摘 要：針對(duì)位移加載時(shí)的非線(xiàn)性材料結(jié)構(gòu)，本文采用ESO方法進(jìn)行塑性拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。通過(guò)對(duì)算例的數(shù)值模擬結(jié)果進(jìn)行分析，驗(yàn)證了改進(jìn)的棋盤(pán)格抑制方法在位移加載時(shí)的有效性。為相關(guān)研究人員在以后進(jìn)行有關(guān)問(wèn)題的研究時(shí)，提供一定的理論依據(jù)。

關(guān)鍵詞：位移加載，塑性設(shè)計(jì)，棋盤(pán)格抑制方法，有效性

1 引言

結(jié)構(gòu)的輕量化研究現(xiàn)如今已變得日益重要，尤其在汽車(chē)、航空航天等領(lǐng)域，結(jié)構(gòu)自重的減小，就意味著有更多的承載空間。拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)是在結(jié)構(gòu)的初始拓?fù)潢P(guān)系未知的情況下，尋求結(jié)構(gòu)的組成材料在設(shè)計(jì)空間的拓?fù)湫问剑詫?shí)現(xiàn)最佳傳力路徑，從而達(dá)到節(jié)約材料用量、減輕結(jié)構(gòu)自重的目的。拓?fù)鋬?yōu)化很大程度上能夠保證結(jié)構(gòu)后續(xù)的尺寸和形狀優(yōu)化在初始拓?fù)渥顑?yōu)的情況下進(jìn)行，對(duì)于所設(shè)計(jì)產(chǎn)品的有效性往往具有決定性意義[1，2]。

目前對(duì)于線(xiàn)彈性材料的拓?fù)鋬?yōu)化研究已經(jīng)很多，H.A. Eschenauer等[1]和M.P. Bendsoe等[3]給出了比較詳盡的論述。對(duì)于非線(xiàn)性?xún)?yōu)化設(shè)計(jì)的研究還相對(duì)較少，文獻(xiàn)[4， 5]考慮結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)特性，對(duì)防撞擊結(jié)構(gòu)進(jìn)行了非線(xiàn)性?xún)?yōu)化設(shè)計(jì)，得到了更符合實(shí)際的拓?fù)錁?gòu)型。

但上述文獻(xiàn)甚至現(xiàn)有的大多數(shù)文獻(xiàn)所進(jìn)行的非線(xiàn)性?xún)?yōu)化研究，僅考慮了力加載的情形，未考慮位移加載的情形。然而，對(duì)于某些結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)，比如防撞結(jié)構(gòu)，考慮位移加載的情形會(huì)更符合實(shí)際。在這方面，X. Huang等[6]采用改進(jìn)的BESO （Bidirectional Evolutionary Structural Optimization）方法進(jìn)行了塑性?xún)?yōu)化設(shè)計(jì)研究，得到了優(yōu)于只考慮材料線(xiàn)性時(shí)的優(yōu)化結(jié)構(gòu)。

棋盤(pán)格是采用固定有限元網(wǎng)格進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化時(shí)在優(yōu)化結(jié)構(gòu)中出現(xiàn)的一種數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象，使得優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)單元呈現(xiàn)出類(lèi)似棋盤(pán)格式的排列，從而造成結(jié)構(gòu)形狀的提取及制造都比較困難，因此在拓?fù)鋬?yōu)化中應(yīng)盡量避免[7]。棋盤(pán)格的產(chǎn)生本質(zhì)上來(lái)說(shuō)是數(shù)值誤差造成的，Li等[8]專(zhuān)門(mén)針對(duì)ESO（evolutionary structural optimization）法提出了一種簡(jiǎn)單實(shí)用的棋盤(pán)格抑制方法，其核心是盡可能的校正有限元近似所產(chǎn)生的數(shù)值誤差從而抑制棋盤(pán)格的出現(xiàn)。文獻(xiàn)[9]提出了一種靈敏度高階再分配方法，對(duì)棋盤(pán)格的抑制也具有較好的效果。但文獻(xiàn)[8，9]并沒(méi)有從一般意義上給出權(quán)重因子的解析表達(dá)，從而使棋盤(pán)格抑制方法在實(shí)際編程應(yīng)用時(shí)受限。文獻(xiàn)[7]在文獻(xiàn)[8]的基礎(chǔ)上針對(duì)權(quán)重系數(shù)的計(jì)算，提出了物理意義明確且更具一般性的公式，并將該方法應(yīng)用到了力加載情形下的非線(xiàn)性材料的拓?fù)鋬?yōu)化，得到了較好的抑制效果。但這種改進(jìn)的棋盤(pán)格抑制方法是否同樣適用于位移加載時(shí)的情形，仍需作進(jìn)一步驗(yàn)證。

本文采用ESO法，對(duì)位移加載情形下的非線(xiàn)性材料結(jié)構(gòu)進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化，通過(guò)對(duì)數(shù)值算例的分析，驗(yàn)證了改進(jìn)的棋盤(pán)格抑制方法在位移加載時(shí)的塑性?xún)?yōu)化設(shè)計(jì)中的有效性，為以后相關(guān)學(xué)者在進(jìn)行位移加載的塑性?xún)?yōu)化設(shè)計(jì)研究時(shí)，提供一定的理論參考。

2 剛度優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型

結(jié)構(gòu)剛度是結(jié)構(gòu)的一個(gè)重要性能指標(biāo)，反映結(jié)構(gòu)在一定載荷條件下抵抗變形的能力。以材料用量為約束、以最大化結(jié)構(gòu)剛度（即最小化結(jié)構(gòu)柔度）為目標(biāo)的優(yōu)化是拓?fù)鋬?yōu)化研究中最常見(jiàn)的一種類(lèi)型[10]。在材料用量約束條件下，剛度優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型為：

式中C為結(jié)構(gòu)柔度，F(xiàn)為節(jié)點(diǎn)載荷矢量，U為節(jié)點(diǎn)位移矢量，Vi為第i個(gè)單元的體積，V*為給定的材料用量，δi 為設(shè)計(jì)變量（表示第i個(gè)單元的存在狀態(tài)），n為離散結(jié)構(gòu)的單元總數(shù)。結(jié)構(gòu)的塑性設(shè)計(jì)未被反映在優(yōu)化模型中，而是反映在有限元的迭代計(jì)算中。

3改進(jìn)的棋盤(pán)格抑制方法有效性的算例驗(yàn)證

算例采用文獻(xiàn)[7]提出的改進(jìn)棋盤(pán)格抑制方法，以驗(yàn)證該方法在位移加載情形下的有效性。

算例：待優(yōu)化結(jié)構(gòu)如圖1，為一矩形橫截面的簡(jiǎn)支梁，橫截面尺寸為100mm×10mm，其它幾何尺寸如圖所注。在梁底部的中間位置施加位移載荷u。本例中材料模型仍取雙線(xiàn)性材料模型，如圖2所示，彈性模量E0=210GPa，泊松比μ=0.3 ，硬化模量Er=2445MPa，屈服應(yīng)力σs=275 MPa。將設(shè)計(jì)域劃分成1600個(gè)面積相同的正方形單元，單元邊長(zhǎng)5mm，單元類(lèi)型為四節(jié)點(diǎn)的PLANE42。

本算例進(jìn)行了未采用抑制方法和采用改進(jìn)的抑制方法的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化， u分別取1mm、1.5mm、2mm、2.5mm、3mm、3.5mm、4mm，所得的拓?fù)錁?gòu)型分別如圖3 （a）～（g）、4 （a）～（g）所示。

分析圖3（a）～（g）、6（a）～（g）各拓?fù)錁?gòu)型圖可知，雖然圖3各圖并沒(méi)有明顯的棋盤(pán)格式，但圖3（a）、（b）、（g）存在單節(jié)點(diǎn)連接單元或微小孔洞，這些在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中都應(yīng)該避免，并且圖3中結(jié)構(gòu)內(nèi)部構(gòu)型比較復(fù)雜，不易制造。對(duì)圖4各構(gòu)型圖分析可知，拓?fù)錁?gòu)型相比于圖3比較簡(jiǎn)單，結(jié)構(gòu)的提取和制造都相對(duì)容易，且不存在單節(jié)點(diǎn)連接的單元和內(nèi)部微小孔洞。此外，除圖4（a）外，圖4（b）～（g）的各圖具有相似的拓?fù)錁?gòu)型（但不完全相同，這是由于塑性設(shè)計(jì)對(duì)所給定的位移載荷有依賴(lài)關(guān)系[11]），而圖3（a）～（g）則無(wú)此規(guī)律。這也從側(cè)面說(shuō)明了采用改進(jìn)的抑制方法所得到的拓?fù)錁?gòu)型的合理性。據(jù)上分析可知，改進(jìn)的棋盤(pán)格抑制方法對(duì)于采用位移加載方式進(jìn)行的非線(xiàn)性?xún)?yōu)化設(shè)計(jì)也具有很好的抑制效果，顯示了該棋盤(pán)格抑制方法的有效性。

4結(jié)論

本文采用ESO方法對(duì)位移加載情形下的非線(xiàn)性材料結(jié)構(gòu)進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化，并采用文獻(xiàn)[7]提出的改進(jìn)的棋盤(pán)格抑制方法進(jìn)行棋盤(pán)格的抑制，驗(yàn)證了該改進(jìn)的棋盤(pán)格抑制方法的有效性。本文的驗(yàn)證性研究可以為以后的相關(guān)研究人員在進(jìn)行有關(guān)位移加載情形的塑性?xún)?yōu)化設(shè)計(jì)的研究時(shí)，提供一定的參考依據(jù)。

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作者簡(jiǎn)介：

豆麟龍，工程力學(xué)碩士，主要研究方向工程結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能分析，現(xiàn)任職于四川建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院。endprint