谷葉芬
摘要:高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課主要以例題教學(xué)為主要方式,怎樣的例題教學(xué)更有效呢,本文通過對一節(jié)公開課的教學(xué)片斷來描述題根教學(xué)模式在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中的有效應(yīng)用。
關(guān)鍵詞:高三;復(fù)習(xí)課;題根
題根不是一個概念、不是結(jié)論,而是一個問題。它是一個題族的根祖,一個題系中的根基,一個題群中的代表。高三階段,需要大量的習(xí)題來鞏固和加深對教學(xué)知識點的理解和應(yīng)用。題根教學(xué)模式有利于學(xué)生有效的將高中數(shù)學(xué)知識點進行系統(tǒng)化、理論化的歸類;有利于學(xué)生對零散的高中數(shù)學(xué)內(nèi)容進行有效的加工處理,使其更加具有規(guī)律化;有利于學(xué)生對同一類型的題目進行模式化。在高三的復(fù)習(xí)中我嘗試用題根教學(xué)的模式嘗試解決高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課選題難、編題難、講題難的問題。
一、題根教學(xué)模式有利于固基礎(chǔ)
很多老師在選題的時候會選擇自己擅長的而非學(xué)生需要的或者是比較難的,學(xué)生需要花費很長的時間和精力來解決的。這樣選題不僅達不到例題應(yīng)有的效果,更浪費學(xué)生的有限的時間和體力。題目選擇的過于簡單或者過于難都無法達到好的復(fù)習(xí)效果,題根教學(xué)模式有利于幫助我們從浩瀚無邊的題海中選擇師生都需要的題。
2016年10月25日有幸在市綠耕送培活動中上了一節(jié)題為《一類錐體的體積探究》的公開課。在這節(jié)公開課中,我以題根教學(xué)模式在課堂中利用1道例題及其變式完成了錐體的體積復(fù)習(xí)。以下是我本節(jié)課的第1個教學(xué)片斷:
例1、已知三棱錐S-ABC,△ABC是邊長為1的正三角形,SA⊥AC,SB⊥BC,且SC=2,則此棱錐的體積為( )
生1:定義法(圖1):做平面ABC的垂線SD,則V=
生2:分割法(圖2):取AB的中點E,則由SA=SB,CA=CB,知AB 平面SEC,故V=
生3:分割法(圖3):過A做 ,連接BF,,由 , ,故V=
師生總結(jié):三棱錐的體積問題,本質(zhì)是尋找錐體中的垂直關(guān)系,三棱錐S-ABC是含有兩個全等面的三棱錐,而兩個面全等,另外兩個面一定為等腰,所以我們可以尋找AB的中點E,或者SC邊的垂足來尋找線與面的垂直關(guān)系。
題根的選擇應(yīng)該幫助學(xué)生夯實基礎(chǔ),在教學(xué)片斷1中,我選擇的題根為一個常規(guī)的求錐體體積問題,這是一個常見的問題,切入點低,解題方法有定義法,分割法,補形法,以及作為一道選擇題可以用放縮法。在本節(jié)課中學(xué)生共用了6種方法解決。實際上解決此題的方法至少有8種。如此基礎(chǔ)而靈活的題根既幫助學(xué)生完成了對基礎(chǔ)知識的回顧,豐富了解題方法,開拓了解題思路,也讓學(xué)生升級了自己的解題技能。更重要的是固化了學(xué)生的學(xué)科基礎(chǔ),每一種方法的獲得都是學(xué)生對學(xué)科知識體系的再鞏固,再整理。
二、題根教學(xué)模式有利于活變式
變式教學(xué)是高三數(shù)學(xué)習(xí)題課的主要教學(xué)模式。任何一道題只要進行數(shù)據(jù)的改編,就是會不一樣。但僅僅只是數(shù)據(jù)的變化,學(xué)生在變式的解題的過程中只是機械模式的訓(xùn)練。好的變式是對例題的鞏固和升華,是對學(xué)生思維的開拓。題根教學(xué)模式有利于我們對變式進行靈活處理。以下是我的第2個教學(xué)片斷:
變式:已知三棱錐S-ABC,AC=BC=1,SA⊥AC,SB⊥BC,且SC=2,則此棱錐的體積的最大值為____________
生4:由例1知,V= ,要計算體積的最大值,只需要計算 面積的最大值,設(shè)AB=x,則 = ,當(dāng)x= 時,此三角形的面積最大,此三棱錐體積的最大值為
生5: = ,當(dāng) = 時,三角形面積最大,三棱錐的體積有最大值
師生總結(jié):此題中,我們可以選擇以AB的邊長作為變量,也可以選擇 為變量。事實上,當(dāng)SAC固定之后,SBC可以看成是SAC繞著SC旋轉(zhuǎn)所得到的面,而在旋轉(zhuǎn)的過程中,二面角A-SC-B的平面角即為 ,顯然當(dāng) = 時,體積最大。
所謂題根,它只是一個根本,想要學(xué)生在課堂中收獲更多,我們要從題根做出探究的起點,引發(fā)更高一級的問題的產(chǎn)生。著名數(shù)學(xué)家希爾伯特說:數(shù)學(xué)寶藏是無窮無盡的,一個問題一旦解決,無數(shù)尋的問題就會代之而起。教學(xué)片斷2中的變式是例1條件的弱化,引入一個變量。通過這個變量對兩個全等面的這一類題型的動態(tài)鞏固,它是一道本身帶著光芒的變式。
三、題根教學(xué)模式有利于破難題
高三復(fù)習(xí)課肯定要用歷年的優(yōu)質(zhì)真題,而把真題光禿禿地放在學(xué)生眼前,學(xué)生肯定是沒有辦法一下子接受并解決的。所以對真題做一個合理的鋪墊尤為重要。在課堂中把真題作為一個跳一下就能摘到的蘋果,送給學(xué)生當(dāng)禮物,必然可以讓學(xué)生獲得解題的成就感和滿足感。題根教學(xué)模式有利于我們在課堂中將難題突破。以下是我的第3個教學(xué)片斷:
2016.浙理14:已知三棱錐S-ABC,AB=BC=2,∠ABC=120°.D為AC上一點且滿足SD=DA,SB=BA,則四面體SBCD的體積的最大值是________
師生共同分析:由題意知 ,則由以上的變式只,當(dāng)面ABD 面SBD時,四面體SABD的體積最大,此時四面體SBCD的體積的也為最大。過S作BD的垂線垂足記為H,則SH 平面BDC,
又因為 ,SH=AH,
故VSBCD= =
所以問題就轉(zhuǎn)化為求AH。以下的解題學(xué)生就可以利用平面知識快速解決。
這道題是今年高考的一大難點,很多學(xué)生連蒙帶猜得到了正確答案,但是并不知道它是如何通過嚴密的數(shù)學(xué)推理和精確的數(shù)學(xué)運算得到的。有以上的兩個教學(xué)片斷作為鋪墊,這個題的解決也變得水到渠成。每一位靠自己的智慧解決問題的學(xué)生都會從中得到解題的成就感,并會因為愛上數(shù)學(xué),愛上數(shù)學(xué)解題。
在整個教學(xué)過程中:教學(xué)片斷1,選擇了2012年全國高考第11作為題根,利用此題與學(xué)生一起復(fù)習(xí)空間幾何體體積的求法。并歸納此三棱錐的特征——含兩個全等面;教學(xué)片斷2:一個變式,把一個靜的幾何體,轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€旋轉(zhuǎn)的幾何體,由此分析在旋轉(zhuǎn)的過程中它保持基本量不變也就是一定會有兩個全等面。旋轉(zhuǎn)面與固定面垂直時幾何體的體積最大。有了這個變式,教學(xué)片斷3就水到渠成,學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)2016年浙江省高考理科第14題一個翻折問題,而不管是旋轉(zhuǎn)還是翻折都有兩個面是全等的,所以它也是一個全等面的錐體問題。
整節(jié)課解決了含有兩個全等面的錐體的體積及其最值問題。而其根本就探討此類錐體的垂直關(guān)系。而2016年10月的學(xué)考第18題(如圖,在四面體ABCD中,AB=CD=2,AD=BD=3,AC=BC=4,點E、F、G、H分別在棱AD、BD、BC、AC上.若直線AB、CD都平行與平面EFGH,則四邊形EFGH面積的最大值為___)也正是此類問題的一個側(cè)枝。當(dāng)我們找到了“根”,所有的側(cè)枝都是根的衍生物。例如本文中的三個教學(xué)片斷,以例1為題根,變式和2016年浙江理科14題及2016年浙江10月學(xué)科18題都是例1的側(cè)枝:當(dāng)然這樣的側(cè)枝還有很多,只要我們平時注意整理,以例1為題根的這棵樹就會越來越茁壯。而根系的發(fā)展除了題目間的相互聯(lián)系之外,也有方法上的一脈相承,使得在復(fù)習(xí)的過程中學(xué)生能夠舉一反三。
題根是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的一把鑰匙,好的題根可以促進對原有知識的溝通聯(lián)系,調(diào)整學(xué)生頭腦中原有知識的邏輯關(guān)系,借以開闊學(xué)生的解題思路,促進思維的多向發(fā)展。有人說:我走過最多的路,就是數(shù)學(xué)的套路。而所有數(shù)學(xué)套路的取得離不開對基礎(chǔ)知識的扎實掌握,離不開對每一個題根的深入探究。只要我們做一個教學(xué)的有心人,從某一個問題出發(fā)找出題根,由一個及一類進行教學(xué),那么高三的復(fù)習(xí)課肯定會變得更加有內(nèi)容,更加系統(tǒng),更加有效。
參考文獻:
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