程云

[摘? 要] 數(shù)學(xué)教師要善于用問題串來搭建學(xué)生探索的橋梁，本文分析了高中數(shù)學(xué)問題串設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，探討了問題串設(shè)計(jì)過程中必須把握的幾個(gè)“度”，并結(jié)合案例分析了問題串設(shè)計(jì)的基本策略.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);問題串設(shè)計(jì);結(jié)構(gòu)特點(diǎn);策略分析

學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)理論的探索源于問題，但是如果我們的課堂僅僅只是為學(xué)生提供一個(gè)核心問題，這顯然是不夠的. 畢竟學(xué)生的探究能力尚待發(fā)展，他們的認(rèn)知基礎(chǔ)和目標(biāo)問題之間必然存在一條巨大的鴻溝，因此教師要對(duì)問題進(jìn)行分解，通過問題串來引導(dǎo)學(xué)生展開分析和探索.

問題串設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)

結(jié)合高中教學(xué)的基本特點(diǎn)，筆者認(rèn)為我們的問題串設(shè)計(jì)應(yīng)該在結(jié)構(gòu)上有以下特點(diǎn).

1. 問題串設(shè)計(jì)的聯(lián)系性

問題串首先應(yīng)該是一個(gè)問題組合，它是針對(duì)某種數(shù)學(xué)概念、方法和思想搭建起來的存在邏輯關(guān)系和內(nèi)在關(guān)聯(lián)的問題系列，這一突出的特點(diǎn)即表現(xiàn)為問題串之間的聯(lián)系性.

2. 問題串設(shè)計(jì)的層次性

問題串不僅是揭示數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)理論的工具，更是引領(lǐng)學(xué)生逐步深入探究數(shù)學(xué)理論內(nèi)涵的橋梁，因此問題串應(yīng)該呈現(xiàn)一定的層次性，它應(yīng)該匹配學(xué)生認(rèn)知不斷推進(jìn)的節(jié)奏.

3. 問題串設(shè)計(jì)的漸進(jìn)性

問題串設(shè)計(jì)中的每一個(gè)情境都應(yīng)該在保持本質(zhì)特點(diǎn)不變的前提下，使得事物的非本質(zhì)特點(diǎn)發(fā)生不斷地遷移. 為了有效啟發(fā)學(xué)生按照正確的思路進(jìn)行探索，并且讓學(xué)生產(chǎn)生有效理解，問題串的設(shè)計(jì)應(yīng)該呈現(xiàn)漸進(jìn)式.

把握問題串設(shè)計(jì)的幾個(gè)“度”

教師在設(shè)計(jì)問題串時(shí)一定要注意梯度和密度，如果梯度太大，或密度太小，都可能造成學(xué)生思考上的斷層，這將嚴(yán)重影響教學(xué)的推進(jìn);反之，如果梯度太小，或密度太大，則學(xué)生的思維力度不強(qiáng)，這也就失去了提問的意義.

教師其次還要把握好問題串的啟示程度和暗示程度，如果這一塊的程度不到位，這很容易造成課堂氛圍壓抑，學(xué)生的學(xué)習(xí)效率將大打折扣.

最后，教師還要注意問題串設(shè)計(jì)的開放度和封閉度，如果問題太過開放，則學(xué)生的探究將失去準(zhǔn)心，這會(huì)降低學(xué)生的探索效率，將導(dǎo)致課堂時(shí)間的浪費(fèi);如果問題太過封閉，則學(xué)生的創(chuàng)新思維將被抑制，長(zhǎng)期看來這將不利于學(xué)生的發(fā)展.

問題串的設(shè)計(jì)策略分析

我們以問題串來引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行探索，其目的就是拓展學(xué)生認(rèn)知的廣度，讓學(xué)生能夠多層次地推進(jìn)認(rèn)知進(jìn)程，并尋求問題解決的不同途徑. 教學(xué)實(shí)踐中，筆者認(rèn)為數(shù)學(xué)教學(xué)的問題串設(shè)計(jì)可以在以下方面著力打磨.

1. 問題串設(shè)計(jì)應(yīng)有明確的目標(biāo)意識(shí)

我們的教學(xué)目標(biāo)一般是以知識(shí)和能力作為核心的目標(biāo)，問題串的設(shè)計(jì)尤其要關(guān)注這一方面目標(biāo)的達(dá)成. 須知，數(shù)學(xué)問題的探索是沒有邊界的，但是在一節(jié)課，或一個(gè)模塊的學(xué)習(xí)過程中，我們對(duì)問題串的設(shè)計(jì)應(yīng)該始終以本節(jié)課的目標(biāo)為限度，不能無限制的延伸.

案例：“等比數(shù)列”的定義引入.

問題一：中國有句古語：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭. ”你如何從現(xiàn)代文的角度來理解？如果將“一尺之棰”視作“1”，那么通過“日取其半”的操作，能形成怎樣的數(shù)列？

設(shè)計(jì)意圖：以上問題就是讓學(xué)生從“日取其半”的特點(diǎn)來發(fā)現(xiàn)等比數(shù)列.

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生明確“日取其半”的數(shù)學(xué)含義，進(jìn)而啟發(fā)學(xué)生表達(dá)出對(duì)應(yīng)的數(shù)列.

問題二：取出一張紙來進(jìn)行對(duì)折，然后再進(jìn)行對(duì)折，如此繼續(xù)，你能依次列舉出經(jīng)過對(duì)折處理后的紙張厚度嗎？

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生在實(shí)驗(yàn)操作中發(fā)現(xiàn)等比數(shù)列.

師生活動(dòng)：教師鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行實(shí)踐操作，并在操作中完成思考，寫出數(shù)列，形成結(jié)論.

問題三：現(xiàn)在的電腦病毒非常猖獗，你能通過數(shù)列表達(dá)出每一輪被病毒感染的電腦臺(tái)數(shù)嗎？

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行探索，并通過建模操作完成等比數(shù)列的發(fā)現(xiàn).

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步明確“每一輪感染10臺(tái)電腦”中所隱含等比數(shù)列的關(guān)系，學(xué)生結(jié)合這一規(guī)律完成數(shù)列的建立.

問題四：（教師展示某些典型的數(shù)列）請(qǐng)觀察并研究這些數(shù)列，分析它們之間所對(duì)應(yīng)的關(guān)系，請(qǐng)和等差數(shù)列進(jìn)行類比，明確上述數(shù)列所存在的共同特征.

設(shè)計(jì)意圖：發(fā)現(xiàn)數(shù)列之間的等比關(guān)系，并引導(dǎo)學(xué)生對(duì)等比數(shù)列的概念進(jìn)行歸納.

師生互動(dòng)：教師組織學(xué)生對(duì)數(shù)列進(jìn)行觀察，并要求學(xué)生分組討論數(shù)列的共性特點(diǎn)，然后再啟發(fā)學(xué)生通過對(duì)等差數(shù)列進(jìn)行類比，由此實(shí)現(xiàn)等比數(shù)列概念的歸納.

案例評(píng)析：上述四個(gè)問題構(gòu)成的問題串，從不同的角度圍繞等比數(shù)列的概念建構(gòu)這一大目標(biāo)來對(duì)學(xué)生施以啟發(fā)性的影響. 第一個(gè)問題以古語來創(chuàng)設(shè)情境，有助于數(shù)學(xué)課堂文化氛圍的營造，同時(shí)其等比數(shù)列的形式也很明確;第二問題側(cè)重于實(shí)驗(yàn)操作，讓學(xué)生在手腦并用的過程中體驗(yàn)概念的形成過程;第三個(gè)問題源于生活化的數(shù)學(xué)情境，在幫助學(xué)生建立概念的同時(shí)，也訓(xùn)練學(xué)生的建模思維;第四個(gè)問題則著重發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力，由學(xué)生結(jié)合對(duì)已學(xué)概念的類比以及有關(guān)實(shí)例的分析，最終完成等比數(shù)列概念的自我建構(gòu).

2. 問題串的設(shè)計(jì)應(yīng)有效吸引學(xué)生的參與

學(xué)生的參與度在很大程度上影響著學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，為了提升學(xué)生的參與度，教師在設(shè)計(jì)問題串時(shí)務(wù)必要注意層次性，這樣的處理可以讓不同層次的學(xué)生都能積極地參與其中，享受數(shù)學(xué)探索和思考的樂趣.

案例：“二項(xiàng)式定理”的推導(dǎo).

問題一：乘積（a1+a2+a3）（b1+b2+b3）（c1+c2+c3+c4+c5）展開之后，一共有多少項(xiàng)？

生：3×3×5項(xiàng).

師：請(qǐng)說明你的思考過程.

生：從每一個(gè)括號(hào)中取出一個(gè)字母，構(gòu)成一項(xiàng)，每一個(gè)括號(hào)中的項(xiàng)數(shù)乘積就是徹底展開之后的總項(xiàng)數(shù).

師：這個(gè)思路很正規(guī). 請(qǐng)大家再想想，如果將（a+b）n展開之后有多少項(xiàng)呢？

生：2n.

問題二：（a+b）2=a2+2ab+b2，（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3，這里兩個(gè)式子所展開的項(xiàng)數(shù)與上述結(jié)論不一樣，為什么？

生：因?yàn)檎归_之后還進(jìn)行了合并同類項(xiàng)的操作，我們之前討論時(shí)，沒有區(qū)分是合并同類項(xiàng)之前的項(xiàng)數(shù)，還是合并同類項(xiàng)之后的項(xiàng)數(shù).

問題三：請(qǐng)同學(xué)們計(jì)算一下（a+b）4=？

生：（a+b）4=（a+b）3（a+b）=（a3+3a2b+3ab2+b3）（a+b）=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4.

師：上述展開式中是否存在一些特殊的規(guī)律？通過對(duì)比，你能發(fā)現(xiàn)什么？

生：我們首先可以看到次數(shù)的特點(diǎn)，（a+b）2=a2+2ab+b2是齊二次;（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3是齊三次，（a+b）4最后的展開結(jié)果是齊四次.

問題四：如果將（a+b）n展開，那么會(huì)是齊幾次，為什么？

生：應(yīng)該是齊n次，因此從每一項(xiàng)中都要提出一個(gè)字母來進(jìn)行乘法運(yùn)算，有n個(gè)括號(hào)，那么就有n個(gè)字母要相乘.

師：除了次數(shù)的特點(diǎn)，你們還能發(fā)現(xiàn)什么？

生：可以看到項(xiàng)數(shù)上的特點(diǎn)，（a+b）2=a2+2ab+b2展開后是三項(xiàng);（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3展開后是四項(xiàng)，（a+b）4最后的展開結(jié)果是5項(xiàng).

問題五：如果將（a+b）n展開，那么會(huì)是幾項(xiàng)，為什么？

生：應(yīng)該是n+1項(xiàng)，這可以從展開式中b的次數(shù)找到規(guī)律，即分別是0，1，2，…，n，因此一共是n+1項(xiàng).

師：除了次數(shù)、項(xiàng)數(shù)等特點(diǎn)，最后的問題自然就是系數(shù)了，怎么來確定系數(shù)呢？即（a+b）n=（？）an+（？）an-1b+（？）an-2b2+…+（？）abn-1+（？）bn.

問題六：請(qǐng)整理并總結(jié)二項(xiàng)式定理.

案例評(píng)析：以上設(shè)計(jì)中，我們通過學(xué)生最熟悉的（a+b）2和（a+b）3入手，逐步引導(dǎo)學(xué)生分析并探索（a+b）n展開的基本特點(diǎn). 一系列問題串的設(shè)計(jì)，都在不斷地啟發(fā)學(xué)生關(guān)注展開式的次數(shù)、項(xiàng)數(shù)、系數(shù)等特點(diǎn)，由此來引導(dǎo)學(xué)生逐步深入地到達(dá)最終的結(jié)論. 這樣的處理不僅有助于學(xué)生認(rèn)知結(jié)論的基本特點(diǎn)，方便他們進(jìn)行理解和記憶，也有助于學(xué)生掌握相應(yīng)的探究方法.

充滿溝通與對(duì)話的課堂往往就是依托于問題來建構(gòu)的，問題串的引入將師生之間的溝通串聯(lián)起來，有效的問題串設(shè)計(jì)能夠?yàn)閷W(xué)生的發(fā)展起到最好的引導(dǎo)作用和啟發(fā)作用.