☉浙江象山縣石浦中學(xué) 李麗君

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中課程內(nèi)容的教學(xué)要求（以下簡稱“課標(biāo)要求”）是課堂教學(xué)活動的指南，也是教學(xué)評價的尺度和標(biāo)準(zhǔn).但在以浙教版《數(shù)學(xué)》九年級上冊第一章第1節(jié)“二次函數(shù)”為載體的“多人同課異構(gòu)”式的研修活動中發(fā)現(xiàn)，課堂教學(xué)普遍與“課標(biāo)要求”存在較大偏差.網(wǎng)上查閱同類課例發(fā)現(xiàn)也有類似現(xiàn)象.鑒于此，筆者在重復(fù)式觀課與反思的基礎(chǔ)上，在浙江省特級教師鄔云德先生的指導(dǎo)下，對該課的教學(xué)進(jìn)行重建與再實踐，改進(jìn)后的教學(xué)得到了同仁認(rèn)可.現(xiàn)將其整理出來，以饗讀者.

二、教學(xué)實錄

環(huán)節(jié)1：經(jīng)歷產(chǎn)生并感悟二次函數(shù)的過程——明確研究問題.

師：我們知道，現(xiàn)實生活中有許多數(shù)量變化關(guān)系問題可以轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)、反比例函數(shù)問題.一次函數(shù)、反比例函數(shù)夠用嗎？請大家根據(jù)下列問題中的條件列出函數(shù)關(guān)系式.

（1）王師傅存入銀行2萬元，先存一個一年期，一年后將本息轉(zhuǎn)存為又一個一年期.設(shè)年利率均為x，兩年后王師傅共得本息y元.問：y與x之間是怎樣的關(guān)系？

（2）n個球隊參加比賽，每兩隊之間進(jìn)行一場比賽.問：比賽的場次m與球隊數(shù)n是怎樣的關(guān)系？

（3）一個溫室連同外圍通道的矩形平面圖如圖1.這個矩形的周長為120m，設(shè)一邊長為xm，種植用地面積為ym2.問：y與x之間是怎樣的關(guān)系？

圖1

師：不錯.誰來回答第（3）問？

生3：y=（x-2）（56-x），即y=-x2+58x-112.

師：不錯.列上述函數(shù)關(guān)系式經(jīng)歷了哪幾個步驟？

生4：審題→分析→列式.

師：不錯.上述所列的函數(shù)是不是一次函數(shù)？是不是反比例函數(shù)？

生5：它們既不是一次函數(shù)，也不是反比例函數(shù).

師：不錯.這說明從實際問題中還可以抽象出新形式的函數(shù).其實，這種函數(shù)有豐富情景.例如，函數(shù)“y=πx2，y=x2+1”等都是從生活問題中抽象出來的.

師：既然這類函數(shù)有豐富的現(xiàn)實情景，就有研究這類函數(shù)的必要.這類函數(shù)有何特征？有何性質(zhì)？有何用處？本章就來研究這些問題.（揭示課題）

環(huán)節(jié)2：參與定義二次函數(shù)的活動——形成二次函數(shù)的概念.

師：函數(shù)y=20000x2+40000x+20000與一次函數(shù)、反比例函數(shù)、一元二次方程等相比有何特征？

生6：它有兩個變量x、y，且自變量x的最高次數(shù)是2.

生7：右邊的代數(shù)式是整式.

師：好的.函數(shù)“y=20000x2+40000x+20000，m=n2n，y=πx2，y=x2+1，y=-x2+58x-112”有何共同特征？

（約4分鐘后）

師：誰來回答第（1）問？

生1：y=20000（1+x）2，即y=20000x2+40000x+20000.

師：不錯.誰來回答第（2）問？

生8：它們都有兩個變量.

師：不錯.你是從變量的個數(shù)角度來歸納.

生9：它們表示自變量的字母的最高次數(shù)都是2.

師：好的.你是從表示自變量的字母的次數(shù)角度來歸納.

生10：它們右邊的代數(shù)式都是整式.

師：不錯！你是從代數(shù)式的類型角度來歸納.

生11：它們都不是方程.

師：有道理.你是用方程概念來歸納.

生12：它們都可以表示為y=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的形式.

師：非常好！你有較強(qiáng)的符號表示意識.

師：盡管這類函數(shù)有多種特征，但其本質(zhì)特征是它們都可以表示為y=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的形式.

師：我們把形如y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)叫作二次函數(shù)，并稱a為二次項系數(shù)，b為一次項系數(shù)，c為常數(shù)項.

師：二次函數(shù)y=-x2+58x-112的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別是什么？

生13：a=-1，b＝58，c=-112.

師：不錯.二次函數(shù)y=πx2呢？

生13：a=π，b＝0，c=0.

師：好的.在y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常數(shù)，a≠0）中，為什么要規(guī)定a≠0？為什么不規(guī)定b和c也必須不為0？

生14：若a=0，則它不是二次函數(shù).當(dāng)a≠0時，就算b=0或c=0，它仍是二次函數(shù).

師：好的.獲得二次函數(shù)概念經(jīng)歷了哪幾個步驟？

生15：根據(jù)條件列出函數(shù)關(guān)系式→觀察所列函數(shù)關(guān)系式的個體特征→歸納所列函數(shù)關(guān)系式的共同特征→抽象這類函數(shù)關(guān)系式的本質(zhì)特征→定義與表示這類函數(shù).

師：好的.這個思維過程具有普適性，其蘊(yùn)含的抽象思想、歸納思想、符號表示思想等是數(shù)學(xué)中的重要思想.二次函數(shù)與一元二次方程有何區(qū)別？

生16：二次函數(shù)刻畫的是變量之間的變化關(guān)系，一元二次方程刻畫的是常量之間的相等關(guān)系.二次函數(shù)的一般形式是y=ax2+bx+c，而一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0.

師：非常好.它們都是描述現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型.

環(huán)節(jié)3：參與嘗試概念應(yīng)用的活動——合作解答有代表性的問題.

師：現(xiàn)在請大家解答題1.

題1：如圖2，一張正方形紙板的邊長為2cm，將它剪去4個全等的直角三角形（圖中陰影部分）.設(shè)AE=BF=CG=DH=xcm，四邊形EFGH的面積為ycm2.（1）求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式和自變量x的取值范圍.（2）當(dāng)x分別為0.25、0.5、1、1.5、

圖2

1.75時，求對應(yīng)的四邊形EFGH的面積，并用列表法表示其對應(yīng)關(guān)系（.建議小組成員分工合作）

（約5分鐘后）

師：誰來解答（1）？

生17：y=22-4××x（2-x）=2x2-4x+4，自變量x的取值范圍是：0＜x＜2.

師：即所求函數(shù)是：y=2x2-4x+4（0＜x＜2）.

師：確定實際問題自變量取值范圍有何經(jīng)驗？

生18：既要考慮使函數(shù)關(guān)系式有意義，還要注意問題的實際意義.

師：不錯.誰來回答（2）？

生19：計算結(jié)果如表1：

表1

師：好的.請大家課后思考：表1中的數(shù)據(jù)有何特點？

師：解決這個問題經(jīng)歷了哪幾個步驟？

生20：分析→列式→求值.

師：不錯.請大家再解答題2.

題2：已知二次函數(shù)y=x2+bx+c，當(dāng)x=1時，函數(shù)值是4；當(dāng)x=2時，函數(shù)值是-5.求這個二次函數(shù)的表達(dá)式.

（約3分鐘后）

師：誰來陳述解答過程？

生21：解：把x=1、y=4，以及x=2、y=-5分別代入函數(shù)解這個方程組，

所求二次函數(shù)的表達(dá)式是y=x2-12x+15.

師：好的.求這個函數(shù)關(guān)系式的策略與方法分別是什么？

生22：策略：把函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題.方法：待定系數(shù)法.

師：好的.這種轉(zhuǎn)化的策略和用待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式的方法以后會經(jīng)常用到.

師：要確定二次函數(shù)y=ax2+bx+c中的a、b、c，需要幾個條件？

生23：需要3個條件.

師：不錯.由于本題中a=1是已知條件，所以只要2個條件就夠了.

師：題1求函數(shù)表達(dá)式與題2求函數(shù)表達(dá)式有何不同？

生24：題1函數(shù)類型未知，需要根據(jù)題目的條件列函數(shù)關(guān)系式.題2函數(shù)類型已知，可用待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式.

師：好的.這兩種題型以后會經(jīng)常遇到.下面請大家完成課本中的練習(xí)題.

（待學(xué)生完成任務(wù)后教師組織學(xué)生交互反饋與評價）.

環(huán)節(jié)4：參與回顧與思考的活動——合作進(jìn)行反思與總結(jié).

首先，教師出示下列“問題清單”，并要求學(xué)生圍繞“問題清單”進(jìn)行回顧與思考.

（1）本節(jié)課研究了哪些內(nèi)容？我們是怎樣研究的？

（2）何謂二次函數(shù)？定義二次函數(shù)經(jīng)歷了哪幾個步驟？

（3）二次函數(shù)與一元二次方程有何區(qū)別？求二次函數(shù)表達(dá)式有何經(jīng)驗？

（4）你在學(xué)習(xí)過程中有何感觸？你認(rèn)為還應(yīng)該研究什么？

其次，教師組織學(xué)生進(jìn)行合作交流，同時教師邊傾聽、邊評價.

再次，教師讓學(xué)生欣賞二次函數(shù)的自述：

Hi！我是二次函數(shù).我可以看成是從現(xiàn)實生活中抽象出來的，又可以看成是從函數(shù)概念中演繹出來的，還可以看成是從變量角度看二次整式的結(jié)果.我的本質(zhì)特征是解析式具有y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常數(shù)，a≠0）的形式.我與一元二次方程的區(qū)別是：我刻畫的是變量之間的變化關(guān)系，一元二次方程刻畫的是常量之間的相等關(guān)系.求我的表達(dá)式有兩種題型：一是問題沒有告訴你函數(shù)關(guān)系是我的類型，你可用列式法求我的表達(dá)式；二是問題告訴了你函數(shù)關(guān)系是我的類型，你可用待定系數(shù)法求我的表達(dá)式.由于我與一次函數(shù)有許多相似之處，所以研究我的內(nèi)容與方法可與研究一次函數(shù)的內(nèi)容與方法類比.之所以人們喜歡我，是因為我是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量變化的重要數(shù)學(xué)模型.告訴你：在認(rèn)識我和用我解決實際問題的過程中，能感受到許多蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)思想和積淀許多蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，還能發(fā)展你的智力、能力和個性.

三、教學(xué)分析

“二次函數(shù)”的“課標(biāo)要求”是“通過對實際問題的分析，體會二次函數(shù)的意義”.這暗示著：產(chǎn)生二次函數(shù)要選擇從實際問題中抽象出來的方式.事實上，盡管二次函數(shù)可以看成是從實際問題中抽象出來的，也可以看成是數(shù)學(xué)自身邏輯的產(chǎn)物，但采用從實際問題中抽象出二次函數(shù)的方式，更能反映二次函數(shù)的數(shù)學(xué)本質(zhì)，更有利于學(xué)生體會二次函數(shù)的意義，也能化解列二次函數(shù)關(guān)系式的難點.這樣，用于產(chǎn)生二次函數(shù)的情境性問題要有代表性，并且問題的情境要有教育價值，以豐富學(xué)生的生活常識和體會二次函數(shù)也是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量變化關(guān)系的有效數(shù)學(xué)模型.盡管課標(biāo)對二次函數(shù)的概念沒有提出具體的教學(xué)要求，但浙教版教材將二次函數(shù)概念歸于“歸納”層次，并且提出了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)表達(dá)式及確定實際問題自變量取值范圍的教學(xué)要求，旨在再認(rèn)待定系數(shù)法及積累求自變量取值范圍的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗.但目前許多教師對該課的理解與實踐方式與“課標(biāo)要求”和教材意圖存在偏差：在“產(chǎn)生二次函數(shù)”的教學(xué)中，有些教師采用“舉一反三”（從單一的情境中通過變式抽象出多個二次函數(shù)）的方式；有些教師提供的情境性問題不具有代表性，并且問題的情境不能滿足學(xué)生豐富生活常識的需要.這很難達(dá)到體會二次函數(shù)意義的教學(xué)目標(biāo).在“定義二次函數(shù)”的教學(xué)中，大多數(shù)教師沒有引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“觀察→歸納→抽象→定義→鞏固→反思”的完整過程，導(dǎo)致失去了發(fā)展學(xué)生能力和個性及感悟其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法的機(jī)會.在“嘗試概念應(yīng)用”的教學(xué)中，有些教師選用的載體沒有緊扣“課標(biāo)要求”；有些教師在解決問題之后沒有引導(dǎo)學(xué)生反思（或教師沒有及時追問），導(dǎo)致不能促進(jìn)學(xué)生積累求函數(shù)關(guān)系式和確定實際問題中自變量取值范圍的思維活動經(jīng)驗及認(rèn)識求函數(shù)解析式有兩種題型的需要.

本課例根據(jù)“課標(biāo)要求”和教材的意圖，將其教學(xué)立意定位于“再認(rèn)、體驗、鋪墊”，并以有代表性的實際問題為載體（對教材提供的載體作了優(yōu)化），從學(xué)生已有的知識與經(jīng)驗出發(fā)，運(yùn)用教師價值引導(dǎo)與學(xué)生自主建構(gòu)相結(jié)合的適度開放的方式，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷完整的認(rèn)知過程.在“產(chǎn)生二次函數(shù)”的教學(xué)中，既有回顧與提出問題的過程，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又有“審題→分析→列式→交流”的過程，以產(chǎn)生具體對象，也有產(chǎn)生具體對象之后的反思與提出問題的過程，以再認(rèn)列函數(shù)表達(dá)式的思維過程和明確研究的問題.在“定義二次函數(shù)”的教學(xué)中，既有“觀察→歸納→抽象→定義→鞏固”的過程，以獲得二次函數(shù)概念，又有獲得概念之后的反思，以感悟獲得二次函數(shù)概念的思維過程和所蘊(yùn)含的歸納思想、符號表示思想等及二次函數(shù)與一元二次方程的區(qū)別.在“嘗試概念應(yīng)用”的教學(xué)中，既有“分析→列式→求解”的過程，以解決給定的求函數(shù)表達(dá)式問題，又有解決問題之后的反思，以積累求函數(shù)表達(dá)式和自變量取值范圍的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗.這體現(xiàn)了過程教育和以學(xué)為中心思想，也遵循了處于歸納層次的概念教學(xué)的基本規(guī)范.

參與研修的教師普遍認(rèn)為，本課例雖沒有高深別致的題型，也沒有跌宕起伏的情節(jié)，更沒有熱鬧非凡的場面，但教師根據(jù)“課標(biāo)要求”和教材意圖，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷了有價值的思維過程，能實現(xiàn)“能根據(jù)簡單實際問題的條件列出二次函數(shù)表達(dá)式，并能體會二次函數(shù)的意義；能說出二次函數(shù)的一般形式，并會求二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項；會用待定系數(shù)法求二次函數(shù)表達(dá)式和能根據(jù)實際問題確定自變量的取值范圍”的教學(xué)目標(biāo).因此，高效能的教學(xué)需要教師研讀“課標(biāo)要求”和領(lǐng)會教材意圖.一般地，處于歸納層次的概念教學(xué)要經(jīng)歷“用適當(dāng)?shù)姆椒ㄌ岢鰡栴}→用適當(dāng)?shù)姆绞疆a(chǎn)生對象→觀察對象的個體特征→歸納對象的共同特征→抽象對象的本質(zhì)特征→定義與表示對象→反思其蘊(yùn)含的思維與思想→解決有代表性的問題”的過程，并在認(rèn)知過程中留給學(xué)生自主思考與實踐的時間和合作交流的機(jī)會，以體現(xiàn)過程教育和以學(xué)為中心思想，促使學(xué)生對概念的認(rèn)識達(dá)到一定的“深度”和“寬度”，促使學(xué)生學(xué)會主動提出問題，獨立思考問題，合作探究問題，以及養(yǎng)成敢于質(zhì)疑、善于表達(dá)、認(rèn)真傾聽、勇于評價和不斷反思的良好品質(zhì)和習(xí)慣.

1.中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［S］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

2.范良火.義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)（九年級上冊）［M］.杭州：浙江教育出版社，2014.