甕振永 吳凡 吳守川

摘 要：倒立擺系統(tǒng)是一個典型的快速、多變量、非線性、不穩(wěn)定的動態(tài)系統(tǒng)，對于倒立擺的控制研究無論在理論研究上亦或是工業(yè)復雜控制對象的控制方法上都有深遠的意義。本文主要研究內(nèi)容是：首先概述倒立擺系統(tǒng)研究的背景及意義；介紹倒立擺組成并對單級倒立擺模型進行建模；研究倒立擺系統(tǒng)的LQR控制方式，并設計出對應的控制器，以MATLAB軟件為平臺經(jīng)行模擬仿真實驗并對LQR控制效果進行總結(jié)。

關(guān)鍵詞：倒立擺；LQR控制算法；MATLAB仿真

1、倒立擺系統(tǒng)研究背景及意義

倒立擺控制系統(tǒng)是一個非線性動態(tài)系統(tǒng)， 是作為理論教學及開展各種控制實驗的理想平臺。許多抽象的控制概念如控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性、可控性、系統(tǒng)收斂速度和系統(tǒng)抗干擾能力等，都可以利用倒立擺系統(tǒng)直接的展現(xiàn)出來。

除了用于教學，在自動控制領域中，倒立擺系統(tǒng)的高階次、不穩(wěn)定、多變量、非線性和強耦合等特性使得許多現(xiàn)代控制理論的研究人員一直將它作為研究對象。他們通過對倒立擺系統(tǒng)的研究出新的控制方法，并將其應用于航天科技和機器人學等各種高新科技領域。倒立擺仿真或?qū)嵨锟刂茖嶒?，已成為檢驗一個新的控制理論是否有效的試金石，同時也是產(chǎn)生一個新的控制方法必須依據(jù)的基礎實驗平臺。

2、單級倒立擺的數(shù)學模型

圖1單級倒立擺系統(tǒng)的原理圖。若不給小車施加控制力，倒擺會向左或向右傾斜，控制的目的是當?shù)箶[出現(xiàn)偏角時，在水平方向上給小車以作用力，通過小車的水平運動，使倒擺保持在垂直的位置。即控制系統(tǒng)的狀態(tài)參數(shù)，以保持擺的倒立穩(wěn)定。

3、LQR控制及MATLAB仿真

線性二次型最（LQR）優(yōu)控制算法的目的是在一定的性能指標下，使系統(tǒng)的控制效果最佳，即利用最少的控制能量，來達到最小的狀態(tài)誤差，以下將利用最優(yōu)控制算法實現(xiàn)對一階倒立擺系統(tǒng)的擺桿角度和小車位置的同時控制。

本文所用參數(shù)為M = 0.5；m = 0.2；b = 0.1；I = 0.006；g = 9.8；l = 0.3，均為國際單位制。編寫MATLAB程序：

采用LQR方法則首先需將上述參數(shù)代入狀態(tài)空間方程，求出狀態(tài)矩陣A，輸入矩陣B。輸出矩陣C只有兩個1，分別代表小車位置、擺桿角度，傳遞矩陣為0。

接下來利用命令lqr得到系統(tǒng)的反饋增益K，然后通過調(diào)整矩陣Q 和R 來獲得滿意的響應效果。經(jīng)過多次仿真試湊，當R=10、Q11=5000、Q33=100時，小車位置能夠準確地跟蹤輸入信號，擺桿的超調(diào)量足夠小，穩(wěn)態(tài)誤差、上升時間與調(diào)整時間也基本符合設計指標求。仿真結(jié)果如圖2。

這時如果再增大Q，系統(tǒng)的響應還會有所改善，但是在保證Q足夠小并兼顧其它響應指標時，系統(tǒng)響應已經(jīng)能夠滿足要求了。研究發(fā)現(xiàn)Q和R矩陣之間有如下規(guī)律：當R 陣的權(quán)值增大時，被控量幅值顯著減小，其對應的動態(tài)性能指標有所改善，但并不著，當Q矩陣中某一元素的權(quán)值增大時，與其相對應的動態(tài)響應過程好轉(zhuǎn)，系統(tǒng)快速性得到明顯提高，與此同時，也引起了一些振蕩，而被控量的幅值由小到大明顯大。

4、LQR控制效果總結(jié)

最優(yōu)控制理論是現(xiàn)代控制理論中的重要內(nèi)容，過去因為許多復雜的計算難以實現(xiàn)，但隨著計算機技術(shù)的不斷進步，復雜的計算可以通過計算機進行處理，因此最優(yōu)控制在工程技術(shù)應用的越來越廣泛。

最優(yōu)控制算法（LQR）的目的是在一定性能指標下，使系統(tǒng)獲得最佳的控制效果，達到最小的狀態(tài)誤差。

在仿真的過程中首先對倒立擺系統(tǒng)如何縮短穩(wěn)定時間和上升時間進行了仿真，通過不斷的調(diào)試，使得系統(tǒng)的響應時間滿足了設計要求。然后為了使系統(tǒng)輸入和反饋的量綱相互匹配，給輸入乘以了增益Nbar，然后進行仿真之后使得小車位置跟蹤輸入信號，而且擺桿超調(diào)最夠小，穩(wěn)態(tài)誤差滿足了要求，上升時間和穩(wěn)定時間也滿足設計指標。

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