谷葉芬

摘要：高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課主要以例題教學(xué)為主要方式，怎樣的例題教學(xué)更有效呢，本文通過對一節(jié)公開課的教學(xué)片斷來描述題根教學(xué)模式在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中的有效應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：高三；復(fù)習(xí)課；題根

題根不是一個概念、不是結(jié)論，而是一個問題。它是一個題族的根祖，一個題系中的根基，一個題群中的代表。高三階段，需要大量的習(xí)題來鞏固和加深對教學(xué)知識點的理解和應(yīng)用。題根教學(xué)模式有利于學(xué)生有效的將高中數(shù)學(xué)知識點進行系統(tǒng)化、理論化的歸類；有利于學(xué)生對零散的高中數(shù)學(xué)內(nèi)容進行有效的加工處理，使其更加具有規(guī)律化；有利于學(xué)生對同一類型的題目進行模式化。在高三的復(fù)習(xí)中我嘗試用題根教學(xué)的模式嘗試解決高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課選題難、編題難、講題難的問題。

一、題根教學(xué)模式有利于固基礎(chǔ)

很多老師在選題的時候會選擇自己擅長的而非學(xué)生需要的或者是比較難的，學(xué)生需要花費很長的時間和精力來解決的。這樣選題不僅達不到例題應(yīng)有的效果，更浪費學(xué)生的有限的時間和體力。題目選擇的過于簡單或者過于難都無法達到好的復(fù)習(xí)效果，題根教學(xué)模式有利于幫助我們從浩瀚無邊的題海中選擇師生都需要的題。

2016年10月25日有幸在市綠耕送培活動中上了一節(jié)題為《一類錐體的體積探究》的公開課。在這節(jié)公開課中，我以題根教學(xué)模式在課堂中利用1道例題及其變式完成了錐體的體積復(fù)習(xí)。以下是我本節(jié)課的第1個教學(xué)片斷：

例1、已知三棱錐S-ABC，△ABC是邊長為1的正三角形，SA⊥AC，SB⊥BC，且SC=2，則此棱錐的體積為（ ）

生1：定義法（圖1）：做平面ABC的垂線SD，則V=

生2：分割法（圖2）：取AB的中點E，則由SA=SB，CA=CB，知AB 平面SEC，故V=

生3：分割法（圖3）：過A做 ，連接BF，，由 ， ，故V=

師生總結(jié)：三棱錐的體積問題，本質(zhì)是尋找錐體中的垂直關(guān)系，三棱錐S-ABC是含有兩個全等面的三棱錐，而兩個面全等，另外兩個面一定為等腰，所以我們可以尋找AB的中點E，或者SC邊的垂足來尋找線與面的垂直關(guān)系。

題根的選擇應(yīng)該幫助學(xué)生夯實基礎(chǔ)，在教學(xué)片斷1中，我選擇的題根為一個常規(guī)的求錐體體積問題，這是一個常見的問題，切入點低，解題方法有定義法，分割法，補形法，以及作為一道選擇題可以用放縮法。在本節(jié)課中學(xué)生共用了6種方法解決。實際上解決此題的方法至少有8種。如此基礎(chǔ)而靈活的題根既幫助學(xué)生完成了對基礎(chǔ)知識的回顧，豐富了解題方法，開拓了解題思路，也讓學(xué)生升級了自己的解題技能。更重要的是固化了學(xué)生的學(xué)科基礎(chǔ)，每一種方法的獲得都是學(xué)生對學(xué)科知識體系的再鞏固，再整理。

二、題根教學(xué)模式有利于活變式

變式教學(xué)是高三數(shù)學(xué)習(xí)題課的主要教學(xué)模式。任何一道題只要進行數(shù)據(jù)的改編，就是會不一樣。但僅僅只是數(shù)據(jù)的變化，學(xué)生在變式的解題的過程中只是機械模式的訓(xùn)練。好的變式是對例題的鞏固和升華，是對學(xué)生思維的開拓。題根教學(xué)模式有利于我們對變式進行靈活處理。以下是我的第2個教學(xué)片斷：

變式：已知三棱錐S-ABC，AC=BC=1，SA⊥AC，SB⊥BC，且SC=2，則此棱錐的體積的最大值為____________

生4：由例1知，V= ，要計算體積的最大值，只需要計算 面積的最大值，設(shè)AB=x，則 = ，當(dāng)x= 時，此三角形的面積最大，此三棱錐體積的最大值為

生5： = ，當(dāng) = 時，三角形面積最大，三棱錐的體積有最大值

師生總結(jié)：此題中，我們可以選擇以AB的邊長作為變量，也可以選擇 為變量。事實上，當(dāng)SAC固定之后，SBC可以看成是SAC繞著SC旋轉(zhuǎn)所得到的面，而在旋轉(zhuǎn)的過程中，二面角A-SC-B的平面角即為 ，顯然當(dāng) = 時，體積最大。

所謂題根，它只是一個根本，想要學(xué)生在課堂中收獲更多，我們要從題根做出探究的起點，引發(fā)更高一級的問題的產(chǎn)生。著名數(shù)學(xué)家希爾伯特說：數(shù)學(xué)寶藏是無窮無盡的，一個問題一旦解決，無數(shù)尋的問題就會代之而起。教學(xué)片斷2中的變式是例1條件的弱化，引入一個變量。通過這個變量對兩個全等面的這一類題型的動態(tài)鞏固，它是一道本身帶著光芒的變式。

三、題根教學(xué)模式有利于破難題

高三復(fù)習(xí)課肯定要用歷年的優(yōu)質(zhì)真題，而把真題光禿禿地放在學(xué)生眼前，學(xué)生肯定是沒有辦法一下子接受并解決的。所以對真題做一個合理的鋪墊尤為重要。在課堂中把真題作為一個跳一下就能摘到的蘋果，送給學(xué)生當(dāng)禮物，必然可以讓學(xué)生獲得解題的成就感和滿足感。題根教學(xué)模式有利于我們在課堂中將難題突破。以下是我的第3個教學(xué)片斷：

2016.浙理14：已知三棱錐S-ABC，AB=BC=2，∠ABC=120°.D為AC上一點且滿足SD=DA，SB=BA，則四面體SBCD的體積的最大值是________

師生共同分析：由題意知 ，則由以上的變式只，當(dāng)面ABD 面SBD時，四面體SABD的體積最大，此時四面體SBCD的體積的也為最大。過S作BD的垂線垂足記為H，則SH 平面BDC，

又因為 ，SH=AH，

故VSBCD= =

所以問題就轉(zhuǎn)化為求AH。以下的解題學(xué)生就可以利用平面知識快速解決。

這道題是今年高考的一大難點，很多學(xué)生連蒙帶猜得到了正確答案，但是并不知道它是如何通過嚴密的數(shù)學(xué)推理和精確的數(shù)學(xué)運算得到的。有以上的兩個教學(xué)片斷作為鋪墊，這個題的解決也變得水到渠成。每一位靠自己的智慧解決問題的學(xué)生都會從中得到解題的成就感，并會因為愛上數(shù)學(xué)，愛上數(shù)學(xué)解題。

在整個教學(xué)過程中：教學(xué)片斷1，選擇了2012年全國高考第11作為題根，利用此題與學(xué)生一起復(fù)習(xí)空間幾何體體積的求法。并歸納此三棱錐的特征——含兩個全等面；教學(xué)片斷2：一個變式，把一個靜的幾何體，轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€旋轉(zhuǎn)的幾何體，由此分析在旋轉(zhuǎn)的過程中它保持基本量不變也就是一定會有兩個全等面。旋轉(zhuǎn)面與固定面垂直時幾何體的體積最大。有了這個變式，教學(xué)片斷3就水到渠成，學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)2016年浙江省高考理科第14題一個翻折問題，而不管是旋轉(zhuǎn)還是翻折都有兩個面是全等的，所以它也是一個全等面的錐體問題。

整節(jié)課解決了含有兩個全等面的錐體的體積及其最值問題。而其根本就探討此類錐體的垂直關(guān)系。而2016年10月的學(xué)考第18題（如圖，在四面體ABCD中，AB=CD=2，AD=BD=3，AC=BC=4，點E、F、G、H分別在棱AD、BD、BC、AC上.若直線AB、CD都平行與平面EFGH，則四邊形EFGH面積的最大值為___）也正是此類問題的一個側(cè)枝。當(dāng)我們找到了“根”，所有的側(cè)枝都是根的衍生物。例如本文中的三個教學(xué)片斷，以例1為題根，變式和2016年浙江理科14題及2016年浙江10月學(xué)科18題都是例1的側(cè)枝：當(dāng)然這樣的側(cè)枝還有很多，只要我們平時注意整理，以例1為題根的這棵樹就會越來越茁壯。而根系的發(fā)展除了題目間的相互聯(lián)系之外，也有方法上的一脈相承，使得在復(fù)習(xí)的過程中學(xué)生能夠舉一反三。

題根是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的一把鑰匙，好的題根可以促進對原有知識的溝通聯(lián)系，調(diào)整學(xué)生頭腦中原有知識的邏輯關(guān)系，借以開闊學(xué)生的解題思路，促進思維的多向發(fā)展。有人說：我走過最多的路，就是數(shù)學(xué)的套路。而所有數(shù)學(xué)套路的取得離不開對基礎(chǔ)知識的扎實掌握，離不開對每一個題根的深入探究。只要我們做一個教學(xué)的有心人，從某一個問題出發(fā)找出題根，由一個及一類進行教學(xué)，那么高三的復(fù)習(xí)課肯定會變得更加有內(nèi)容，更加系統(tǒng)，更加有效。

參考文獻：

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[2]黃坪，尹德好.高中數(shù)學(xué)題根[M]華東師范大學(xué)出版社，2010.endprint