張 雨， 黃鎮(zhèn)華， 李 銘

(華南師范大學(xué)物理與電信工程學(xué)院， 廣東省量子調(diào)控與材料重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣州 510006)

Bogoliubov-de Gennes對(duì)角化與Schur分解方法的等價(jià)性

張 雨， 黃鎮(zhèn)華， 李 銘*

(華南師范大學(xué)物理與電信工程學(xué)院， 廣東省量子調(diào)控與材料重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣州 510006)

以Kitaev的一維量子線模型為例，分別利用傳統(tǒng)的Bogoliubov-de Gennes(BdG)對(duì)角化方法和Schur分解方法求解該模型的本征能量以及本征波函數(shù)，從理論分析和數(shù)值計(jì)算方面對(duì)2種方法進(jìn)行對(duì)比. 結(jié)果表明，BdG對(duì)角化方法得到的準(zhǔn)粒子能量是能量本征值的2倍，而Schur分解方法可以直接得到準(zhǔn)粒子能量. 兩者數(shù)值計(jì)算結(jié)果一致. 另外，在確定的參數(shù)下，2種方法得到的準(zhǔn)粒子算符對(duì)初始的費(fèi)米子算符的展開系數(shù)只相差一個(gè)常數(shù)相因子. 所以，最后的結(jié)論是BdG對(duì)角化跟Schur分解兩種方法是等價(jià)的.

BdG對(duì)角化方法； Schur分解； Majonara費(fèi)米子； 粒子-空穴對(duì)稱； 拓?fù)浣^緣體

求解一個(gè)哈密頓量的本征值和本征函數(shù)，人們通常采用的數(shù)值計(jì)算方法是Bogoliubov-de Gennes(BdG)對(duì)角化方法[1-4]. 問題是在某些情況下該方法可能需要擴(kuò)大自由度的維數(shù)[5]，從而產(chǎn)生偽態(tài). Kitaev[6]在2000年提出一個(gè)模型，在三維超導(dǎo)體表面的量子線兩端呈現(xiàn)Majonara零能模. 他沒有利用傳統(tǒng)的BdG對(duì)角化方法，而是用費(fèi)米子產(chǎn)生湮滅算符構(gòu)造結(jié)果Majonara費(fèi)米子算符，得到具有斜正交矩陣形式的哈密頓量，然后實(shí)行分塊對(duì)角化. 這個(gè)分塊對(duì)角化正好可以通過Matlab的Schur分解來實(shí)現(xiàn)[7]. 目前Kitaev方法應(yīng)用較少，多數(shù)情況采用BdG對(duì)角化方法直接對(duì)角化. 一個(gè)疑問是：這兩種方法得到的結(jié)果是否一致呢？本文以Kitaev模型為例，首先從理論上對(duì)BdG對(duì)角化和Schur分解兩種方法進(jìn)行對(duì)比，然后通過數(shù)值計(jì)算比較兩種方法得到的本征能量以及波函數(shù). 研究結(jié)果表明：兩種方法是等價(jià)的，并且BdG對(duì)角化方法更簡(jiǎn)單.

1 研究方法

1.1 BdG對(duì)角化方法

Kitaev模型的哈密頓量可以表示為[7]:

(1)

其中，t是最近鄰格點(diǎn)跳躍幅度，μ是化學(xué)勢(shì)，Δ=|Δ|eiθ是超導(dǎo)配對(duì)勢(shì).

H=C+hC,

(2)

其中，

(3)

對(duì)矩陣h進(jìn)行對(duì)角化得到h=SES+. 這里的S是引入的一個(gè)幺正矩陣.E是一個(gè)對(duì)角矩陣對(duì)角元素為(±E1±E2…)，且從小到大排序. 矩陣S的每一列為相應(yīng)能量本征值所對(duì)應(yīng)的本征矢. 把h=SES+代入前面的哈密頓量中，并且設(shè)

(4)

新構(gòu)造的準(zhǔn)粒子算符采用原費(fèi)米子算符展開為：

(5)

(6)

下面證明，這兩套費(fèi)米子算符的一致性. 對(duì)于矩陣h的任意一個(gè)能量本征值En，本征矢量滿足下列BdG方程[8]：

(7)

對(duì)BdG方程(7)等號(hào)兩邊進(jìn)行幺正變換，重新整理后得到如下形式：

(8)

(9)

(10)

將其代入新費(fèi)米子算符(5)得:

(11)

所以，本征值為負(fù)的偽態(tài)，可以消除. 于是，哈密頓量式(4)變?yōu)椋?/p>

(12)

可見，通過BdG對(duì)角化方法所得能量的2倍才是真正的準(zhǔn)粒子能量本征值.

1.2 Schur分解方法

采用Schur分塊法求解Kitaev模型. 首先用Majonara費(fèi)米子算符改寫Kitaev模型的哈密頓量. Majonara費(fèi)米子算符定義為：

(13)

滿足Majonara費(fèi)米子的反對(duì)易關(guān)系{γi,γj}=2δij，將式(13)代入式(1)得：

(14)

這一哈密頓量可以寫成如下矩陣形式：

(15)

其中，A是2N×2N的實(shí)反對(duì)稱矩陣(Aj，i=-Ai，j) 實(shí)反對(duì)稱矩陣的非零本征值是純虛數(shù)，并且正負(fù)成對(duì)出現(xiàn)[6,11]，設(shè)為±iεn，εn≥0. 所以，A可以寫成如下形式：

A=WTBW,

(16)

其中，

(17)

W是2N×2N的實(shí)正交矩陣，WWT=1. 該矩陣可用Matlab的Schur子程序計(jì)算. 將式(16)代入哈密頓量可以得到：

(18)

(19)

得到對(duì)角化的哈密頓量：

(20)

其中，

(21)

式中，

2 結(jié)果與討論

2.1 準(zhǔn)粒子能量

首先，按照Schur分解和BdG對(duì)角化兩種方法計(jì)算準(zhǔn)粒子能量(圖1)，采用Schur分解方法得到的準(zhǔn)粒子能量跟BdG對(duì)角化方法得到的2En完全一致. 另外，這里還出現(xiàn)了一個(gè)零能量E=0，與其他能量之間有一個(gè)明顯的能隙. 這個(gè)零能量態(tài)就是馬約拉納零模[7,12-13]，這也正是Kitaev在該玩具模型中預(yù)言的[6]，其零模的穩(wěn)定性受拓?fù)浔Ｗo(hù).

圖1 兩種方法在不同參數(shù)下計(jì)算得到一維鏈上電子的準(zhǔn)粒子能量

Figure 1 Quasiparticle energies of electrons on a one-dimensional chain by two methods with different parameters

2.2 零模準(zhǔn)粒子的展開系數(shù)絕對(duì)值及相對(duì)相位角

由于量子力學(xué)波函數(shù)的位相不確定性，零模準(zhǔn)粒子的展開系數(shù)可以存在一個(gè)常數(shù)相因子的差別(相對(duì)相位角). 為了檢驗(yàn)2種方法得到的展開系數(shù)是否只是相差一個(gè)常數(shù)相因子，進(jìn)一步計(jì)算了所有格點(diǎn)上2種方法得到的展開系數(shù)之比的相位角(圖3). 可見，在同一組參數(shù)下，不同格點(diǎn)上的相位角是完全相同的. 這表明用2種數(shù)值計(jì)算方法得到的波函數(shù)只存在著常數(shù)相因子的差別.

圖2 兩種方法求不同參數(shù)下零模準(zhǔn)粒子產(chǎn)生算符展開系數(shù)的絕對(duì)值

Figure 2 Absolute values of expansion coefficients of zero mode quasi-particle annihilation operator by two methods with different parameters

圖3 Schur分解法與BdG對(duì)角化方法在不同參數(shù)下求得零模準(zhǔn)粒子產(chǎn)生算符展開系數(shù)的相對(duì)相位角

Figure 3 Relative phase angles of expansion coefficients of zero mode quasi-particle annihilation operator between Schur and BdG

2.3 第一激發(fā)態(tài)準(zhǔn)粒子算符展開系數(shù)及相位角

對(duì)比兩組不同的參數(shù)下用2種方法得到第一激發(fā)態(tài)能量相應(yīng)準(zhǔn)粒子產(chǎn)生算符的展開系數(shù)絕對(duì)值(圖4)以及展開系數(shù)相差的相位角(圖5). 由圖4可以看出，相同參數(shù)下2種方法得到的第一激發(fā)態(tài)能量對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)粒子算符其展開系數(shù)絕對(duì)值相同. 由圖5可以看出兩組參數(shù)下2種方法得到第一激發(fā)態(tài)能量對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)粒子算符其展開系數(shù)之間相差的相位角都是零，也就是說此時(shí)2種方法得到的準(zhǔn)粒子算符的展開系數(shù)之間不存在常數(shù)相因子的差別，二者完全相同. 所以，數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明，BdG對(duì)角化和Schur分解2種數(shù)值計(jì)算方法在求解同一個(gè)一維拓?fù)涑瑢?dǎo)體Kitaev模型的本征值和本征函數(shù)時(shí)是等價(jià)的. 另外，對(duì)2種方法進(jìn)行進(jìn)一步分析發(fā)現(xiàn)各有其優(yōu)點(diǎn)：首先，BdG對(duì)角化方法在求解本征函數(shù)和本征能量的計(jì)算過程中更加簡(jiǎn)潔方便. 值得注意的是，BdG對(duì)角化的方法直接得到的能量的2倍才是真正的準(zhǔn)粒子能量本征值. 其次，由于馬約拉納費(fèi)米子更像是半個(gè)狄拉克費(fèi)米子，因此采用Schur分解方法在處理馬約拉納費(fèi)米子行為問題時(shí)則更加直觀清晰. 綜上所述，可以根據(jù)處理問題的不同而選擇合適的方法進(jìn)行計(jì)算分析，從而達(dá)到事半功倍的效果.

圖4 兩種方法求不同參數(shù)下第一激發(fā)態(tài)準(zhǔn)粒子產(chǎn)生算符的展開系數(shù)絕對(duì)值

Figure 4 Absolute values of expansion coefficients of quasi-particle annihilation operator of the first excited state by two methods with different parameters

圖5 Schur分解法與BdG對(duì)角化方法在不同參數(shù)下求得第一激發(fā)態(tài)準(zhǔn)粒子產(chǎn)生算符展開系數(shù)的相對(duì)相位角

Figure 5 Relative phase angles of expansion coefficients of quasi-particle annihilation operator of the first excited state between Schur and BdG with different parameters

3 結(jié)論

通過理論分析和數(shù)值計(jì)算驗(yàn)證了BdG對(duì)角化和Schur分解2種數(shù)值計(jì)算方法的等價(jià)性. 由于超導(dǎo)配對(duì)相的存在，用BdG對(duì)角化方法求解哈密頓量不得不擴(kuò)大1倍自由度個(gè)數(shù)，但最后在粒子-空穴對(duì)稱的前提下自由度兩兩重合，準(zhǔn)粒子能量正好是能量本征值的2倍. Schur分解法得到的能量本征值直接給出準(zhǔn)粒子能量. 數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明，2種方法得到的準(zhǔn)粒子能量是完全一致的. 2種方法得到的準(zhǔn)粒子算符對(duì)初始費(fèi)米子算符的展開系數(shù)只有1個(gè)常數(shù)位相因子的差別. 所以，這2種方法是等價(jià)的.

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Equivalence between Bogoliubov-de Gennes Diagonalization and Schur Decomposition

ZHANG Yu， HUANG Zhenhua， LI Ming*

(Guangdong Provincial Key Laboratory of Quantum Engineering and Quantum Materials, School of Physics and Telecommunication Engineering, South China Normal University, Guangzhou 510006, China)

The Equivalence between the Bogoliubov-de Gennes (BdG) Diagonalization method and the Schur decomposition has been verified through numerical computations to the Kitaev model of a one-dimensional quantum wire. Comparisons between two methods have been conducted in terms of theoretical analysis and numerical computation. The quasipartical energies obtained from the BdG method are twice the eigenenergies but the Schur decomposition gives the quasipartical energies directly. The numerical results show that quasipartical energies from the two methods are consistent with each other perfectly. In addition, the expansion coefficients of the quasipartical operators from two methods have only a constant phase in difference. The final conclusion is drawn that BdG diagonalization method and Schur decomposition are equivalent.

BdG diagonalization; Schur decomposition; Majonara fermions; particle-hole symmetry; topological insulator

2017-01-08 《華南師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)》網(wǎng)址：http://journal.scnu.edu.cn/n

廣東省教育廳團(tuán)隊(duì)項(xiàng)目(C1085031)

*通訊作者:李銘，教授，Email:wliming@scnu.cn.

O41

A

1000-5463(2017)06-0012-05

【中文責(zé)編：譚春林 英文審校：肖菁】