劉晉源

【摘要】本課題研究如何通過二項分布的性質(zhì)證明數(shù)學(xué)分析中的Weierstrass定理。首先給出了概率空間并在其上定義了服從二項分布的隨機(jī)變量，然后推導(dǎo)二項分布的數(shù)學(xué)期望和方差等數(shù)字特征，并給出了二項分布可加性的證明。最后利用概率上的方法證明了Weierstrass定理。

【關(guān)鍵詞】二項分布 ?數(shù)字特征 ?可加性 ?Weierstrass定理

【中圖分類號】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）42-0134-02

1.前言

伯努利試驗是只有兩種結(jié)果的試驗，某事件A發(fā)生或者不發(fā)生，若事件A發(fā)生了，則稱此次試驗成功，否則稱為失敗，且每次試驗成功的概率是相同的。而二項分布就是重復(fù)地進(jìn)行n次相同的伯努利試驗，每次的伯努利試驗都是相互獨立的，與其他各次試驗沒有關(guān)系。比如現(xiàn)在有200顆豌豆種子，顏色為黃色的個數(shù)服從二項分布;已知肝癌患病率為p，現(xiàn)在調(diào)查200人，則此200人中患肝癌的人數(shù)服從二項分布;某條街道上共有1000只路燈，一個月之后壞掉的數(shù)量也服從二項分布。這都是我們生活中常見的二項分布的例子，也說明了二項分布應(yīng)用的廣泛性。本文就是研究二項分布的性質(zhì)以及闡述其在數(shù)學(xué)上的應(yīng)用價值。

2.二項分布

2.1 二項分布的建立

為了建立二項分布，我們首先需要建立概率空間，包括樣本空間，事件域和概率測度?，F(xiàn)在進(jìn)行n重伯努利試驗，每次試驗成功，即某事件A發(fā)生，記其概率為p。于是樣本空間為Ω={（ω1，ω2，…，ωn）：ωi代表事件A發(fā)生或者不發(fā)生}，此試驗具有2■個基本結(jié)果。若樣本點（ω1，ω2，…，ωn）中只有k個表示事件A發(fā)生，其他n-k個表示事件A不發(fā)生，則

P（（ω1，ω2，…，ωn））=p■（1-p）■

隨機(jī)變量X表示這n重伯努利試驗中成功的次數(shù)，于是可令事件域為由隨機(jī)變量X生成的σ代數(shù)。此時

P（X=k）=■■p■（1-p）■，k=0，1，…，n

這個分布稱為二項分布，記為X～b（n，p），其中■■是組合數(shù)。

2.2 二項分布的期望和方差

下面我們推導(dǎo)二項分布的數(shù)學(xué)期望和方差，主要利用的是組合數(shù)的性質(zhì)。X的數(shù)學(xué)期望為，

E（X）=■k■■p■（1-p）■=np■■■p■（1-p）■=np

又因為

E（X■）=■k■■■p■（1-p）■=■（k-1+1）k■■p■（1-p）■

=■（k-1）k■■p■（1-p）■+■k■■p■（1-p）■

=■（k-1）k■■p■（1-p）■+np

=n（n-1）p■■■■p■（1-p）■+np=n（n-1）p■+np

于是，二項分布的方差為Var（X）=E（X■）-（E（X））■=np（1-p）。

2.3二項分布的可加性

我們稱服從同一類分布的獨立隨機(jī)變量和的分布仍然屬于此類分布的情形為可加性，比如泊松分布具有可加性，下面我們證明二項分布也具有可加性。

定理2.1（二項分布的可加性）設(shè)隨機(jī)變量X～b（n，p），Y～b（m，p）且X與Y獨立，證明Z=X+Y～b（n+m，p）。

證明：首先隨機(jī)變量Z的取值可能為0，1，…n+m等不同的值。然后考慮事件{Z=k}的概率。由于k是總的試驗成功次數(shù)，則隨機(jī)變量X代表的成功次數(shù)最大只能是n和k的最小值。另外由于X取值非負(fù)，且最小為k-m，于是：

P（Z=k）=■P（X=i，Y=k-i）

=■P（X=i）P（Y=k-i）

=■■■p■（1-p）■■■p■（1-p）■

=p■（1-p）■■■■■■

由超幾何分布的性質(zhì)■■■■■■■=■■

于是P（Z=k）=■■p■（1-p）■，k=0，1，…，n+m

這表明Z=X+Y～b（n+m，p）

3.二項分布證明Weierstrass定理

從函數(shù)的復(fù)雜程度來看，多項式可以認(rèn)為是最簡單的函數(shù)類。用簡單函數(shù)去逼近復(fù)雜函數(shù)無論從理論上還是在實際應(yīng)用中都是十分重要的。例如我們想要求ln（1+x）在x=0.1處的取值，這樣的任務(wù)雖然可以交給計算機(jī)解決，但是即使是計算機(jī)，應(yīng)對這樣的計算任務(wù)也是需要進(jìn)行大量的運算的，比如用二分法不斷迭代。但是最簡單的方法莫過于用多項式近似ln（1+x），從而只需要計算多項式的值即可，這樣的任務(wù)交給計算機(jī)也能大大減少計算量，從而提升運行速度。伍勝健老師的《數(shù)學(xué)分析》中證明了任何有限閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)都可以被多項式逼近，但是只是一個存在性的證明，并沒有為我們構(gòu)造出具有顯式表達(dá)式的結(jié)果。

定義 3.1 設(shè)f（x），fn（x）（n=1，2，…）為定義在I？奐■上的函數(shù)。若對于？坌ε>0，存在n∈N當(dāng)n>N時，對一切x∈I，有

fn（x）-f（x）<ε，

則稱函數(shù)序列{fn（x）}在I上一致收斂于f（x），記為fn（x）■f（x）（x∈I）。

定義 3.2 設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間I上有定義。若對于？坌ε>0存在多項式P（x），使得對于一切x∈I有f（x）-P（x）<ε，則稱f（x）在I上可被多項式逼近。

定理 3.1（Weierstrass定理） 設(shè)函數(shù)f（x）∈C[a，b]，則f（x）可被多項式逼近。

下面，我們利用二項分布的性質(zhì)給出上述Weierstrass定理一個概率上的證明，并構(gòu)造出了具有顯式表達(dá)式的結(jié)果。為了簡單起見，我們的討論限制在[0，1]上。

定理 3.2 設(shè)函數(shù)f（x）在[0，1]上連續(xù)，對每個正整數(shù)n，定義Bn（f，x）=■■■f■x■（1-x）■，證明Bn（f，x）■f（x）（x∈[0，1]）。

證明：Bn（f，x）-f（x）=■■■f■x■（1-x）■-■■■f（x）x■（1-x）■=■■■[f■-f（x）]x■（1-x）■

由于f（x）是[0，1]上的連續(xù)函數(shù)，從而一致連續(xù)。于是對于任意的ε>0，存在δ>0，當(dāng)x′，x″∈[0，1]，x′-x″<δ時，有f（x′）-f（x″）<■。

則Bn（f，x）-f（x）≤■■■■■f■-f（x）x■（1-x）■=■■■f■-f（x）x■（1-x）■+■■■f■-f（x）x■（1-x）■<■■■■x■（1-x）■+■■■f■-f（x）x■（1-x）■

又因為f（x）的連續(xù)性，可知存在M>0使得f（x）≤M，對任意的x∈[0，1]成立。

于是，

■■■f■-f（x）x■（1-x）■≤2M■■■x■（1-x）■≤2M■■■■x■（1-x）■≤■■≤■

上述第三個不等式利用的是二項分布的方差公式，此時取N>■，則當(dāng)n>N時，

■■■f■-f（x）

從而Bn（f，x）=f（x）

4.總結(jié)

本文給出了數(shù)學(xué)分析中的Weierstrass定理概率上的證明，利用的是二項分布的期望和方差的性質(zhì)，以及連續(xù)函數(shù)的有界性和一致連續(xù)性。

參考文獻(xiàn)：

[1]茆詩松. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計簡明教程[M]. 高等教育出版社， 2012.

[2]伍勝健. 數(shù)學(xué)分析[M]. 北京大學(xué)出版社， 2009.