何隆迪

【摘要】普通高中數(shù)學課程標準指出：“數(shù)學是研究空間形式和數(shù)量關系的科學.”數(shù)形結合思想將代數(shù)與幾何聯(lián)系起來，是中學數(shù)學中非常重要的思想.本文將介紹含絕對值不等式的幾何意義及運用幾何意義解含絕對值的不等式.

【關鍵詞】絕對值;不等式;幾何意義;數(shù)形結合

絕對值不等式是選修4-5中的內容，解含絕對值的不等式的核心思想是去絕對值符號，通過同解變形，將絕對值不等式轉化為一般不等式，再運用不等式的基本性質來求解.常見的解題方法有：定義法、零點分段法、平方法、圖像法、公式法等.課程標準對本專題給出了如下目標：會利用絕對值的幾何意義求解以下類型的不等式：

① |ax+b|≤c，② |ax+b|≥c，③ |x-c|+|x-b|≥a.

利用絕對值的幾何意義解上述類型的不等式，很好地避免了代數(shù)方法的多種分類討論，簡潔又高效.為把握高考題型，明確考點，筆者將結合近年高考真題，具體談談什么是絕對值的幾何意義及如何用幾何意義來解絕對值不等式.

一、絕對值的幾何意義

我們知道：“正數(shù)的絕對值等于它本身，0的絕對值還是0，負數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)”，用符號表示為：

|a|=a，當a>0時，

0，當a=0時，

-a，當a<0時.

這里在去掉|a|中的絕對值符號時分了三種情況，若記a為數(shù)軸上點A表示的數(shù)，則|a|就表示點A與原點O之間的距離，當點A在原點右邊時，距離為正，為a;當點A與原點重合時，距離為0;當點A在原點左邊時，距離為正，為-a.如上圖所示，一條數(shù)軸解決三種分類.

顯然，一個實數(shù)的絕對值的幾何意義為：在數(shù)軸上表示這個數(shù)的點與原點之間的距離.

對于多項式的絕對值，也可以在數(shù)軸上用距離表示：|x-a|即為數(shù)軸上表示x的點與表示a的點之間的距離，如圖所示，結果為右邊點表示的數(shù)減去左邊點表示的數(shù).對于形如|x-a|的式子，可通過等價變形|x+a|=|x-（-a）|表示為x與-a之間的距離.

二、幾種不同類型的絕對值不等式的解法

（一）|ax+b|≤c型

例1（2016·上海）設x∈R，求不等式|x-3|<1的解集.

本題不等式中只有一個絕對值，|x-3|的幾何意義為數(shù)軸上表示x的點與表示3的點之間的距離，不等式要求距離小于1，需要先在數(shù)軸上找到與表示3的點距離等于1的關鍵點，這樣的點有兩個，3左邊一個為2，3右邊一個為4，如圖所示，到3的距離小于1的所有點均落在2與4之間（不包括2，4）.所以不等式的解集為{x|2<x<4}.

（二）|ax+b|≥c型

例2求不等式|3-2x|≥5的解集.

絕對值符號里是多項式，x的系數(shù)不為±1，所以先對不等式作等價變形為：3/2-x≥5/2，在數(shù)軸上找到與3/2距離恰好為5/2的兩個關鍵點，分別為-1和4，問題就迎刃而解了，我們需要找的是距離大于或等于5/2，所以點在-1的左邊或4的右邊（包括-1和4），解集為{x|x≤-1或x≥4}.

（三）|x-c|+|x-b|≥a型

例3（2014·廣東）求不等式|x-1|+|x+2|≥5的解集.

兩個絕對值相加表示距離之和，要用幾何意義解此類含有兩個絕對值的不等式，和只含一個絕對值的不等式一樣，都應在數(shù)軸上找到關鍵點.

本題中，關鍵點為-2，1，不等式表示與-2，1這兩點距離之和大于等于5，-2，1這兩點把數(shù)軸分成了3段，在-2和1之間的任意點，到這兩點距離之和均為定值3，所以在-2左邊以及1的右邊繼續(xù)尋找與-2和1距離之和等于5的兩個關鍵點，容易得出關鍵點為-3和2.我們要求的是距離之和大于等于5，滿足要求的點落在-3左邊和2的右邊（包括-3和2），不等式的解集為{x|x≤-3或x≥2}.

利用幾何意義，省去了代數(shù)法去絕對值的分段討論，直觀又形象.

（四）|x-c|+|x-b|≤a型

例4（2016·新課標Ⅱ）函數(shù)f（x）=x-1/2+x+1/2，求不等式f（x）<2的解集.

本題要解的不等式為x-1/2+x+1/2<2，與例3類似，為兩個絕對值相加，需要找出到點1/2與-1/2距離之和小于2的所有點，1/2與-1/2這兩點把數(shù)軸分成了3段，在1/2與-1/2之間的任意點，到這兩點距離之和均為定值1，滿足題目要求，接著在-1/2的左邊與1/2的右邊繼續(xù)尋找與12和-12的距離之和等于2的兩個關鍵點，容易得出關鍵點為-1和1.我們要求的是距離之和小于2，滿足要求的點落在-1和1之間（不包括-1和1），不等式解集為{x|-1<x<1}.