■河南省商丘市第一高級中學 張麗芳 李天罡

小知識,撼動大智慧
——二項式定理的靈活妙用

■河南省商丘市第一高級中學 張麗芳 李天罡

縱觀近幾年高考試題,對二項式定理這一內容進行了多層次、全方位的考查。從題型來看,主要有求常數項、特定項、有理項、系數(或二項式系數)最大(或最小)項、整除或余數問題、賦值法求相關代數式的值、綜合應用等;從考查形式來看,多以選擇題和填空題的形式出現。總體來說,歷年來高考對于二項式定理的考查,主要體現為:(1)注重學生對常規(guī)思想、方法和題目的考查,凸顯解題的通性及通法,考查學生對基礎知識的掌握及運用;(2)通過巧妙變形,題目形成了小巧靈活、形式多樣的格局特點,考查學生對所學知識的靈活運用能力;(3)高考題目有些以二項式定理為載體,通過與其他知識的融合,凸顯出向思維能力和計算能力綜合化進行考查的發(fā)展趨勢,以充分體現高考選拔性這一宗旨。

1.二項展開式中的特定項或特定項的系數。

中,第六項為常數項。(1)求n;

(2)求含x2的項的系數;

(3)求展開式中所有的有理項。

解題思路：利用二項式定理直接解決。

方法點撥：(1)解此類題可以分為兩大步完成。第一步,根據所給出的條件和通項公式,建立方程來確定指數;第二步,根據所求的指數,再求所求的項。(2)有理項是字母指數為整數的項。

2.求展開式中各項系數的和。

例2 若(3x-1)7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0。求:

(1)a7+a6+…+a1;

(2)a7+a5+a3+a1,a6+a4+a2+a0。

解題思路：典型的賦值法,分別令x=1與x=-1即可得出結果。

解：(1)令x=0,則a0=-1。

令x=1,則a7+a6+…+a1+a0=27=1 2 8。 ①

所以a7+a6+…+a1=1 2 9。

(2)令x=-1,則-a7+a6-a5+a4-a3+a2-a1+a0=(-4)7。 ②

由①②可得a7+a5+a3+a1=82 5 6,a6+a4+a2+a0=-81 2 8。

方法點撥：“賦值法”普遍適用于恒等式,是一種重要的方法。對于形如(a x+b)n,(a x2+b x+c)m的式子求展開式的各項系數之和,常用賦值法。

3.二項式定理的應用。

例3 (1)已知n∈N*,求1+2+22+23+…+24n-1除以1 7的余數;

(2)求(1.9 9 9)5精確到0.0 0 1的近似值。

圖1

解題思路：(1)利用等比數列求和→含1 7的二項式→求系數。(2)轉化為二項式→展開→求值。

第三項T3=C2523(0.0 0 1)2=0.0 0 00 8<0.0 0 1,所以以后各項的絕對值更小,可以忽略,所以(1.9 9 9

方法點撥：(1)二項式定理的一個重要用途就是做近似計算。當n很大,x 比較小時,(1+x)n=1+n x。(2)利用二項式定理可以證明整除問題或求余數問題,在證明整除問題或求余數問題時要進行合理的變形,使被除式(數)展開后的每一項含有除式的因式,要注意變形的技巧。

二項式定理這個知識點的考查,比較靈活,一般是中低檔題,比較符合我們新課改的要求“讓學生動起來,讓每一個學生成為自己學習的主人”。該部分知識的學習可以使同學們的思維更開闊、更靈活,有助于良好學習習慣的形成。

(責任編輯 王福華)