張安軍

【摘要】2017年臺州市中考數(shù)學試題命制一道實驗型壓軸題，本題背景新穎，梯度合理；凸顯核心素養(yǎng)，凸顯能力考查.對試題進行探源，用幾何的方法求一元二次方程的根，古希臘數(shù)學家歐幾里得、阿拉伯數(shù)學家花拉子密、中國古代數(shù)學家趙爽給出了不同的解法.注重實驗操作背后質(zhì)疑和求證，培養(yǎng)理性思維；重視實驗過程中活動經(jīng)驗的積累，提升數(shù)學思想方法.

【關(guān)鍵詞】實驗型試題；特色欣賞；試題探源；課堂教學

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》指出：“學生學習應當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程.認真聽講、積極思考、動手實踐、自主探索、合作交流等，都是學習數(shù)學的重要方式.學生應當有足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程.”為了貫徹課程標準的理念，檢測理念的落實情況，正確引導日常的教學，發(fā)揮中考應有教學導向功能.2017年浙江省臺州市中考數(shù)學試題的第24題（壓軸題）命制一道實驗型試題，本題既具有實驗型試題所特有的實驗探索的特點，又具有探究型試題所側(cè)重的“能力探究”的立意特色.本題要求學生在閱讀理解的基礎上，讓學生經(jīng)歷實驗操作、計算、推理、驗證，借助于實驗，探究并解決問題，實質(zhì)上是將課題學習、數(shù)學活動過程、數(shù)學思考等考察目標融入其中[1].側(cè)重“做數(shù)學”和“數(shù)學化”過程與能力的考察，本試題在“創(chuàng)設問題情境、內(nèi)涵豐富、側(cè)重理性思維、注重過程與方法滲透”這方面做了有益的嘗試和探索，試題引起的反響也給我們留下了許多有益的思考.

1試題呈現(xiàn)及簡述

題目（原試題中的第24題）在平面直角坐標系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的實數(shù)根.比如對于方程x2-5x+2=0，操作步驟是：

第一步：根據(jù)方程的系數(shù)特征，確定一對固定點A（0，1），B（5，2）；

第二步：坐標平面中移動一個直角三角板，使一條直角邊恒過點A，另一條直角邊恒過點B；

第三步：在移動過程中，當三角板的直角頂點落在x軸上點C處時，點C的橫坐標m即為該方程的一個實數(shù)根（如圖1）；

第四步：調(diào)整三角板直角頂點的位置，當它落在x軸上另一點D處時，點D的橫坐標n即為該方程的另一個實數(shù)根.

（2）結(jié)合圖1，請證明“第三步”操作得到的m就是方程x2-5x+2=0的一個實數(shù)根；

（3）上述操作的關(guān)鍵是確定兩個固定點的位置.若要以此方法找到一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，b2-4ac≥0）的實數(shù)根，請你直接寫出一對固定點的坐標；

（4）實際上，（3）中的固定點有無數(shù)對.一般地，當m1，n1，m2，n2與a，b，c之間應該滿足怎樣的關(guān)系時，點P（m1，n1），Q（m2，n2）就是符合要求的一對固定點？

上述文字雖400多字，由于本閱讀不涉及數(shù)學概念的理解，僅是一個說明性的實驗操作，實驗操作結(jié)合具體的方程，敘述清楚，操作明確，學生在問題的理解上明白、易懂.從問題的設置上看，起點低，巧用題組關(guān)系，層層遞進，借助直角三角板利用直角坐標系和特殊的固定點求解一元二次方程的根.用實驗操作的方法求解一元二次方程，構(gòu)思新穎、獨特.本題整合了相似三角形、一元二次方程、勾股定理等初中核心知識，使得各類知識在此題中交匯呼應，渾然天成，絲毫不顯知識堆砌的痕跡.

2特色賞析

2.1背景新穎，梯度合理

學生求解一元二次方程，常用的方法是用公式法、因式分解法和配方法，然而本題求解一元二次方程卻另辟蹊徑，用三角板在直角坐標系中也能求解，從學生的最近發(fā)展區(qū)中創(chuàng)設有助于學生自主學習的問題情境，從而激發(fā)學生求知的欲望.閱讀材料的內(nèi)容命題者精心組織，用初中常用的數(shù)學概念（如“一元二次方程、實數(shù)根、方程的系數(shù)、平面直角坐標系、點的坐標、直角頂點、恒過點等”）介紹求解一元二次方程的新方法.第（1）小問通過閱讀，按照“第四步”的操作方法求作方程的另一根，考查學生數(shù)學閱讀對信息獲取的能力；第（2）小問對這一操作進行理性的追問，這樣的操作所得到點的橫坐標為什么就是一元二次方程的根呢？讓學生經(jīng)歷從感性到理性，從質(zhì)疑到驗證，思維經(jīng)歷了從具體的操作到理性的思辨；由于上述的操作是基于具體的一元二次方程，第（3）小問很自然引導學生對于一般的一元二次方程操作時固定點有多少對？這樣的固定點唯一嗎？固定點的坐標和一元二次方程中的系數(shù)之間的數(shù)量進行探究，思維從具體向一般化發(fā)展；第（4）小問是從（3）小問的反面去思考，探索兩個固定點的坐標和一元二次方程的系數(shù)之間有怎樣的關(guān)系，整個問題設計從簡單到復雜，從具體到開放，設計了相互關(guān)聯(lián)的問題，層次非常分明，難度逐級遞進，不同層次的學生都有不同的收獲，猶如爬山欣賞風景，不同的高度，展現(xiàn)不同的美景；會當臨絕頂，一覽眾山小，那是數(shù)學高峰的誘惑.這樣設計既是對學生的探究能力、創(chuàng)新能力的一次檢驗，又是能力立意的充分體現(xiàn)，有效地抑制題海戰(zhàn)術(shù)，減輕學生課業(yè)負擔，對我們的教學有積極的引導作用.

2.2凸顯核心素養(yǎng)，在交會之處做文章

中考數(shù)學壓軸題須突出數(shù)學的本質(zhì)，緊扣核心知識，在核心知識的交會處設計試題，此題考查的內(nèi)容都是初中數(shù)學中的一些核心內(nèi)容.從知識層面看，主要考查了平面直角坐標系，一元二次方程、相似三角形、勾股定理等知識，這些知識都是初中的核心知識，從方法層面看，例如第（2）小問把上述第（1）小問中的數(shù)轉(zhuǎn)化成形，構(gòu)建兩個直角三角形相似，通過相似比構(gòu)建方程，對比方程的系數(shù)，驗證x軸上所求作點的橫坐標就是一元二次方程的根，蘊含數(shù)形結(jié)合，方程思想；第（3）小問思維從特殊拓展到一般，在一般化下的一元二次方程，如何尋找ax2+bx+c=0的固定點，借助閱讀材料中具體的方程x2-5x+2=0，首先把ax2+bx+c=0系數(shù)變成1，即x2+bax+ca=0，化歸到閱讀材料中的固定點問題，可以從特殊值思考，假定其中一個固定點A（0，1），通過相似計算另一固定點B（-ba，ca），也可以從一般化層面思考，假定其中一個固定點A（0，t）（t≠0的參數(shù)），通過計算得到另一固定點B（-ba，cat）（t≠0的參數(shù)），試題中所蘊含的思想從特殊到一般，轉(zhuǎn)化思想；第（4）小問存在點P（m1，n1），Q（m2，n2），探究這兩點坐標和一元二次方程ax2+bx+c=0系數(shù)之間的關(guān)系，利用相似三角形或者勾股定理等把它轉(zhuǎn)化到剛解決過的問題，所蘊含轉(zhuǎn)化思想、方程思想、數(shù)形結(jié)合思想等.從經(jīng)驗層面看，解決此題需要學生具有一定的基本活動經(jīng)驗，例如閱讀材料中具體方程如何操作，如何確定固定點，為一般化方程積累操作活動經(jīng)驗，并進行推廣和提升，因此，在平時的教學中，要注重學生基本活動經(jīng)驗的積累，讓學生經(jīng)歷知識的發(fā)現(xiàn)與提出過程，發(fā)生與發(fā)展過程，探索與應用過程，方法與規(guī)律的概括過程，引導學生進行反思與評價，使學生在一點一滴活動經(jīng)驗積累的基礎上，完成對知識的建構(gòu)，實現(xiàn)對基礎知識、基本技能和基本方法的內(nèi)化，有效提升學生的學習能力.endprint

2.3方法多元，各顯神通考能力

學業(yè)考試應體現(xiàn)《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》所倡導“應建立目標多元、方法多樣的評價體系.”

第（3）小題結(jié)論開放，方法多樣，先把方程ax2+bx+c=0（a≠0）可化為x2+bax+ca=0.

模仿研究小組作法可得：A（0，1），B（-ba，ca）或A（0，1a），B（-ba，c）.當點A在y軸上時，形如A（0，t），B（-ba，cat）（t≠0）即可.

第（4）小題解法：

m1，m2，n1，n2與a，b，c滿足的關(guān)系為：

m1+m2=-ba，①

m1m2+n1n2=ca.②

①②式的推導過程如下：

設方程ax2+bx+c=0的根為x0.

（ⅰ）n1，n2均不為零時，根據(jù)三角形相似可得：|n1||m1-x0|=|m2-x0||n2|.

當n1，n2符號為同號時，點P，Q分別在AE，BF上，m1-x0，m2-x0的符號必為異號；當n1，n2符號為異號時，點P，Q分別在EF，AB上，m1-x0，m2-x0的符號必為同號.

綜上可得：n1n2=-（m1-x0）（m2-x0），化簡可得：x20-（m1+m2）x0+m1m2+n1n2=0，通過比較系數(shù)可得①②兩個式子.

（ⅱ）n1，n2至少有一個為零時，①②兩個式子仍然成立.

解法二：點P（m1，n1），Q（m2，n2），設方程ax2+bx+c=0的根為x0.利用勾股定理可得：（m1-x0）2+n21+（m2-x0）2+n22=（m1-m2）2+（n1-n2）2.

上式化簡得：x20-（m1+m2）x0+m1m2+n1n2=0，通過比較系數(shù)可得①②兩個式子.

設方程的根為x，根據(jù)三角形相似可得x2-（m1+m2）x+m1m2+n1n2=0，又因為ax2+bx+c=0，即x2+bax+ca=0.

比較系數(shù)可得

m1+m2=-ba，①

m1m2+n1n2=ca.②

解法四：因為m1+m22=-b2a，所以

m1+m2=-ba，①

根據(jù)三角形相似可得

m1m2+n1n2=ca.②

3試題探源

事實上用幾何的方法求作一元二次方程的根，早在公元前古希臘數(shù)學家歐幾里得就給出幾何求法，《幾何原本》卷二命題11給出了等價于求一元二次方程正實根的方法，如圖5，PB是⊙O1的直徑，PA=c，AB=1，AE⊥PB于A點，則可算得AE=c，⊙O2的圓心在PB的延長線上，直徑是b，四邊形AEFD是矩形，由FD2=CD×DQ，則x1=CD，x2=DQ是一元二次方程x2-bx=c的兩個根；圖6中，F(xiàn)C2=FM×FN，則x1=FM，x2=FN是一元二次方程x2+bx=c的兩個根；圖5圖6上述中考試題，也可以看成如圖7所示，在平面直角坐標系中，⊙O是以（0，1）和（-b，c）為直徑，若⊙O與x軸有兩個交點，這兩個交點的橫坐標x1，x2就是方程x2+bx+c=0的根.

然而北師大版《九年級義務數(shù)學教科書（上冊）》52頁“讀一讀”中以“x2+2x-35=0”為例介紹兩種幾何作圖法，一種是中國古代數(shù)學家趙爽的解法，如圖8所示，正方形ABCD是由4個相同的矩形和一個正方形EFGH組成，矩形的長比寬大2，正方形EFGH的邊長是2，由大正方形ABCD面積等于4個矩形的面積和一個小正方形EFGH面積之和，設矩形的寬為x，可得（x+2+x）2=4×35+22，因此解得一個正根為x=5；公元8世紀阿拉伯數(shù)學家花拉子密也給出幾何解法，如果用花拉子密的方法，如圖9所示，正方形ABCD是由正方形EFCH和兩個全等的矩形（矩形ABFN和矩形AMHD）組成，其中矩形ABFN和矩形AMHD重疊部分為正方形，正方形AMEN的邊長為1，設HC=x，可得（x+1）2=35+1，解得其中一個正根為x=5；當然幾何作圖的方法可以推廣得一般形式：ax2+bx=c.

趙爽的方法和花拉子密的方法雖然構(gòu)造幾何圖形不同，但本質(zhì)上都是相同，構(gòu)造大正方形，然而花拉子米的解法更直觀地體現(xiàn)了配方法的幾何意義.

4教學啟示

2017年臺州市考生大約60564人，數(shù)學試卷總分150分，本題壓軸題共14分，考生各小題得分如下表：

第24題第（1）問第（2）問第（3）問第（4）問分值143434平均得分35920112043004難度系數(shù)026067028014001從表中可以看出，除第（1）小問外，其余3個小問，難度系數(shù)都比較低，這反應出一線教師在課堂教學中存在著一定的問題，也給實驗教學以啟發(fā).

4.1注重實驗操作背后質(zhì)疑和求證，培養(yǎng)理性思維

圖10第（2）小問對上述閱讀材料進行追問，要求學生對這一操作的正確性進行驗證，數(shù)學實驗不僅要會“直觀的做”，而且還會“抽象的思”.從這次學生答題來看，第（1）小問，大部分學生能讀懂題意并能操作，第（2）小問學生雖能構(gòu)造出“一線三直角”，但大部分學生未能理解所構(gòu)造相似三角形和一元二次方程之間的關(guān)系，思維層面不能進行深層次理解和思考，也反映出平常實驗教學中雖有直觀操作、觀察、比較、歸納和合情推理，但缺乏嚴謹性的求證，實驗教學更需要運用數(shù)學的思維方式檢驗或反思數(shù)學結(jié)論的能力，培養(yǎng)學生嚴謹?shù)乃季S和理性精神.例如在一次函數(shù)圖象性質(zhì)的教學中，為了讓學生理解一次函數(shù)的圖象是一條直線，如圖10所示，大部分老師會利用幾何畫板迭代或者軌跡功能進行演示實驗，點與點之間慢慢地從疏朗變到稠密，讓學生形象地觀察到一次函數(shù)的圖象是一條直線.對這一過程的演示老師能否引導學生深層次地思考呢，能否引導學生用質(zhì)疑、批判的眼光審視這一問題呢？圖11為什么這些點都是在一條直線上呢？引導運用數(shù)學的思維方式檢驗或反思數(shù)學結(jié)論，如圖11所示，能否證明相鄰A，B，C三點共線嗎？運用全等三角形證明這一結(jié)論，培養(yǎng)學生思維的深刻性和嚴謹性.endprint

4.2重視實驗過程中活動經(jīng)驗的積累，提升數(shù)學思想方法

第（3）小問尋找固定點，首先化“ax2+bx+c=0”系數(shù)為1的“x2+bax+ca=0”，這樣轉(zhuǎn)化到閱讀材料中特殊方程中如何尋找固定點，體現(xiàn)數(shù)學中的轉(zhuǎn)化思想；第（4）小問從第（3）小問反面思考，如果已知兩固定點，探究兩固定點的坐標與a，b，c之間的關(guān)系.此題揭示實驗操作探究問題的一般過程：動手操作、思考發(fā)現(xiàn)、質(zhì)疑求證、實踐探究、類比拓展，滲透了學習數(shù)學的一般方法：從特殊到一般、類比與歸納、聯(lián)想與拓展、轉(zhuǎn)化思想等，讓學生經(jīng)歷數(shù)學問題的提出、研究、解決、拓展的全過程，在這次考試學生實際答題中，只有極小部分學生能夠深層次探究，也反映出日常課堂教學中雖有實驗操作探究的活動，但沒有實驗過程中操作的反思，沒有對重復活動經(jīng)驗中提升和概括.例如，北師大版《九年級義務數(shù)學教科書（上冊）》52頁“讀一讀”中以“x2+2x-35=0”為例介紹兩種幾何作圖法，如果我們的老師僅這個例子進行講解，讓學生進行模仿性地操作，這樣的教學談不上活動經(jīng)驗的積累和思想方法的提升，相反挖掘閱讀材料的內(nèi)容，進行如下設計：

問題1：三國時期數(shù)學家趙爽和阿拉伯數(shù)學家花拉子密都用形的方法探討了一元二次方程的解法，例如，一元二次方程“x2+2x=35”兩個數(shù)學家給出如圖8、9所示的解法.請你利用這兩個圖求解方程：“x2+2x-35=0”.

問題2：請你用趙爽（花拉子密）構(gòu)圖的方法解方程“x2-4x=5”；

問題3：請你用趙爽（花拉子密）構(gòu)圖的方法解方程“2x2+3x=5”；

問題4：請你用趙爽（花拉子密）構(gòu)圖的方法解方程“x2+bx=c”；

問題5：請你用趙爽（花拉子密）構(gòu)圖的方法解方程“ax2+bx=c”.

上述問題2是問題1的變式，從模仿到遷移；問題3是問題2的拓展和提升，首先把“2x2+3x=5”的化系數(shù)為1，即“x2+15x=25”，這樣問題3轉(zhuǎn)化為問題1；問題4是問題3的一般化；問題5又是問題4的一般化.上述問題設計中，學生在重復構(gòu)造正方形解一元二次方程，思維經(jīng)歷了從模糊到朦朧，從朦朧到清晰，學生構(gòu)圖的過程就是從無意識模仿地畫圖到有點方法地構(gòu)圖，從有點方法構(gòu)圖到自己創(chuàng)造性地構(gòu)圖，每次的構(gòu)圖都不僅是上一次地重復，而是上一次構(gòu)圖的拓展和提升，這樣在重復操作構(gòu)圖解決一元二次方程中，教師引導學生進行反思總結(jié)，在不同問題中用了哪些相同的操作方法，在總結(jié)中不斷優(yōu)化學生的思維，提升學生數(shù)學思想方法.

參考文獻

[1]呂小保.新課改背景下的操作探究型試題及教學啟示，[J].數(shù)學通報，2008（10）：59-61.endprint