紀(jì)麗芬

摘 要：現(xiàn)行高中數(shù)學(xué)人教A版必修4在第二章新增加了“平面向量”的內(nèi)容。因其既有代數(shù)的特點(diǎn)，又有幾何的性質(zhì)，使“平面向量”成為高中數(shù)學(xué)一個(gè)比較特殊的概念，也是高中數(shù)學(xué)一個(gè)比較有研究?jī)r(jià)值的內(nèi)容。近幾年來(lái)愈發(fā)受到高考命題者的青睞，成為高考的一個(gè)新亮點(diǎn)?！捌矫嫦蛄俊钡囊氩粌H豐富了高中數(shù)學(xué)的內(nèi)容，也突出了向量作為數(shù)學(xué)工具的重要性。在實(shí)際運(yùn)用中，向量跟其他很多數(shù)學(xué)知識(shí)都緊密聯(lián)系在一起，比如，向量與函數(shù)的聯(lián)系、向量與三角函數(shù)的聯(lián)系等，甚至還可以用向量去解決物理方面的問(wèn)題。對(duì)平面向量的綜合運(yùn)用進(jìn)行探討，并就當(dāng)前在平面向量的綜合運(yùn)用的教學(xué)中存在的問(wèn)題提出相應(yīng)的解決對(duì)策。

關(guān)鍵詞：平面向量；綜合運(yùn)用；解決辦法

數(shù)學(xué)這門(mén)學(xué)科在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)時(shí)，注重考查學(xué)生對(duì)學(xué)科內(nèi)在聯(lián)系和知識(shí)綜合性的把握。近代高中數(shù)學(xué)中，向量作為溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的工具之一，有著極其豐富的內(nèi)涵。有了向量，平移、垂直、相似、勾股定理等概念就轉(zhuǎn)化成了向量的加減法運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算等。學(xué)生在做題考試時(shí)不可避免地會(huì)碰到諸如此類(lèi)的將平面向量與其他內(nèi)容結(jié)合的綜合性問(wèn)題，這就要求學(xué)生既要掌握平面向量的知識(shí)點(diǎn)，也要熟悉其他的知識(shí)點(diǎn)，這樣才能更好地解決問(wèn)題，提高解題效率和運(yùn)算能力。然而，通過(guò)對(duì)近幾年高考數(shù)學(xué)向量試題的分析，我們很清楚地看到得分率與教師的期待相差甚遠(yuǎn)，對(duì)此，筆者將在文中對(duì)出現(xiàn)的問(wèn)題提出一些建議。

一、平面向量的綜合運(yùn)用

平面向量因其特殊性常常會(huì)與其他內(nèi)容結(jié)合作為選擇題和填空題在考試中出現(xiàn)。但學(xué)生卻往往因?yàn)闆](méi)有徹底掌握平面向量的知識(shí)，或是對(duì)其他內(nèi)容的知識(shí)點(diǎn)沒(méi)有理解到位，常常在做有關(guān)平面向量的綜合運(yùn)用的問(wèn)題時(shí)感到束手無(wú)策。但其實(shí)總結(jié)起來(lái)，平面向量通常也只與下面三個(gè)內(nèi)容進(jìn)行綜合：

（一）平面向量與三角函數(shù)的綜合

平面向量與三角函數(shù)的綜合集中體現(xiàn)在向量與三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、求值與證明，三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，解三角形等知識(shí)的綜合。比如，在解三角形的問(wèn)題時(shí)，就可以借助平面向量，將三角函數(shù)中的正余弦定理巧妙地轉(zhuǎn)化，以邊角互化的方式去解決三角形的面積、邊長(zhǎng)、角度等問(wèn)題。掌握向量數(shù)量積的公式和性質(zhì)是解決平面向量與三角函數(shù)綜合問(wèn)題的關(guān)鍵。

（二）平面向量與平面解析幾何的綜合

由于平面向量自身的數(shù)形結(jié)合的特點(diǎn)，向量表現(xiàn)出了極其顯著的幾何背景。向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算可以用來(lái)表示平面幾何的平移、全等、相似、垂直等性質(zhì)。因此，這種類(lèi)型的綜合運(yùn)用在考試時(shí)尤為常見(jiàn)。首先要求學(xué)生學(xué)會(huì)“數(shù)形結(jié)合”，用平面向量的幾何意義去解決平面向量問(wèn)題。其次還應(yīng)掌握運(yùn)算法則。比如，數(shù)量積為零聯(lián)想到垂直；不共線的單位向量的和聯(lián)想到角平分線、菱形；不共線的兩向量的和的一半聯(lián)想到三角形的中線等。

（三）平面向量與函數(shù)的綜合

在考試中，經(jīng)常用以向量為載體的形式考查函數(shù)的知識(shí)來(lái)體現(xiàn)平面向量與函數(shù)的綜合性。利用向量的知識(shí)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的問(wèn)題是解題的關(guān)鍵，體現(xiàn)在求函數(shù)的值域及活用奇偶性、單調(diào)性、周期性以及對(duì)稱(chēng)性等方面。平面向量與函數(shù)的結(jié)合要求學(xué)生在了解平面向量特點(diǎn)的基礎(chǔ)上靈活化用函數(shù)式。

二、解決當(dāng)前在平面向量綜合運(yùn)用的教學(xué)中存在的問(wèn)題及對(duì)策

在近幾年的試題中，對(duì)平面向量的考查基本都是對(duì)上述的三種綜合類(lèi)型的考查。然而，由于學(xué)生對(duì)平面向量的基本概念不夠理解，尤其是對(duì)平面向量基本定理的掌握不到位，解題時(shí)無(wú)法深入思考，從而不敢選用向量法求解。通過(guò)研究分析，目前學(xué)生在求解向量試題時(shí)主要存在法則運(yùn)用不當(dāng)、忽略零向量的特殊情形去判斷垂直和共線，忽視分類(lèi)討論，誤用運(yùn)算公式，忽視隱含條件等問(wèn)題。為了解決這些問(wèn)題，筆者做了如下思考。

（一）幫助學(xué)生樹(shù)立平面向量的工具意識(shí)

近代數(shù)學(xué)中，解決三角函數(shù)、平面幾何和函數(shù)問(wèn)題時(shí)都以向量為媒介。有了向量，平移、垂直、相似、勾股定理等概念就轉(zhuǎn)化成了向量的加減法運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算等，從而實(shí)現(xiàn)將圖形的基本性質(zhì)向向量的運(yùn)算體系的轉(zhuǎn)換。教師在教學(xué)中應(yīng)強(qiáng)調(diào)向量在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)發(fā)揮的舉足輕重的工具作用。比如，平面幾何中的向量方法；用向量方法來(lái)推導(dǎo)兩角差的余弦公式等，都體現(xiàn)了向量的重要的數(shù)學(xué)工具地位。教師應(yīng)該幫助學(xué)生樹(shù)立平面向量的工具意識(shí)，掌握以向量為工具解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本方法。

（二）引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)向量法的基本實(shí)質(zhì)

平面向量既具備代數(shù)的抽象性又顯現(xiàn)出幾何的直觀性。求解平面向量的考題實(shí)際上就是研究數(shù)與形的轉(zhuǎn)換。教師在教學(xué)中應(yīng)該廣舉實(shí)例，教會(huì)學(xué)生認(rèn)清向量及其運(yùn)算規(guī)律與幾何圖形之間的聯(lián)系，通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系。幫助學(xué)生建立利用向量的代數(shù)解決幾何問(wèn)題的基本思想。

綜上，平面向量在考查過(guò)程中通常會(huì)與三角函數(shù)、平面幾何以及函數(shù)相結(jié)合，對(duì)學(xué)生的綜合能力要求較高。掌握平面向量“數(shù)形結(jié)合”的特點(diǎn)，樹(shù)立向量的工具意識(shí)，將會(huì)讓學(xué)生在解答相關(guān)試題時(shí)覺(jué)得得心應(yīng)手，游刃有余。

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