于勝軍

第一，幾何模型見魯教版初中數學七年級上冊第二章第48頁.

原題：如圖1，直線l是草原上的一條小河.將軍從草原的A地出發(fā)到河邊飲水，然后再到B地軍營視察.那么，他走什么樣的路線行程最短呢？

解析：作點A（或B）關于直線l的對稱點A′（或B′），連接A′B（或AB′）交直線l于點P，連接AP，其最短路線為A-P-B.

第二，模型應用.

1.軸對稱的知識解決四邊形中的最短路線問題

變式1：如圖2，在正方形ABCD中，E是AB上一點，BE=2，AE=3BE.P是AC上一動點，則PB+PE的最小值是多少？

分析：利用點B關于AC的對稱點D進行求解.

解：如圖2，連接DE交AC于點P，此時PB+PE的值最小.由軸對稱得PB+PE=DE.在Rt△DAE中，AE=2，BE=6，AD=AE+BE=8.由勾股定理得DE=10，即PB+PE的最小值為10.

2.軸對稱的知識解決圓中的最短路線問題

分析：作點D關于直徑AB的對稱點D′求解.

3.軸對稱的知識解決函數中的最短路線問題

（1）求該函數的解析式.

（2）O為坐標原點，設OA、AB的中點分別為C、D，P為OB上一動點，求PC+PD的最小值，并求取得最小值時P點坐標.

（1）求這條拋物線的函數表達式.

（2）已知在對稱軸上存在一點P，使△PBC的周長最小.請求出點P的坐標.

（2）連接AC，BC.因為BC的長度一定，所以△PBC周長最小，就是使PC+PB最小.B點關于對稱軸的對稱點是A點，AC與對稱軸x=-1的交點即為所求的點P.

由待定系數法可知直線AC的表達式為y=-23x-2.endprint