☉江蘇省江陰市第二中學 張志剛

例談直線與圓中的最值問題

☉江蘇省江陰市第二中學 張志剛

直線與圓的位置關(guān)系是高中數(shù)學一個非常重要的內(nèi)容，它涉及的知識點較多，題型也千變?nèi)f化.最值是數(shù)學知識體系中的重要內(nèi)容，也是數(shù)學中最具挑戰(zhàn)性的問題.高考命題者對直線與圓知識中的最值問題常常是情有獨鐘，這種導向性使得該知識成為教學中的重點與難點.從問題解決的思路來看，學生要想順利地解決此類問題，需要綜合運用幾何與代數(shù)的相關(guān)知識與方法，以及數(shù)形結(jié)合等思想，并在此過程中尋找到解決最值問題的方法.本文通過教學實踐，枚舉幾例直線與圓中的最值問題，以供參考.

一、直線與圓相交構(gòu)成的三角形面積最值

最值問題中有一類基本題型，就是一條直線與圓相交時所形成的兩個交點與圓心可以構(gòu)成一個三角形，由于直線的動態(tài)性，所以該三角形的面積就存在一個最值.在教學中發(fā)現(xiàn)，學生在遇到此類問題時思維常常是混亂的.來看一個例子：

例1 平面直角坐標系中有點P（-3，4），圓C：（x+1）2+y2=4.過點P作直線l與圓相交于A，B兩點，求△ABC面積的最大值.

解法1：顯然直線l的斜率存在且不為零.設(shè)直線l的斜率為k，方程為kx-y+3k+4=0.

圖1

接下來求出此函數(shù)的最大值（此略）.

解法2：顯然直線l的斜率存在且不為零.設(shè)直線l的斜率為k，方程為y=k（x+3）+4.圓心C（-1，0）到直線l的距離

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則

接來下求出此函數(shù)的最大值（.以下略）

解法3：如圖1所示，當且僅當∠ACB=90°時取等號.

故△ABC面積的最大值為2.

比較三種方法，顯然第三種簡潔方便.

二、由切線構(gòu)成的四邊形面積最值

例2 已知P是直線l：3x-4y+11=0上動點，PA，PB是圓x2+y2-2x-2y+1=0的兩條切線，A，B為切點，C是圓心，那么四邊形PACB面積的最小值為_______.

解：圓的標準方程（x-1）2+（y-1）2=1，圓心（1，1），r=1，如圖2.

圖2

故當|PC|最小值，SPACB最小.

分析：在計算中我們選擇已知的信息量大的，便于計算.

解法1：

當∠AOB=90°時，三角形面積最大.

這就轉(zhuǎn)化成了我們所熟悉的問題.

圖3

解法2：設(shè)直線l的傾斜角為α，

轉(zhuǎn)化與化歸思想是重要的數(shù)學思想.本題中將所求問題轉(zhuǎn)化成計算圓的弦長、弦心距，再利用點到直線的距離使問題迎刃而解，更好地提高學生的解題能力.

三、根據(jù)線性規(guī)劃思想求的最值問題

根據(jù)所求代數(shù)式結(jié)構(gòu)，考查它的幾何意義，數(shù)形結(jié)合思想，以及線性規(guī)劃思想的體現(xiàn).

例4 已知P（x，y）是圓（x+2）2+y2=1上任一點.

（2）求3x+4y的最值.

解：（1）如圖4，設(shè)A（1，2），則直線PA的斜率即kx-y-k+2=0.

問題轉(zhuǎn)化為直線與圓有公共點（相交或相切）時k的范圍，利用直線和圓的位置關(guān)系求解.

圖4

圖5

（2） 如 圖 5， 令 z=3x+4y， 即 3x+4y-z=0

問題轉(zhuǎn)化為直線與圓有公共點（相交或相切）時z的范圍，利用直線和圓的位置關(guān)系求解.

故3x+4y∈［-11，1］

例5 x，y滿足x+2y-5=0，求（x+1）2+（y+1）2的最小值.

解法1：設(shè)，d表示P（x，y）與Q（-1，-1）連線的距離.

圖6

解法2：令（x+1）2+（y+1）2=r2表示以Q（-1，-1）為圓心，r為半徑的圓，r2最小，即r最小，此時直線與圓相切

當然除了上述與幾何圖形結(jié)合，利用幾何性質(zhì)及位置關(guān)系，求取最值方法外，還有一些代數(shù)方法，如函數(shù)法、重要不等式法等.

如例5中，x+2y-5=0，則x=5-2y，（x+1）2+（y+1）2=（6-2y）2+（y+1）2=5y2-22y+37

代換消元整理成一元二次函數(shù)，利用二次函數(shù)解決最值.

總之，應給學生思考空間，引導其思考，幫助其分析，指導其歸納總結(jié)，并在平時加強訓練，強化運用.

在直線與圓中，?？嫉淖钪祮栴}有：圓外一定點與圓上一動點間的距離；直線與圓相離，圓上點到直線的距離；直線與圓相離，過直線上一點作圓的切線，切線長的計算；過圓內(nèi)一點的弦長的范圍；兩圓相離，兩圓上動點間的距離.需要學生準確理解已知量、待求量的幾何意義，準確轉(zhuǎn)化為直線與圓的位置關(guān)系，涉及切線長的最值時，注意切線長、半徑、圓心與切線另一端點連線能構(gòu)成直角三角形，涉及弦長時，半徑、弦心距、弦長一半，構(gòu)成直角三角形；與圓有關(guān)問題，數(shù)形結(jié)合，特別關(guān)注圓的圓心、半徑，這兩個基本幾何屬性與其他點、線產(chǎn)生聯(lián)系.

四、結(jié)束語

高中數(shù)學解題能力的培養(yǎng)關(guān)鍵在于抓住問題的本質(zhì).數(shù)學解題講究入乎其內(nèi)、出乎其外，學生需要從豐富的題境中尋找有效條件，體會題目的內(nèi)涵與命題者所要考查的意圖.日常的習題教學中，教師要超越試題本身，要從方法的角度培養(yǎng)學生的解題能力，這樣學生才能清楚地看到題目的本質(zhì)，從而對一類題型形成規(guī)律性認識.

同時，高中數(shù)學解題中，教師還需要重點進行基于學生可能思路的解題設(shè)計，學生在解題的過程中要獲得的不僅是解題能力，還要落實核心素養(yǎng).尤其是學生與學生之間的交流，常常是學生解題思路得以提升的重要階梯，教師要善于通過學生的發(fā)言，總結(jié)出一些學生認知中的規(guī)律性認識，進而上升為清晰的解題思路，這樣學生在學習中往往可以更有成就感.