，且有＞0。

3 穩(wěn)定性分析

定理1 對于如上所述3-DOF機(jī)械臂系統(tǒng)，若擾動存在且有界，則適當(dāng)選擇參數(shù)值可以實(shí)現(xiàn)ESO對干擾的實(shí)時觀測。

因?yàn)閒al關(guān)于1是單調(diào)函數(shù)并且fal(0，，)=0，一般先將和根據(jù)經(jīng)驗(yàn)給定為常數(shù)，所以，反函數(shù)fal?1(0，，)=0。當(dāng)系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后，估計(jì)誤差為

定理2 對于式(9)所示的機(jī)械臂系統(tǒng)，隨著擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測器的引入，能保證滑模面附近的有界運(yùn)動，可以使系統(tǒng)的狀態(tài)變量收斂到d附近。

證明 首先證明下面定義成立：

由式(24)可知

再由正定矩陣的性質(zhì)：

由上式結(jié)合正定矩陣得

取李雅普諾夫函數(shù)如下:

將式(14)代入式(11)得

將式(31)代入式(30)得：

由式(16)知

再由

4 仿真研究

為了驗(yàn)證本文所設(shè)計(jì)PD-ESO-SMC的有效性，以3-DOF空間機(jī)械臂為對象，對其進(jìn)行了軌跡跟蹤的仿真研究。仿真參數(shù)為：=0.2，=0.75，=0.5；=8；=2；=diag(90，300，50)，01=diag(30，24，120)，a=diag(50，30，80)，02=diag(1 500，200，800)，03=(1 000，70，6 400)。

PID控制器：

仿真結(jié)果如圖4所示。機(jī)械臂參數(shù)如表1所示，機(jī)械臂期望的末端軌跡d為

為了驗(yàn)證PD-ESO-SMC的抗擾性能，在仿真中給3個關(guān)節(jié)通道分別加入1，2和3干擾力矩，如圖3所示。擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測器(ESO)輸出如圖4所示。從圖4可以看出：通道1與其他通道的耦合度較低，主要是外部干擾的影響。通道2和通道3之間的耦合度較高，其中通道2對于外部干擾具有很強(qiáng)的魯棒性。擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測器的引入對干擾信號和不同通道間的相互耦合部分以及參數(shù)的攝動和未建模動態(tài)進(jìn)行了觀測和實(shí)時補(bǔ)償?？梢哉f，擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測器既實(shí)現(xiàn)了干擾觀測，又實(shí)現(xiàn)了各通道解耦。

將3種控制方法分別應(yīng)用于系統(tǒng)，所得關(guān)節(jié)角跟蹤誤差見圖5。從圖5可以看出：本文所設(shè)計(jì)控制器取得很好的跟蹤效果。對于PID控制器，雖然每個關(guān)節(jié)可以實(shí)現(xiàn)無差跟蹤，但是對干擾比較敏感、跟蹤過程比較震蕩。對于PD-SMC控制器，雖然關(guān)節(jié)實(shí)現(xiàn)了快速跟蹤，但是不能保證無差跟蹤。在加入干擾信號的情況下，外加擾動具有很強(qiáng)的魯棒性。機(jī)械臂軌跡跟蹤情況見PD-ESO-SMC控制器可以實(shí)現(xiàn)快速無差跟蹤，并且對圖6，PD-ESM和PD-ESO-SMC的控制力矩比較見 圖7。

表1 機(jī)械臂參數(shù)

由圖6可以看出，PD-ESO-SMC與PD-SMC和PID相比能到快速無超調(diào)地實(shí)現(xiàn)三維空間的軌跡跟蹤。從圖7可以看出：PD-ESO-SMC采用sal函數(shù)能夠有效的抑制抖振現(xiàn)象，使得控制輸入比PD-SMC控制輸入波動較小，有利于保護(hù)執(zhí)行機(jī)構(gòu)。

1—d1；2—d2；3—d3。

1—觀測器1；2—觀測器2；3—觀測器3。

(a) 關(guān)節(jié)1；(b) 關(guān)節(jié)2；(c) 關(guān)節(jié)3

(a) PID控制器空間軌跡跟蹤；(b) 滑?？刂破骺臻g軌跡跟蹤；(c) PD-ESO-SMC空間軌跡跟蹤

(a) 關(guān)節(jié)1；(b) 關(guān)節(jié)2；(c) 關(guān)節(jié)3 1—PD-SMC；2—PD-ESO-SMC。

5 結(jié)論

1) 建立了3-DOF空間機(jī)械臂的運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)模型，并基于擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測器和PD控制思想提出了PD-ESO-SMC。

2) 通過引入1個特殊的非線性函數(shù)sal來代替?zhèn)鹘y(tǒng)滑?？刂评锩娴姆柡瘮?shù)，能夠有效地削弱抖振。

3) 通過對擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測器的穩(wěn)定性分析，驗(yàn)證了該控制器的有效性。

4) 該控制器有很強(qiáng)的抗干擾性能。

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(編輯 趙俊)

A novel sliding mode controller for trajectory tracking of 3 DOF spatial robot manipulators

WAN Kaige, WU Aiguo, DONG Na, FANG Xing

(School of Electrical Engineering and Automation, Tianjin University, Tianjin 300072, China)

In order to realize the high-precision trajectory tracking, a novel sliding mode controller was presented based on extended state observer (ESO). The controller with sliding mode surface was based on PD. The unknown external disturbance, parameter uncertainty, un-modeling and the coupling were observed and compensated by means of ESO. The chattering problem was attenuated significantly by introducing the function of sal. The effectiveness of the proposed control law was verified by the theoretical analysis of the system stability. The results show that this control algorithm not only realizes the high-precision trajectory tracking as shown in the simulation, but also improves the system robustness in comparison to the PID control and PD with sliding mode control.

robot manipulator; extended state observer; trajectory tracking; coupling; sliding mode control

10.11817/j.issn.1672?7207.2017.12.015

TP242;TP273

A

1672?7207(2017)12?3248?08

2016?12?19；

2017?03?11

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61403274)；天津市應(yīng)用基礎(chǔ)及前沿技術(shù)研究計(jì)劃項(xiàng)目(13JCQNJC03600)(Projects(61403274) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project(13JCQNJC03600) supported by the Application Base and Frontier Technology Research Plan of Tianjin of China)

吳愛國，教授，從事機(jī)械臂、空調(diào)和電機(jī)研究；E-mail：agwu@tju.edu.cn