黃丙遠(yuǎn) , 黃金銳 , 奚 悅

(1. 韓山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 潮州 521041； 2. 五邑大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，江門 529020)

二維不可壓縮 Navier-Stokes-Landau-Lifshitz方程組的整體強(qiáng)解

黃丙遠(yuǎn)1*, 黃金銳2, 奚 悅2

(1. 韓山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 潮州 521041； 2. 五邑大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，江門 529020)

Navier-Stokes-Landau-Lifshitz 方程組; Cauchy 問(wèn)題; 整體存在性

本文考慮不可壓縮 Navier-Stokes-Landau-Lifshitz 耦合模型[1-2]，研究其在2×(0,)中對(duì)應(yīng)的Cauchy問(wèn)題,具體如下:

ρt+·(ρu)=0,

(1)

ρut+ρu·u+P=Δu-·(d⊙d),

(2)

·u=0,

(3)

dt+(u·)d=Δd+|d|2d+d×Δd,|d|=1,

(4)

(ρ,u,d)(x,0)=(ρ0,u0,d0),·u0=0,|d0|=1,x2,

(5)

(ρ,u,d)(x,t)→(0,0,1),|x|→,t>0,

(6)

其中(ρ,u,P,d)分別表示密度函數(shù)、速度函數(shù)、壓力項(xiàng)及磁矩,u=(u1,u2),“1”為單位向量. 在動(dòng)量守恒方程中出現(xiàn)的d⊙d表示以id·jd作為第(i,j)元的2×2矩陣,1≤i,j≤2. 當(dāng)d為常值單位向量時(shí),方程組(1)～(3)是Navier-Stokes方程組[3-4]. 若方程(4)的u=0,則方程(4)為L(zhǎng)andau-Lifshitz方程[5]. 若方程(4)中忽略d×Δd,則方程(1)～(4)就是液晶系統(tǒng),其研究成果可見文獻(xiàn)[6-9].

受到文獻(xiàn)[6]、[8]的啟發(fā),本文將研究耦合方程組(1)～(6)的強(qiáng)解,得到整體強(qiáng)解的存在唯一性.

1 預(yù)備知識(shí)

為了方便起見,全文作了一些記號(hào)：

Hk=Wk,2,Dk,r=Dk,r(2)={v(2):‖kv‖Lr<},

Wk,r=Lr∩Dk,r,Dk=Dk,2,D1={vL6:‖v‖L2<}.

強(qiáng)解的定義如下：

定義1假設(shè)T>0, 如果(ρ,u,P,d)在2×(0,T)中幾乎處處意義下滿足方程組(1)～(6),且

ρL((0,T);2),ρ,ρtL(0,T;L2),

uL(0,T;H2),uL2(0,T;W1,4),

utL(0,T;L2)∩L2(0,T;H1),

PL(0,T;H1)∩L2(0,T;W1,4),

dL(0,T;H2)∩L2(0,T;H3),

dtL(0,T;H1)∩L2(0,T;H2),dttL2(0,T;L2),

則稱(ρ,u,P,d)是方程組(1)～(6)在2×(0,T)中的強(qiáng)解.

引理1假設(shè)初值(ρ0，u0,d0)滿足0

證明利用文獻(xiàn)[6]的迭代方法或者文獻(xiàn)[10]的Galerkin方法及文獻(xiàn)[3]、[10]中標(biāo)準(zhǔn)的區(qū)域擴(kuò)張技術(shù),都能得到問(wèn)題(1)～(6)的局部強(qiáng)解的存在唯一性.

引理2[11]對(duì)于任意p[2,)、q(1,)及r(2,),假設(shè)fH1和gLq∩D1,r,那么存在僅僅依賴于p、q和r的正常數(shù)C,滿足

與

‖g‖C(2)≤C‖g‖‖g‖.

2 主要結(jié)論

定理1假設(shè)0

那么對(duì)于任意給定的0

在引理1已經(jīng)得到唯一局部強(qiáng)解的前提下, 為了證明定理1, 本文只需要建立一系列關(guān)于時(shí)間T全局性的先驗(yàn)估計(jì). 為方便起見，全文出現(xiàn)的正常數(shù)C與C0僅依賴于初值(ρ0,u0,d0),而不依賴于ρ、u、d及時(shí)間T. 下面,對(duì)于任意的T>0,將建立一些有用的先驗(yàn)估計(jì).

引理3(基本能量等式)對(duì)于所有的t[0,T],有

(7)

而且

(8)

證明用u與方程(2)做向量積,然后在2上積分,并利用分部積分法與方程(3),得

(9)

用(Δd+|d|2d)與方程(4)做向量積,然后在2上積分,由于(Δd+|d|2d)·(d×Δd)=0,得

(10)

由|d|=1推出

(dt+u·d)·|d|2d=[|d|2(|d|2)t+

u·(|d|2)|d|2]=0,

(11)

及方程(6)推出

(12)

所以,聯(lián)立式(10)～(12),得到

(13)

把式(9)和式(13)相加,并在[0,T]上積分,式(7)顯然成立.

最后,利用特征線方法[12]可得式(8).

(14)

證明由式(7)與式(8)可直接得到

(15)

(16)

把式(16)代入式(13),應(yīng)用引理2、引理3、Cauchy不等式、式(9)及式(15),則

‖u‖L4‖d‖L4‖Δd‖L2≤C0‖d‖‖Δd‖

C0‖d‖‖Δd‖‖Δd‖‖u‖

(17)

(18)

(19)

對(duì)方程(4)應(yīng)用L2估計(jì),借助H?lder不等式、引理2、式(7)及式(15),得

(20)

聯(lián)立式(7)與式(19),得

(21)

由式(15)、(19)、(21)直接得到式(14).

引理4對(duì)于任意T≥0, 有

(22)

證明用ut與方程(2)做向量積,在2上積分,利用分部積分關(guān)系、方程(3)及式(8),得

由式(8)、H?lder不等式、Cauchy不等式及引理2,得

C(‖u‖L4‖u‖L4‖ut‖L2+‖Δd‖L4‖d‖L4‖ut‖L2)≤

(23)

根據(jù)Cauchy不等式,式(23)變?yōu)?/p>

Cε(‖Δd‖

(24)

根據(jù)定常Stokes方程的正則性理論[13],由方程(2)、H?lder不等式、引理2及Cauchy不等式,得

利用Cauchy不等式,則

(25)

把式(25)代入式(24),有

Cε(‖u‖‖Δd‖‖Δd‖).

(26)

對(duì)方程(4)作用算子Δ,并用Δd與之做向量積,在2上積分,利用分部積分法和H?lder不等式,得

(27)

接著,估計(jì)I1、I2. 由引理2、引理3、推論1及Cauchy不等式,有

I1≤C(‖d‖L2‖Δd‖L2+‖d‖‖Δd‖L2‖Δd‖+

‖Δd‖L2‖Δd‖+‖Δd‖)‖Δd‖L2≤

ε‖Δd‖

(28)

ε‖Δd‖‖u‖‖Δd‖‖u‖).

(29)

把式(28)、(29)代入式(27),取ε足夠小,得

C(‖u‖‖Δd‖‖Δd‖‖u‖).

(30)

由式(26)、(30),得

C(‖u‖‖Δd‖

(31)

由Gronwall不等式、引理3和推論1,得

(32)

由方程(20)及式(32),得

(33)

由推論1及式(22)、(25)、(32)、(33)，得

(34)

則由估計(jì)式(32)～(34)可得式(22).

引理5對(duì)于任意T≥0,有

對(duì)方程(2)關(guān)于時(shí)間t求導(dǎo),則

ρutt+ρ(u·)ut-Δut+Pt=-ρt[ut+(u·)u]-

ρut·u-(·(d⊙d))t.

(35)

用ut與方程(35)做向量積,在2上積分,利用方程(1)、(3),并由分部積分法,得

根據(jù)Cauchy不等式、H?lder不等式、引理2～引理4和推論1,得

ρ|u||u|2|ut|+ρ|u|2|2u||ut|+ρ|u|4|u|2)dx+

(36)

對(duì)方程(4)關(guān)于t求導(dǎo),則

dtt+(ut·)d+(u·)dt-Δdt=

(37)

用Δdt與方程(37)做向量積,在2上積分,得

(38)

由H?lder不等式、引理 2～引理4、推論1及Cauchy不等式,對(duì)J1、J2、J3估計(jì)如下：

J1≤C(‖ut‖L4‖d‖L4‖Δdt‖L2+‖u‖L4‖dt‖L4‖Δdt‖L2)≤

ε(‖ut‖‖Δdt‖‖ut‖‖dt‖

J2+J3≤C(‖d‖L4‖dt‖L4‖Δdt‖L2+

‖dt‖L4‖d‖‖Δdt‖L2)+C(‖dt‖L4‖Δd‖L4‖Δdt‖L2)≤

C(‖dt‖‖dt‖‖Δdt‖L2+‖dt‖‖Δdt‖)+

把上述估計(jì)代入式(38),然后與式(36)相加,得

ε(‖ut‖‖Δdt‖+Cε(‖ut‖‖2u‖

(39)

取ε足夠小,式(39)變?yōu)?/p>

(40)

由Gronwall不等式、引理3、引理4及推論1,有

(41)

聯(lián)立式(8)及式(41),得

(42)

對(duì)方程(4)關(guān)于x求導(dǎo),則

(43)

(44)

由H?lder不等式、Cauchy不等式、引理2～引理4,有以下估計(jì)：

K1≤C‖dt‖L2‖Δd‖L2≤ε‖Δd‖‖dt‖

K2≤C‖u‖L2‖d‖L‖Δd‖L2≤ε‖Δd‖

K3+K4≤C(‖u‖L4+‖d‖L4)‖2d‖L4‖Δd‖L2≤

ε‖Δd‖‖Δd‖‖Δd‖

K5+K6≤C‖d‖L4‖Δd‖L4‖Δd‖L2≤

ε‖Δd‖Cε‖Δd‖‖Δd‖

把上述估計(jì)代入式(44),取ε足夠小,根據(jù)估計(jì)式(41),有

‖Δd‖‖dt‖C.

(45)

類似地，也能相應(yīng)地得到

(46)

聯(lián)立式(41)、(42)與式(45)、(46),引理5得證.

引理6對(duì)任意T>0，有

(47)

與

(48)

證明由式(25)、(42)、(14)、(45),立即得到

‖u‖‖P‖C.

(49)

根據(jù)定常Stokes方程的正則性理論[3,13]、H?lder不等式及引理2,得

C(‖ρut‖L4+‖ρu·u‖L4+‖·(d⊙d)‖L4)≤

C(‖ρ‖L‖ut‖L4+‖ρ‖L‖u‖L‖u‖L4+

‖Δd‖L2‖Δd‖L2+‖Δd‖H1)≤

C(‖ut‖H1+‖u‖H1+‖Δd‖H1).

(50)

在t[0,T]上,式(50)關(guān)于t積分, 由式(7)、(14)、(22)及引理5，得

(51)

結(jié)合式(49)、(51)可證得式(47)成立.

(ρ)t+u·2ρ+u·ρ=0.

(52)

(53)

根據(jù)引理2,得

‖u‖L≤C‖u‖‖2u‖.

(54)

把式(54)代入式(53),應(yīng)用引理4,得

(55)

對(duì)式(55)應(yīng)用Gronwall不等式,結(jié)合式(51),得

‖ρ‖).

定理1的證明結(jié)合引理3～引理6及引理1中得到的局部強(qiáng)解,充分地證明了：對(duì)于任意給定的時(shí)間T(0

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HUANG Bingyuan1*, HUANG Jinrui2, XI Yue2

(1. School of Mathematics and Statistics, Hanshan Normal University, Chaozhou 521041, China; 2. School of Mathematics and Computational Science,Wuyi University, Jiangmen 529020, China)

Navier-Stokes-Landau-Lifshitz equations; Cauchy problem; global existence

2016-02-01 《華南師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)》網(wǎng)址：http://journal.scnu.edu.cn/n

國(guó)家自然科學(xué)基金青年科學(xué)基金項(xiàng)目(11401439);國(guó)家自然科學(xué)基金數(shù)學(xué)天元基金項(xiàng)目(11626174)；廣東省教育廳青年創(chuàng)新人才類項(xiàng)目(2015KQNCX095,2016KQNCX103);韓山師范學(xué)院博士啟動(dòng)項(xiàng)目(QD20171002)

*通訊作者:黃丙遠(yuǎn)，副教授，Email:huangby04@126.com.

O175.4

A

1000-5463(2017)06-0113-06

【中文責(zé)編：莊曉瓊 英文審校：葉頎】