摘要：本文主要是圍繞著導函數知識在解決高中函數問題中的應用進行討論，使學生全面了解求導及導函數的知識，并了解求導及求導函數的代數和幾何意義，熟練地運用導函數知識，從而增加學生學習數學知識的興趣，為在高考中取得良好成績打下堅實的基礎。

關鍵詞：導函數 高中數學 求導 函數 應用

本文主要是圍繞著求導及導函數知識來進行討論的。求導和導函數知識是近代數學，特別是高等數學中的重要基礎知識之一，甚至可以說數學分析、高等代數、解析幾何等高等數學知識體系的建立，最初都是構建在函數的求導和導函數的應用基礎上的。因此求導和導函數的知識是現代數學的基礎知識，也是今后學習數學知識的基礎。通過閱讀和學習高中數學教材，我們可以了解到求導及導函數的知識是新加入到高中教材的。將求導和導函數知識加入到高中教材中的目的，一方面是為了擴充高中學生對數學知識的了解，另一方面也是為了高中生以后進入大學學習高等數學提前做好基礎知識的了解，所以學好求導和導函數的知識非常重要。

一、求導及導函數的基本定義

導數是指，設函數y=f（x）在點x=x0及其附近有定義，當自變量x在x0處有改變量△x（則函數y相應的有改變量△y=f（x0+△x）-f（x0），這兩個改變量的比叫做函數y=f（x）在x0到x0+△x之間的平均變化率[1]。如果函數f（x）在（a，b）中每一點處都可導，則稱f（x）在（a，b）上可導，則可建立f（x）的導函數，簡稱導數，記為f'（x）。

二、求導及導函數知識在求解高中函數問題中的應用

在高中的數學知識體系中，求導和導函數除了作為單獨的考點出現外，最大的應用范圍應該是在求函數的最大值、最小值和單調區(qū)間中。對比于傳統(tǒng)的求最大值、最小值和單調區(qū)間的方法來說，利用求導和導函數知識求函數的最大值、最小值和單調區(qū)間是更為方便快捷的。以往我們在求函數最大值和最小值的過程中，首先是要構造函數，然后尋找特殊點，最后才能確定函數的最小值或是最大值。對求單調區(qū)間也是一樣，我們需要構造函數，找到函數的波峰和波谷，然后才能找到對應的單調區(qū)間。這種方法對于求導和導函數的應用來說比較繁瑣，而且容易出現錯誤。

我們接下來舉例說明，利用傳統(tǒng)的方法與求導和導函數的方法來解決此類問題的優(yōu)劣對比。首先在傳統(tǒng)的方法中，假設f（x）=x2+2x+5（在實數軸上連續(xù)），那么如果我們想求f（x）的最值問題，首先要改造函數，f（x）=x2+2x+5=（x+1）2+4（在實數軸上連續(xù)），那么我們可以看出，該函數是有最小值的，函數的最小值點為x=-1，的點，函數的最小值是4。但如果利用求導和導函數的知識來解決該問題，就很方便快捷了。我們通過閱讀《數學分析》教材可以了解到，對于連續(xù)可導的函數，一階導數等于零的點為函數的極值點，若二階導數在該點大于零，則該點為函數的極小值點，若二階在該點小于零，則該點為函數的極大值點。從直觀上來看，f（x）=x2+2x+5（在實數軸上連續(xù)），又因為f（x）是初等函數，函數f（x）在實數軸上可導，所以可以求得函數f（x）=2x+2。2x+2=0，可求得x=-1，x=-1的點是函數的極值點，將x=-1帶入原函數可得到，f（-1）=4，又因為f（x）=2>0，所以函數的最小值為4。

為了說明兩種方式求最值的優(yōu)勢和劣勢，這個例子選舉的還比較簡單，如果利用更為復雜的函數來說，使用求導或者是導函數知識來求極大值和極小值的話，優(yōu)勢會更加明顯。我們不妨再舉一個例子，f（x）=sinx，x∈（0，2π），求f（x）的最大值和最小值，這個利用構造函數的辦法就比較困難。那么讓我們來用求導和導函數的知識來求最大值和最小值。f（x）=cosx=0，（0，2π）。求得x=π/2，x=3π/2，將x=π/2，x=3π/2，帶入f（x），求得原函數最大值為1，最小值為-1。由此可見，求導和導函數知識的方法更為簡便快捷，當然我們從正弦函數上出發(fā)也會驗證到我們的做法是正確的。

同樣，可以利用求導和導函數的知識來解決函數的單調區(qū)間問題，我們還是利用f（x）=x2+2x+5（在實數軸上連續(xù)）這個例子來說明，f（x）=x2+2x+5，f（x）=2x+2，f（x）=2>0，所以函數在-1，這一點為極小值點，又因為函數有且僅有這一個極值點，所以該函數的最小值是4。明確極小值點以后，我們就可以用單調函數的定義證明，函數在（-∞，-1）上單調遞減，函數在[1，∞），單調遞增。同樣我們也可以用這種方法確定正弦函數的單調區(qū)間。

三、求導和導函數應用的局限性

雖然說求導和導函數知識在解決高中函數問題，特別是就極大值和極小值或者是單調區(qū)間而言，優(yōu)勢相對于傳統(tǒng)方法來說比較明顯，但是并不是每一個題目都可以用求導或者是導函數知識去解決。求導和導函數知識并不萬能的，它自身也具有一定的局限性。對于一元函數來說，如果想對原函數求導，就必須保證原函數是連續(xù)的，不是連續(xù)的函數是無法對其求導數的。通過閱讀數學分析教材我們可以了解到，一元函數可微一定可導，一元函數可導一定連續(xù)，但是連續(xù)的一元函數不一定可導（可微）[2]。所以言簡意賅的講，若想要用求導和導函數解決高中數學中的函數問題，必須保證此函數可導。

四、結語

數學知識體系的邏輯性相當強，如何用好數學知識需要長時間的學習和實踐，并且注重積累。只有這樣才能夠完全的掌握數學知識體系的精髓，在運用數學知識解決問題的時候才能得心應手。

參考文獻：

[1]Α.Я.辛欽.數學分析八講[M].人民郵電出版社，2010.

[2]陳紀修.數學分析[M].高等教育出版社，2006.

（作者簡介：劉彥君，沈陽市第二中學，高中學歷，研究方向：數學。）