■鄭州市第十一中學(xué)1 8 0 5班 曹雪源

類比思想解決立體幾何問題

■鄭州市第十一中學(xué)1 8 0 5班 曹雪源

類比思想是一種十分重要的數(shù)學(xué)思想,對(duì)于高考中出現(xiàn)的立體幾何問題,利用類比可以給我們提供新的思路和方法。利用類比思想解決立體幾何問題的思路:二維平面→三維立體;直線→平面;平面圓→空間球。遵循著這三條路線,可以發(fā)現(xiàn)新結(jié)論,解決新問題。

下面以平面中點(diǎn)到直線的距離公式類比空間點(diǎn)到平面的距離公式為例進(jìn)行說明。

類比1：二維直線方程→三維空間平面方程。平面中直線l的普通方程為A x+B y+C=0,由此類比,空間中平面α的普通方程為A x+B y+C z+D=0。

類比2：平面中點(diǎn)到直線的距離公式→空間中點(diǎn)到平面的距離公式。平面中點(diǎn)P(x0,y0)到直線l:A x+B y+C=0的距離公式為d=,由此類比,空間中點(diǎn)P(x,0y0,z0)到平面α:A x+B y+C z+D=0的距離公式為(此處涉及高數(shù)內(nèi)容,證明略)

例題 (2 0 1 7年文科數(shù)學(xué)卷改編)如圖1,四棱錐PA B C D中,側(cè)面P A D為等邊三角形且垂直于底面A B C D,∠B A D=∠A B C=9 0°。

圖1

(1)證明:直線B C∥平面P A D;

(2)求點(diǎn)B到平面P C D的距離。

解析：(1)因?yàn)椤螧 A D=∠A B C=9 0°,所以B C∥A D且A D?平面P A D,所以B C∥平面P A D。

圖2

(2)解法1:(常規(guī)解法)如圖2,設(shè)A D的中點(diǎn)為E,連接P E,C E,所以四邊形A B C E是邊長為1的正方形,所以因?yàn)椤鱌 A D是正三角形,平面P A D⊥平面A B C D,E為A D的中點(diǎn),所以P E⊥平面A B C D。所以中,由余弦定理得所以點(diǎn)B到平面P C D的距離d解法2:(利用類比公式求解)以A D的中點(diǎn)E為原點(diǎn)建立如圖3所示的空間直角坐標(biāo)系E-x y z。設(shè)平面P C D的方程為A0x+B0y+C0z+D0=0,將點(diǎn)P(0,0,3),C(1,0,0),D(0,1,0)的坐標(biāo)代入得令D0=-3,得A0=B0=3,C0=1,故平面P C D的方程為3x+3y+z-3=0。所以點(diǎn)B(1,-1,0)到平面P C D的距離為d=

圖3

可以看到,立體幾何問題在引入空間直角坐標(biāo)系后,在類比思想的幫助下,點(diǎn)到平面的距離問題迎刃而解。

(責(zé)任編輯 劉鐘華)