劉雨琳

Hom-Jordan雙代數(shù)的構(gòu)造

劉雨琳

研究Hom-Jordan雙代數(shù)的構(gòu)造.首先給出了Hom-Jordan代數(shù)的表示和配對(duì)的定義.再利用Hom-Jordan代數(shù)與其對(duì)偶空間的直和仍為Hom-Jordan代數(shù)的條件給出了構(gòu)造Hom-Jordan雙代數(shù)的方法.

Hom-Jordan代數(shù)；表示；配對(duì)；Hom-Jordan雙代數(shù)

約當(dāng)代數(shù)、李代數(shù)和交錯(cuò)代數(shù)被稱為是三類非常重要的非結(jié)合代數(shù).20世紀(jì)30年代物理學(xué)家P.Jordan在研究量子力學(xué)時(shí)提出了約當(dāng)代數(shù).約當(dāng)代數(shù)很快作為一個(gè)獨(dú)立的代數(shù)體系發(fā)展起來［1-2］.近年來，Hom型代數(shù)的研究成為熱點(diǎn)，Hom-代數(shù)結(jié)構(gòu)是利用一個(gè)代數(shù)同態(tài)將代數(shù)定義中的恒等式轉(zhuǎn)化得到的.起初Hom-Lie代數(shù)的定義是由Hartwig、Larsson和Silvestrov在研究Witt代數(shù)以及Virasoro代數(shù)時(shí)給出的［3］，而Hom-Jordan代數(shù)的定義最早是由A.Makhlouf提出的［4］.本文給出了Hom-Jordan代數(shù)的表示并進(jìn)一步研究了其上的雙代數(shù)結(jié)構(gòu).

1 預(yù)備知識(shí)

定義1 設(shè)(J,·,?J)為Hom-Jordan代數(shù)，h為J的一個(gè)子空間.若?J(h)?h且h關(guān)于運(yùn)算“·”是封閉的，則稱h是(J,·,?J)的一個(gè)Hom-Jordan子代數(shù).

定義2 設(shè)(J,·,?J)為 Hom-Jordan 代數(shù)，V為線性空間，ρ∶J→End(V)為V上的線性變換，A∈End(V)，若滿足

其中，x,y,z∈J，則稱(V,ρ,A)為(J,·,?J)的表示.

命題1 設(shè)(J,·,?J)為Hom-Jordan代數(shù)，V為線性空間，ρ∶J→End(V)為V上的線性變換，A∈End(V)，在J⊕V上定義

其中，x,y∈J，u,v∈V，則(J⊕V,·,為?J⊕A)Hom-Jordan代數(shù)?(V,ρ,A)為(J,·,?J)的表示.

設(shè)ρ∶J→End(V),A∈End(V) ，令ρ?∶J→End(V?),A?∈End(V?)，其中

命題 2 設(shè) (J,·,?J)為 Hom-Jordan 代數(shù)，(V,ρ,A)為 (J,·,?J)的表示，則 (V?,ρ?,A?)也為(J,·,?J)的表示.?(V,ρ,A)滿足

此時(shí)，稱(V?,ρ?,A?)為(V,ρ,A)的對(duì)偶表示.

推論1 設(shè)(J,·,?J)為Hom-Jordan代數(shù)，則(rg?,J?,?J?)為(J,·,?J)的表示當(dāng)且僅當(dāng)下面式子成立

2 Hom-Jordan代數(shù)的配對(duì)及Hom-Jordan雙代數(shù)的構(gòu)造

定 義 3 設(shè) (J,·,?J)和 (H,°,?H)是 兩 個(gè)Hom-Jordan 代 數(shù) ，線 性 映 射ρ∶J→gl(H)是(J,·,?J)的一個(gè)表示，μ∶H→gl(J)是(H,°,?H)的一個(gè)表示，如果ρ，μ滿足下面條件

其中，x,y,z,u∈J,a,b,c,e∈H，則稱 (J,H,ρ,μ,?J,?H)為Hom-Jordan代數(shù)的配對(duì).

定 理 1 設(shè) (J,·,?J)和 (H,°,?H)是 兩 個(gè)Hom-Jordan代數(shù)，ρ∶J→gl(H)是J的一個(gè)表示，μ∶H→gl(J)是H的一個(gè)表示.在J⊕H上定義

則 (J⊕H,?,?J⊕?H)為 Hom-Jordan 代數(shù) ?(J,H,ρ,μ,?J,?H)為Hom-Jordan代數(shù)的配對(duì).

定理 2 設(shè)(J,·,?J)和(J*,°,?J*)是相容的

Hom-Jordan代數(shù)，則(J⊕J*,?,?J⊕?J*)為Hom-Jordan代數(shù)?

定義4 設(shè)(J,·,?J)是一個(gè)相容的Hom-Jordan代數(shù)，如果線性映射Δ∶J→J?J滿足下面條件

1）Δ是對(duì)稱的（或交換的），即Δ(x)=σ(Δ(x)),?x∈J；

2）Δ*∶J*?J*→J*定義了線性空間J*上一個(gè)相容的Hom-Jordan代數(shù)結(jié)構(gòu)；

3）Δ滿足方程

則稱該線性映射是一個(gè)Hom-Jordan雙代數(shù)結(jié)構(gòu)，記為(J,Δ)或(J,J*).

命題3 (J,J*)是一個(gè)Hom-Jordan雙代數(shù)?(J,J*,rgJ,rgJ*,?J,?J*) 為 配 對(duì) ? (J⊕J*,Δ,?J⊕?J*)為Hom-Jordan代數(shù).

The Structure of Hom-Jordan Bialgebras

LIU Yu-lin
（School of Mathematics，Liaoning Normal University，Dalian，Liaoning 116029，China）

In this paper，we mainly study the construction of Hom-Jordan algebras.Firstly，we give the representation and matched pair of Hom-Jordan algebra and get the condition for the dual of the representation to be a representation of Hom-Jordan algebra.Then we study the direct sum of Hom-Jordan algebra and its dual space and get the construction of Hom-Jordan bialgebras.

Hom-Jordan algebra；representation；matched pair；Hom-Jordan bialgebra

O153

A

1008-7974（2018）01-0041-06

10.13877/j.cnki.cn22-1284.2018.02.012

2017-10-03

劉雨琳，女，黑龍江雞西人，遼寧師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院碩士研究生（遼寧 大連 116029）.

［1］N Jacobson.Structure and representations of Jordan algebras arising from intermolecular recombination［J］.Amer.Math.Soc.Colloq，1968，32（8）：210-219.

［2］H Braun，M Koecher.Jordan Algebren［M］.Berlin：Springer Verlag，1966.

［3］J Hartwig，D Larsson，S Silvestrov.Deformations of Lie algebras usingσ-derivations［J］.J.Algebra，2006，36（5）：314-361.

［4］A Makhlouf.Hom-alternativeandHom-Jordan algebras［J］.J.Algebra，2010（8）：177-190.

陳衍峰）