王石萌

在歷年的高考數(shù)學(xué)試卷中，基本不等式作為一名“?？汀?，曾經(jīng)以不同的面孔戲謔了眾多考生。作為一名高三學(xué)生，短短三個月的親密接觸，使我對它終于有了一個全面系統(tǒng)的了解，下面對其簡單地做一概括。

1.基本不等式：≤

（1）基本不等式成立的條件：a>0，b>0。

（2）等號成立的條件：當且僅當a=b時取等號。

2.利用基本不等式求函數(shù)的最值

（1）積為定值，和有最小值：若ab為定值p，則當且僅當a=b時，a+b有最小值2。（積定和最小）

（2）和為定值，積有最大值：若a+b為定值p，則當且僅當a=b時，ab有最大值。（和定積最大）

（3）運用前提：“一正二定三相等”。

下面略舉幾例附加說明：

例1 已知函數(shù)f（x）=4x+，求在下列條件下函數(shù)的最值

（1）x>0 （2）x<0 （3）x≥2 （4）0

解析：（1）當x>0時，f（x）=4x+≥2=12，當且僅當4x=，即x=時等號成立?！鄁（x）有最小值12。

（2）當x<0時，f（x）=4x+=--4x-≤-12，當且僅當-4x=-，即x=-時等號成立?！鄁（x）有最大值-12。

（3）當x≥2時，f（x）=4x+在[，+∞）上單調(diào)遞增，∴f（x）min=f（2）=8+=12。

（4）當0

注：由（3）（4）可知，當?shù)忍柌怀闪r，“對號函數(shù)”f（x）=4x+的單調(diào)區(qū)間來幫忙。

例2 （1）設(shè)0

（2）若a<1，求a+的最大值。

解：（1）y=4x（3-2x）=2·2x·（3-2x）≤2·2=

當且僅當2x=3-2x。即x=時等號成立。

（2）y=a+=a-1++1=-1-a++1≤ -2+1=-1

當且僅當1-a=。即1-a=1，a=0時等號成立。

注：在運用均值不等式時，要特別注意“拆”“拼”“湊”等技巧，使其滿足不等式中積（和）不為定值時，湊配法轉(zhuǎn)化為定值?！罢薄岸ā薄暗取钡臈l件缺一不可。

例3 （1）設(shè)x，y∈（0，+∞），且2x+8y-xy=0，求x+y的最小值。

（2）已知向量a=（m，1-n），b=（1，2），其中m>0，n>0，若a//b，則+的最小值為_______

解：法一：（1）由2x+8y-xy=0得y（x-8）=2x

∵x>0，y>0，∴x-8>0，y=，

∴x+y=x+=x+=x+2+=x-8++10≥2+10=18

當且僅當x-8=，即x=12時，等號成立。

∴x+y的最小值是18。

法二：由2x+8y-xy=0及x，y∈（0，+∞）得+=1

∴x+y=（x+y）+=++10≥2+10=18

當且僅當=，即x=2y=12時等號成立。∴x+y的最小值是18。

（2）∵向量a=（m，1-n），b=（1，2）。a//b。

∴2m-（1-n）=0，即2m+n=1

又m>0，n>0

∴+=+（2m+n）=3++≥3+2=3+2

當且僅當=。即m=1-，n=-1時等號成立。

∴+的最小值為3+2。

注：解決本題的技巧是熟練均值不等式的形式特點。

在應(yīng)用時若不滿足條件，則需要進行相應(yīng)的變形技巧，以便得到均值不等式所需要的“和”或“積”為定值的形式。

游走在浩瀚的題海中，唯有不斷地洞察，思考，才能真正玩轉(zhuǎn)“均值不等式”。以上僅僅是我的一點看法，不當之處，敬請指正。

（作者單位：河南省南陽市五中）