于 晴

(河北省唐山市第二中學 063000)

含參不等式恒成立問題的思維途徑

于 晴

(河北省唐山市第二中學 063000)

含參不等式問題是高考中常見題型.本文就這類問題的求解方法加以分類，并舉例說明.這對提高解答該類問題的能力，有參考價值.

含參不等式；恒成立；問題轉(zhuǎn)化

含有參數(shù)字母的不等式恒成立問題綜合性強，融合了函數(shù)、方程、不等式、三角、數(shù)列等各知識點，涉及到諸多數(shù)學思想方法，既是高中數(shù)學中的典型問題，也是高考的熱點題型.本文就求解這類問題的若干思維途徑總結(jié)如下.

一、選擇恰當?shù)闹髟?/h2>

從不同的角度分析不等式的結(jié)構(gòu)特征，選擇恰當?shù)闹髟?，?gòu)造出相應(yīng)的函數(shù)，利用這個函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)來解決問題.

分析本題常規(guī)思路是把左式中的log3x視為一個字母的變元，則可化為二次式問題，但系數(shù)中的log2m在變動，不易把握.若視log2m為一個字母的變元，則可化為關(guān)于這個字母的一次式問題，容易掌握.

點評本題求解的關(guān)鍵是改變常規(guī)思維，變更主元，從而化二次式為一次式，使問題化難為易.選準觀察角度，尋找到恰當?shù)闹贮c，是簡捷順暢解題的關(guān)鍵所在.一般情況下，已知取值范圍的字母(如本例中的log2m)為主元，常使問題變得簡單易解.

二、分離參數(shù)

在含參數(shù)的不等式中，如果能將參數(shù)解出來，那么可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題.

例2 已知不等式x2+(m+1)x+1≥0在x∈[0,+∞)時恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.

綜上得m的取值范圍是[-3,+∞).

三、變量代換

數(shù)學解題中，如果能作出恰當?shù)拇鷵Q，那么可將復雜的式子簡單化，隱蔽的關(guān)系明朗化，從而為解題開辟通道.如上述的例1.現(xiàn)再看一例.

例4 對于滿足16x2+9y2-32x+18y-119=0的實數(shù)x,y，如果不等式x+y-k>0恒成立，求k的取值范圍.

而5sin(θ+φ)的最小值是-5，從而得k的取值范圍是(-∞,-5).

四、利用切線

將不等式轉(zhuǎn)化為一條曲線與一條動直線的高低位置關(guān)系問題.利用動直線與曲線的鄰界位置——相切來解決問題.

[1]戚有建.如何選定主元[J].數(shù)學通訊，2014(7、8)：5～7.

[2]鄭一平.常規(guī)的分離參數(shù)解法為何半途而廢[J].數(shù)學通訊，2014(4)：12～13.

[3]吳佐慧，林軍，劉合國.高考全國卷含參不等式恒成立問題的探究[J].中學數(shù)學，2014(2)：85～87.

[4]滕中華，章才良.例析“分離參數(shù)法”在含參不等式中的應(yīng)用[J].福建中學數(shù)學，2014(4)：42～44.

[5]劉鵬.參數(shù)取值范圍問題的求解方法[J].高中數(shù)學教與學，2014(1)：19～21.

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1008-0333(2017)31-0041-02

2017-07-01

于晴，河北省唐山市第二中學 ，在校學生.

楊惠民]