申貝貝

【摘要】在數(shù)理統(tǒng)計和概率論當中，經(jīng)常會遇到求獨立隨機變量和的分布，經(jīng)過這么多年人們努力地研究和探索，終于研究出了另外一個重要的工具——特征函數(shù).特征函數(shù)可以解決很多概率論當中的問題，可以很好地去尋求獨立隨機變量和的分布，同時還能夠?qū)⒕矸e運算換算成乘法運算.本文著重介紹了特征函數(shù)的基本概念、主要的性質(zhì)以及一些基本的應用，同時還根據(jù)實例去介紹特征函數(shù)在求隨機變量獨立和的分布以及研究極限定理方面的應用.

【關鍵詞】特征函數(shù)；性質(zhì)；應用

在一般的數(shù)學研究當中，經(jīng)常會遇到隨機變量這個重要的內(nèi)容.隨機變量的規(guī)律是根據(jù)隨機變量的分布函數(shù)來統(tǒng)計的，在使用的過程中有時會出現(xiàn)分布密度或者是分布函數(shù)使用不便等問題，例如，在實際的操作過程中用卷積求分布密度和獨立隨機變量過于復雜和煩瑣.本文主要對特征函數(shù)的定義以及性質(zhì)進行分析，利用定義和性質(zhì)來對特征函數(shù)使用方法進行更便捷的介紹.對特征函數(shù)的性質(zhì)做進一步的分析，在基本定義和性質(zhì)的引導下，對其應用進行探討分析.

一、特征函數(shù)的定義

設X是一個隨機變量，稱

φ（t）=Ε（eitX），∞

為X的特征函數(shù).

因為|eitX|=1，所以Ε（eitX）總是存在的，即任一隨機變量的特征函數(shù)總是存在的.

當離散隨機變量X的分布列為pk=P（X=xk），k=1，2，3，…，則X的特征函數(shù)為

φ（t）=∑+∞k=1eitxkpk，∞

當連續(xù)隨機變量X的密度函數(shù)為p（x），則X的特征函數(shù)為

φ（t）=∫+∞∞eitxkp（x）dx，∞

其實在特征函數(shù)里，隨機變量是一個很重要的方法，在分布函數(shù)和密度函數(shù)里，特征函數(shù)是很好的補充和加強，從某種程度上來說，特征函數(shù)的應用要更加廣泛一些，讓證明推理的過程簡潔化，這樣一個工具可以用來證明中心極限定理，而且非常有分量.結合上面的敘述我們可以得出這樣的結論，就是在學習的時候，除了要把分布函數(shù)的知識掌握到位，還要了解特征函數(shù)，在解決問題過程中實現(xiàn)兩者的互補，在互相促進當中將問題解決.

二、特征函數(shù)的主要性質(zhì)

特征函數(shù)主要具有以下幾個基本性質(zhì)：如果兩個隨機的變量擁有統(tǒng)一的特征函數(shù)，那么它們就會具有相同的概率分布；相反，假設兩個隨機的變量擁有一樣的概率分布，那么它們的特征函數(shù)很顯然也相同.因此，我們可以得出獨立隨機變量和的特征函數(shù)其實就相當于每個隨機變量特征函數(shù)的乘積.

主要性質(zhì)：兩個相互獨立的隨機變量之和的特征函數(shù)等于它們的特征函數(shù)之積.

利用歸納法，不難把上述性質(zhì)推廣到n個獨立隨機變量的場合，若ξ1，ξ2，…，ξn是n個相互獨立的隨機變量，相應的特征函數(shù)為Φ1（t），Φ2（t），…，Φn（t），則ξ=∑ni=1ξi的特征函數(shù)為Φ（t）=∏ni=1Φi（t）.

由于這個性質(zhì)，獨立隨機變量和的特征函數(shù)可以方便地用各個特征函數(shù)相乘來求得，對于獨立和分布函數(shù)來說，必須要進行復雜的運算才能計算出來.相對來說，特征函數(shù)在進行問題處理的時候就？緣帽冉戲獎？.在概率論的古典問題中，占據(jù)重要位置的就是獨立和問題，解決這些問題主要是依靠引進特征函數(shù).

特征函數(shù)里最重要的知識點就是概率論，其不僅可以研究隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性，還可以很客觀地描述分布函數(shù)變量的統(tǒng)計規(guī)律.在探討隨機變量的時候引入分布函數(shù)，這就像在隨機現(xiàn)象與數(shù)學分析之間搭建了一座橋梁，數(shù)學分析這個工具需要通過特征函數(shù)引進才能更好地進入到隨機現(xiàn)象的研究領域，而特征函數(shù)在這種情況之下就會得到飛速的發(fā)展，以便于解決實際的各種現(xiàn)象問題.

對于特征函數(shù)來說，主要是建立在分布函數(shù)的基礎上，通過分析分布函數(shù)來得出相應的隨機變量問題，包括其性質(zhì)以及數(shù)字特征等，但是針對那些個性化的問題來說，如果只是依靠分布函數(shù)與密度函數(shù)是遠遠不夠的.而特征函數(shù)就可以去解決那些小眾的問題、個性化的問題，畢竟分布函數(shù)跟特征函數(shù)都是唯一的存在，其過程也比較簡單.在概率論中，研究隨機變量的時候，特征函數(shù)是一種常見的工具，主要是由其特性決定的，每個隨機變量都存在特征函數(shù).

在概率發(fā)展過程中，獨立隨機變量的地位顯得比較重要，要得出獨立隨機變量的和，就要把它的分布函數(shù)計算出來，獨立隨機變量的結果來自于各個隨機變量分布律的卷積，在計算的時候并不簡單.與此相比，獨立隨機變量，包括特征函數(shù)等，都是它的各被加項的特征函數(shù)的乘積，這樣的計算難度不大.因此，當特征函數(shù)引進之后，古典極限問題就能得到有效的解決.

三、特征函數(shù)的主要應用

眾所周知，對于特征函數(shù)來說，其實際背景比較廣泛，在生產(chǎn)與科學實驗中，通過特征函數(shù)可以描述很多的隨機變量概率.例如，同一個生物體的各種指標、體重和身高等；某一個區(qū)域內(nèi)一年的降水量是多少，與同期進行比較；假設生產(chǎn)條件不會發(fā)生變化，產(chǎn)品的一些長度、寬度等指標等.通常情況下，假如很多獨立隨機因素影響到一個量的情況下，就可以認定這個量具有特征函數(shù).站在理論的角度來論述，特征函數(shù)的性質(zhì)比較良好，運用特征函數(shù)可以近似一些概率的分布，像種子的質(zhì)量，同一個物體的測量誤差等.

1.分布律與特征函數(shù)之間存在一一對應關系.因此，當求出了隨機變量的特征函數(shù)，便可知其分布律，由特征函數(shù)的某些性質(zhì)，可以推出分布律的某些性質(zhì).不僅如此，在分布律的某種收斂意義下的極限分布與特征函數(shù)之間也存在著對應關系.因此，由特征函數(shù)的極限函數(shù)有時可以推知極限分布律，從而推知隨機變量序列的極限分布.

2.特征函數(shù)是一種有界連續(xù)函數(shù)，比分布函數(shù)及分布律更易于應用分析的工具.

3.獨立隨機變量，特別是獨立隨機變量和以及有關的問題在概率的發(fā)展中具有重要的地位，要研究獨立隨機變量和，就要求出它的分布函數(shù)，而獨立隨機變量和的分布律是各隨機變量分布律的卷積，計算起來很復雜，但獨立隨機變量和的特征函數(shù)等于它的各被加項的特征函數(shù)的乘積，計算和研究都很方便.這就是為什么古典極限問題能在引進特征函數(shù)之后很快得到解決的原因.

四、特征函數(shù)與分布函數(shù)的一一對應

我們在前文分析了特征函數(shù)的含義，對于隨機變量來說，其特征函數(shù)主要是由分布函數(shù)來確定，與之相反，也能夠證明由特征函數(shù)可唯一地確定它的分布函數(shù)，在這樣的基礎上，特征函數(shù)變成了一種數(shù)學工具，通過這個數(shù)學工具刻畫隨機變量統(tǒng)計規(guī)律，通過特征函數(shù)來得出分布函數(shù)，就是我們所說的“逆轉公式”，也可以叫作勒維定理.

勒維定理（逆轉公式）：設隨機變量ξ的分布函數(shù)為F（x），特征函數(shù)為Φ（t），又x1與x2是F（x）的任意兩個連續(xù)點（∞

F（x2）-F（x1）=limT→∞12π∫T-Te-itx1-e-itx2itΦ（t）dt.

其中，當t=0時，按連續(xù)性延拓定義：

e-itx1-e-itx2it=x2-x1.

唯一性定理：隨機變量的分布函數(shù)由其特征函數(shù)唯一確定.

五、結論

隨機變量的分布函數(shù)完全描述了隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律性，在有些問題上，如果用分布函數(shù)來解決并不容易，因此我們把Fourier變換引入概率中，進而產(chǎn)生了特征函數(shù)，利用特征函數(shù)與分布函數(shù)一一對應的關系，可以簡化許多隨機變量的研究工作.特征函數(shù)既能完全確定分布函數(shù)，又在處理獨立隨機變量和的分布及計算數(shù)字特征等方面比分布函數(shù)更為方便，這使得有必要進一步討論特征函數(shù)的相關性質(zhì)及其應用.特征函數(shù)雖不如分布函數(shù)直觀，卻有著更好的分析性質(zhì)，而且能夠完全決定分布函數(shù)，與分布函數(shù)存在一一對應關系.在許多方面，用特征函數(shù)比用分布函數(shù)做隨機變量的研究工具更方便.

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