鐘秋紅

絕對(duì)值的知識(shí)是初中代數(shù)的重要內(nèi)容，在中考和各類競(jìng)賽中經(jīng)常出現(xiàn)，含有絕對(duì)值符號(hào)的數(shù)學(xué)問題又是學(xué)生遇到的難點(diǎn)之一，解決這類問題的方法通常利用絕對(duì)值的意義，將絕對(duì)值符號(hào)化去，將其轉(zhuǎn)化為不含絕對(duì)值的問題.確定絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)部分的正負(fù)，借此去掉絕對(duì)值符號(hào)的方法大致有以下幾種.

一、含有一個(gè)絕對(duì)值符號(hào)的化簡(jiǎn)題

（一）已知未知數(shù)的取值或取值范圍進(jìn)行化簡(jiǎn)

如，當(dāng)x>3時(shí)，化簡(jiǎn)|2x-3|+2x（根據(jù)絕對(duì)值的意義直接化簡(jiǎn)）.

解原式=2x-3+2x=4x-3.

（二）沒有告訴未知數(shù)的取值或取值范圍進(jìn)行化簡(jiǎn)

如，化簡(jiǎn)|x-3|+2x（必須進(jìn)行討論）.

我們把使絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)的代數(shù)式為0的未知數(shù)的值叫作界值，顯然絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)代數(shù)式是x-3，使x-3=0的未知數(shù)的值是3，所以我們把3叫作此題的界值，確定了界值后，我們就把它分成三種情況進(jìn)行討論.

（1）當(dāng)x>3時(shí)，則x-3>0是一個(gè)正數(shù)，則它的絕對(duì)值應(yīng)是它本身，∴原式=x-3+2x=3x-3.

（2）當(dāng)x=3時(shí)，則x-3=0，而0的絕對(duì)值為0，∴原式=0+2x=2x或|x-3|+2x=0+2×3=6.

（3）當(dāng)x<3時(shí)，則x-3<0，是一個(gè)負(fù)數(shù)，而負(fù)數(shù)的絕對(duì)值應(yīng)是它的相反數(shù)，∴原式=-（x-3）+2x=-x+3+2x=x+3.

二、含有兩個(gè)絕對(duì)值符號(hào)的化簡(jiǎn)題

1.已知未知數(shù)的取值或取值范圍，進(jìn)行化簡(jiǎn)也應(yīng)根據(jù)絕對(duì)值的意義直接化簡(jiǎn).

如，當(dāng)x<-5時(shí)，化簡(jiǎn)|2x-7|+|5x|.

解原式=-（2x-7）+（-5x）=-2x+7-5x=-7x+7.

2.沒有告訴未知數(shù)的取值或取值范圍進(jìn)行化簡(jiǎn)也必須進(jìn)行討論

如，化簡(jiǎn)|x+2|+|3x-1|.

|x+2|的界值為-2，|3x-1|的界值為13.

所以對(duì)此類化簡(jiǎn)題，我們?nèi)詮娜齻€(gè)方面進(jìn)行討論.

解（1）當(dāng)x>13時(shí)（界值-2，13中13為較大界值，討論的第（1）種情況為大于大的界值）.

原式=（x+2）+（3x-1）=x+2+3x-1=4x+1.

（2）當(dāng)x<-2時(shí)，（第（2）種情況為小于小的界值）

原式=-（x+2）+[-（3x-1）]=-x-2-3x+1=-4x-1.

（3）當(dāng)-2<x<13時(shí)（第（3）種情況為大于小的界值小于大的界值）

原式=x+2+[-（3x-1）]=x+2-3x+1=-2x+3.

三、數(shù)形結(jié)合絕對(duì)值化簡(jiǎn)題

如，有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示，試化簡(jiǎn)：|2a-b|+|b-c|-|c-3a|.

解由a，b，c在數(shù)軸上的位置可知a<0，b>0，c<0且c<a，c>3a，2a<b.

∴原式=-（2a-b）+（b-c）-（c-3a）=-2a+b+b-c-c+3a=a+2b-2c.

綜上所述，含有絕對(duì)值符號(hào)的化簡(jiǎn)題，如已確定某些未知數(shù)的取值，就按這個(gè)未知數(shù)的取值根據(jù)絕對(duì)值的意義去掉絕對(duì)值符號(hào)，進(jìn)而化簡(jiǎn).如沒有告訴某些未知數(shù)的取值或取值范圍，那么就找出這個(gè)絕對(duì)值（或兩個(gè)絕對(duì)值）符號(hào)內(nèi)的界值，然后分三種情況進(jìn)行討論.

四、絕對(duì)值性質(zhì)化簡(jiǎn)問題

若abc≠0，則a|a|+b|b|+c|c|的所有可能值是什么？

解∵abc≠0，∴a≠0，b≠0，c≠0.

（1）當(dāng)a，b，c均大于0時(shí)，原式=3.

（2）當(dāng)a，b，c均小于0時(shí)，原式=-3.

（3）當(dāng)a，b，c中有兩個(gè)大于0，一個(gè)小于0時(shí)，原式=1.

（4）當(dāng)a，b，c中有兩個(gè)小于0，一個(gè)大于0時(shí)，原式=-1.

∴a|a|+b|b|+c|c|所有可能的值為±3，±1.

本題的解法是采用把a(bǔ)，b，c中大于0與小于0的個(gè)數(shù)分情況加以解決的，這種解法叫作分類討論法，它在解決絕對(duì)值問題時(shí)很常用.

例已知|a-1|+|ab-2|=0，求1ab+1（a+1）（b+1）+1（a+2）（b+2）+…+12017×2018.

解∵|a-1|+|ab-2|=0，∴|a-1|=0，|ab-2|=0，即a=1，b=2.

∴原式=11×2+12×3+13×4+…+12017×2018=1-12+12-13+13-14+…+12017-12018=1-12018=20172018.

互為相反數(shù)的絕對(duì)值相等，任何一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值都是非負(fù)數(shù).運(yùn)用這些性質(zhì)可以去掉絕對(duì)值符號(hào).

五、關(guān)于絕對(duì)值的最值問題

已知y=|2x+6|+|x-1|-4|x+1|，求y的最大值.

分析首先使用“零點(diǎn)分段法”將y化簡(jiǎn)，然后在各個(gè)取值范圍內(nèi)求出y的最大值，再加以比較，從中選出最大者.

解有三個(gè)分界點(diǎn)：-3，1，-1.

（1）當(dāng)x≤-3時(shí)，y=-（2x+6）-（x-1）+4（x+1）=x-1，

∵x≤-3，∴y=x-1≤-4，y的最大值是-4.

（2）當(dāng)-3≤x≤-1時(shí)，y=（2x+6）-（x-1）+4（x+1）=5x+11，

∵-3≤x≤-1，∴-4≤5x+11≤6，y的最大值是6.

（3）當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，y=（2x+6）-（x-1）-4（x+1）=-3x+3，

∵-1≤x≤1，∴0≤-3x+3≤6，y的最大值是6.

（4）當(dāng)x≥1時(shí)，y=（2x+6）+（x-1）-4（x+1）=-x+1，

∵x≥1，∴1-x≤0，y的最大值是0.

綜上可知，當(dāng)x=-1時(shí)，y取得最大值，為6.

小結(jié)：絕對(duì)值是中學(xué)數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的概念，不僅是有理數(shù)運(yùn)算的基礎(chǔ)，還可以深化認(rèn)識(shí)有理數(shù).它具有非負(fù)性，在數(shù)學(xué)中有廣泛應(yīng)用.因而，學(xué)好絕對(duì)值性質(zhì)的應(yīng)用顯得尤為重要.