劉浩翔

摘 要：矩形的廣義逆被廣泛應(yīng)用于不同的學(xué)科領(lǐng)域，在理論和實(shí)踐中都起著十分關(guān)鍵的作用。矩陣的廣義逆在科學(xué)理論基礎(chǔ)上得到發(fā)展，應(yīng)用最多的范圍有：數(shù)值代數(shù)、微積分、電網(wǎng)絡(luò)分析、最優(yōu)化以及測(cè)量學(xué)等方面。本文例舉了廣義逆矩陣在光學(xué)自動(dòng)設(shè)計(jì)、OPDM系統(tǒng)等實(shí)際領(lǐng)域的應(yīng)用。主要對(duì)矩形廣義逆的定義和其性質(zhì)進(jìn)行分析，并從不同方面介紹廣義逆的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：矩陣 廣義逆 求法 應(yīng)用

中圖分類號(hào)：O15 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2017）11（a）-0224-02

矩陣廣義逆是一個(gè)具有很高應(yīng)用價(jià)值的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)，它是數(shù)學(xué)科學(xué)的一個(gè)分支理論。在處理一些有限維空間形式以及數(shù)量關(guān)系時(shí)，研究者們通常會(huì)采用廣義逆矩陣達(dá)到精確處理的目的。隨著信息時(shí)代的腳步越來越快，人們大量使用計(jì)算機(jī)處理技術(shù)問題，這也為矩陣廣義逆理論的發(fā)展和應(yīng)用提供了機(jī)遇。矩陣廣義逆目前應(yīng)用于系統(tǒng)辨識(shí)，控制論，規(guī)劃論，測(cè)量，計(jì)量學(xué)和統(tǒng)計(jì)學(xué)等多方面。

1 矩陣廣義逆的定義

（1）A是任意重復(fù)的矩陣，如果存在一個(gè)Y能夠滿足一個(gè)Moore—Penroce方程，且該方程滿足以下條件：AYA=A，YAY=Y，（AY）=YA，（YA）Y=A。

此時(shí)，我們把Y稱為A的一個(gè)Moore-Penroce廣義逆，也可以簡(jiǎn)稱為A的加號(hào)逆，記為Y=A。

如果這個(gè)Y不能滿足以上所有條件，而只能夠滿足其中部分條件，就把它記作A的某幾條廣義逆。當(dāng)該Y能夠滿足條件AYA=A時(shí)，我們把它稱作A的{1}廣義逆，也可以簡(jiǎn)稱為A的減號(hào)逆；當(dāng)該Y能夠同時(shí)滿足條件AYA=A和YAY=Y時(shí)，我們就把Y稱作A的{1，2}廣義逆，即Y=A{1，2}∈A{1，2}。

（2）我們把A設(shè)為一個(gè)m行n列的矩陣，如果Bij的級(jí)數(shù)等于Aij，就有A+B=（Aij+Bij）rxr。

（3）設(shè)A為一個(gè)m行n列的矩陣，如果/A/≠0，我們稱A為廣義非奇異矩陣，相反地，如果/A/=0，我們就說A是一個(gè)廣義奇異矩陣。

2 矩陣廣義逆的應(yīng)用

矩陣廣義逆應(yīng)解方程組的解題需要而出現(xiàn)，最早可以追溯到上世紀(jì)初，科學(xué)家學(xué)者在對(duì)于積分運(yùn)算時(shí)研究得到積分算子的廣義逆，而后不斷有學(xué)者將其推廣和發(fā)展，在發(fā)展過程中，廣義逆矩陣的應(yīng)用范圍也逐步擴(kuò)展，到今天為止，廣義逆矩陣以廣泛應(yīng)用于許多領(lǐng)域。

2.1 廣義逆矩陣應(yīng)用于估計(jì)OPDM系統(tǒng)信道

OPDM系統(tǒng)是一種同時(shí)兼具時(shí)域和頻域兩種信號(hào)的多載波系統(tǒng)，時(shí)域和頻域這兩種信號(hào)在數(shù)學(xué)領(lǐng)域都可以用序列符號(hào)來表示，所以對(duì)于這種序列形式的處理，我們可以把它看成是對(duì)于數(shù)學(xué)矩陣的運(yùn)算，也正是因?yàn)镺PDM系統(tǒng)的這個(gè)特點(diǎn)，在處理OPDM系統(tǒng)問題時(shí)，可以使用矩陣廣義逆的相關(guān)理論基礎(chǔ)來進(jìn)行研究和解答。在解決OPDM系統(tǒng)問題時(shí)，應(yīng)用了矩形廣義逆的一個(gè)重要的理論作為基礎(chǔ)：時(shí)域的卷積可以用矩陣向量的乘積來表示，而此時(shí)的時(shí)域序列就成為了矩陣乘積，我們就可以通過對(duì)矩陣廣義逆的分析來進(jìn)行對(duì)實(shí)際問題的解決。在對(duì)矩陣向量的推導(dǎo)過程中有以下公式：HT=H1TH2，通過上文我們得出的理論基礎(chǔ)與該公式相結(jié)合可以達(dá)到實(shí)際解決該問題的目的。矩陣廣義逆在OPDM系統(tǒng)中的應(yīng)用，不僅方便了OPDM的運(yùn)行，也為人們對(duì)信道和信號(hào)等領(lǐng)域的研究和新理論應(yīng)用的研究開拓了新的方面，合理使用廣義逆對(duì)多領(lǐng)域有著很重要的輔助意義。

2.2 矩陣廣義逆應(yīng)用在光學(xué)自動(dòng)設(shè)計(jì)

光學(xué)自動(dòng)設(shè)計(jì)是建立在物理科學(xué)基礎(chǔ)上的，在光學(xué)的應(yīng)用方面發(fā)展起來的一個(gè)新型物理技術(shù)設(shè)計(jì)概念。光學(xué)自動(dòng)設(shè)計(jì)對(duì)光學(xué)系統(tǒng)有兩方面的要求：（1）光學(xué)特性；（2）成像品質(zhì)。作為光學(xué)理論的衍生設(shè)計(jì)，光學(xué)設(shè)計(jì)問題從數(shù)學(xué)角度來看就是要建立和求解一個(gè)像差方程組，這個(gè)過程就是根據(jù)系統(tǒng)要求的像差值從像差方程組：f1（x1，.......xn）=F1 fm（x1........xm）=Fm中找出所要求的解：x1.......xn，這就是我們要求得結(jié)構(gòu)參數(shù)。在實(shí)際上，找不到函數(shù)的具體形式，只有在給出了系統(tǒng)參數(shù)時(shí)才能夠用計(jì)算數(shù)值的方法求得所要的函數(shù)值。

在光學(xué)透鏡的自動(dòng)設(shè)計(jì)過程中，研究者發(fā)現(xiàn)了其中存在的兩方面的問題：（1）如何處理解決病態(tài)矩陣；（2）怎樣消除和消退像差對(duì)透鏡自動(dòng)設(shè)計(jì)的影響。這兩個(gè)問題使用其他數(shù)學(xué)方法都很難有效解決，這時(shí)候矩陣的廣義逆的使用就能夠?qū)@兩方面的問題統(tǒng)一進(jìn)行處理，無需分開下手，能夠高效解決問題。在實(shí)際處理光學(xué)自動(dòng)設(shè)計(jì)問題時(shí)，我們常將廣義逆矩陣與阻尼最小二乘法以及正交化法等數(shù)學(xué)方法進(jìn)行合理地結(jié)合，使問題處理事半功倍。除了這兩種結(jié)合方式，適當(dāng)?shù)厥褂靡恍?shù)學(xué)算法，計(jì)算程序以及邏輯關(guān)系，可以使我們?cè)谔幚磉^程中減少一些不必要的計(jì)算和轉(zhuǎn)化，能夠更加高效、科學(xué)地對(duì)光學(xué)自動(dòng)設(shè)計(jì)問題進(jìn)行處理。這也增強(qiáng)了矩陣廣義逆的實(shí)用性。

2.3 矩陣廣義逆應(yīng)用在嵌入式大氣數(shù)據(jù)傳感系統(tǒng)中的應(yīng)用

眾所周知，大氣數(shù)據(jù)傳感系統(tǒng)是一種對(duì)大氣數(shù)據(jù)進(jìn)行綜合的、高精度的提供的信息系統(tǒng)。嵌入式大氣系統(tǒng)的使用對(duì)大氣觀測(cè)和人類生活有十分重要的意義。而一個(gè)大氣數(shù)據(jù)傳感系統(tǒng)由多個(gè)軟件和結(jié)構(gòu)組成，對(duì)數(shù)據(jù)的運(yùn)算就顯得非常重要了。矩陣的廣義逆在嵌入式大氣數(shù)據(jù)傳感系統(tǒng)中的應(yīng)用十分必要。矩陣的廣義逆可以處理嵌入式大氣處理系統(tǒng)的數(shù)據(jù)算法，可以對(duì)系統(tǒng)算法進(jìn)行合理的改進(jìn)和設(shè)計(jì)，以此達(dá)到實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)簡(jiǎn)化，減少系統(tǒng)運(yùn)行負(fù)擔(dān)的目的。系統(tǒng)處理人員將系統(tǒng)的靜壓、參數(shù)等方面的問題進(jìn)行算法改進(jìn)，這些都必須要以Moore-Penrose廣義逆矩陣作為運(yùn)算和改進(jìn)的基礎(chǔ)。使用矩陣的廣義逆還可以對(duì)大氣數(shù)據(jù)傳感系統(tǒng)進(jìn)行收斂性分析，運(yùn)算過程精簡(jiǎn)，算法明晰。得到的數(shù)值可以通過其他軟件進(jìn)行數(shù)字的檢驗(yàn)，通過對(duì)大氣數(shù)據(jù)傳感系統(tǒng)的矩陣的廣義逆和數(shù)字檢測(cè)軟件的聯(lián)合應(yīng)用，可以發(fā)現(xiàn)，這種算法改進(jìn)具有積極意義和高實(shí)現(xiàn)性，一些矩陣的廣義逆的求解過程可以被省略，這種方式大大減少了實(shí)際計(jì)算量。矩陣的廣義逆的選代過程被減少，實(shí)際操作起來也可以大大節(jié)省計(jì)算時(shí)間。在相同的計(jì)算時(shí)間下，可以完成更多的任務(wù)，同樣的，在保證相同精確度計(jì)算的同時(shí)，所用的時(shí)間相對(duì)較少。這一發(fā)現(xiàn)也為我們將廣義逆應(yīng)用在其他領(lǐng)域開發(fā)了新道路，即可以將廣義逆理論與其他算法和軟件相結(jié)合，以達(dá)到高速、高效的目的。

3 結(jié)語(yǔ)

綜上所述，廣義逆作為一種數(shù)學(xué)算法，具有很高的應(yīng)用性，除了對(duì)數(shù)學(xué)矩陣的計(jì)算還可以對(duì)其他應(yīng)用領(lǐng)域的一些系統(tǒng)和數(shù)值進(jìn)行方程運(yùn)算，廣義逆矩陣的求解過程有很多種，廣義逆的類型也不盡相同，本文列舉了其中幾個(gè)命題和推論過程，并舉例說明在一些實(shí)際應(yīng)用領(lǐng)域?qū)V義逆矩陣的使用，以及廣義逆矩陣在應(yīng)用中所能達(dá)到的運(yùn)算目的。除了本文列舉的幾個(gè)應(yīng)用領(lǐng)域，廣義逆矩陣還常被應(yīng)用在一些方案修改、線性方程組的研究、離散型動(dòng)態(tài)投入產(chǎn)出模型的求解、PADE的pfaftan的計(jì)算公式的推導(dǎo)等方面。這些方面的應(yīng)用體現(xiàn)了廣義逆矩陣所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)理論和科學(xué)性以及數(shù)學(xué)美的體現(xiàn)。

參考文獻(xiàn)

[1] 李新芳，王秀梅.置換矩陣的Kronecker積的性質(zhì)[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2009（24）：117.

[2] 崔艷，朱靈，孔翔.置換因子循環(huán)線性系統(tǒng)求解的快速算法[J].寧波大學(xué)學(xué)報(bào)：理工版，2008（4）：89-90.

[3] 何承源，羅新建，胡明.鱗狀因子循環(huán)矩陣方程解的條件與求解的快速算法[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2007（3）：157.endprint