陳玲鈺

(江蘇省南通市通州區(qū)金沙中學(xué) 226300)

向量板塊教學(xué)理解的重要性

陳玲鈺

(江蘇省南通市通州區(qū)金沙中學(xué) 226300)

自向量板塊進(jìn)入高中以來，其在工具性作用中體現(xiàn)的愈來愈明顯．但是教師對向量的理解是否能夠準(zhǔn)確的向?qū)W生傳遞？從教學(xué)現(xiàn)狀來看，尚不明確．如何理解向量板塊知識(shí)結(jié)構(gòu)逐步滲透進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)中，向量知識(shí)又是有幾個(gè)核心知識(shí)架構(gòu)的？教師唯有自身理解才能傳遞精髓．

向量;數(shù)學(xué);數(shù)乘;基本定理;數(shù)量積;極化恒等式

從向量板塊的編排來看，向量教學(xué)主要是從下圖完整的結(jié)構(gòu)進(jìn)行的：

向量的概念體現(xiàn)了全新的維度認(rèn)知，以往學(xué)生對維度認(rèn)知主要是一維的代數(shù)，而向量的引入則提升了學(xué)習(xí)維度，從一維向二維的過渡．我們知道，數(shù)軸是一維的，直角坐標(biāo)系是二維的，向量講求的是長度和方向，因此可以這樣理解其二維性，也可以將其后續(xù)坐標(biāo)化之后理解其二維性；向量的加減法正是其矢量特性的體現(xiàn)，其是必備的基礎(chǔ)知識(shí)，有了加減法的認(rèn)知，數(shù)乘的產(chǎn)生才有了真正的意義.要說明的是，其實(shí)向量只有加法，減法不過是相反向量加法的體現(xiàn)，乘法不過是多個(gè)向量的加法而已，因此向量的數(shù)乘也就孕育而生.向量真正的難點(diǎn)和核心都是在向量的基本定理和數(shù)量積中獲得了體現(xiàn).平面向量基本定理告訴了我們:任何一個(gè)向量都可以分解為不共線的兩向量之和，這讓正交分解坐標(biāo)系的理解大大向前推進(jìn)了一大步(后續(xù)用案例說明).最后數(shù)量積的運(yùn)算讓向量重新回到了數(shù)量，讓我們有一種“驀然回首，它卻在燈火闌珊處”的感覺．教學(xué)中，教師通過自身的設(shè)計(jì)，運(yùn)用合理的案例，將這種知識(shí)的理解傳授到位．

一、向量的基本知識(shí)

在筆者看來，向量的概念、加減法、數(shù)乘都屬于向量基本知識(shí)范疇．我們可以這樣理解，向量的概念與物理中矢量的概念類似，既講求方向又講究長度，這足以體現(xiàn)了向量的雙重性，既有方向(幾何性質(zhì))又有長度(代數(shù)性質(zhì))，這為我們后續(xù)解決問題帶來了兩個(gè)不同的視角．而向量的加法恰恰是其代數(shù)性和幾何性的統(tǒng)一，有了加法順勢而為的形成了減法和數(shù)乘．

問題1：給出下列四個(gè)命題：

分析考查向量的基本概念，我們可以從相關(guān)知識(shí)入手思考，對于(1)顯然是不正確的，要深刻體會(huì)向量的雙重性——既有長度又有方向，因此長度相同的向量顯然并不一定是相等向量；對于(2)，向量相等等同于長度和方向都相同，又因?yàn)樗狞c(diǎn)不共線，因此平行四邊形是正確的；對于(3)，顯然是正確的，但是筆者認(rèn)為等量關(guān)系的傳遞性是毋容置疑的，因?yàn)橹v長度關(guān)系是一維的，而一維中長度是具備等量傳遞性的；(4)顯然是不正確的，因?yàn)橄蛄糠较蛴型蚝头聪虻膯栴}，因此僅僅共線是不夠的．

說明：從概念性的基礎(chǔ)問題主要是想滲透一種學(xué)習(xí)的理念，學(xué)習(xí)需要以概念為根本，要從概念的角度去思考問題，這樣的問題解決是有根有據(jù)的，有生命力的．筆者始終認(rèn)為，教學(xué)需要依賴教材，依賴教材最好的體現(xiàn)恰恰是讓我們以概念為本的思考，有這種思考才能更為深刻地理解概念、解決問題．

二、平面向量基本定理

說起平面向量基本定理，是不少教師教學(xué)的“痛點(diǎn)”．那么何為平面向量基本定理呢？怎么教基本定理呢？筆者認(rèn)為教師需要說清兩點(diǎn)：第一，平面向量基本定理類比物理中平拋運(yùn)動(dòng)速度的分解，在平拋運(yùn)動(dòng)中任何時(shí)刻的合速度都可以分解成水平速度的分量和垂直速度的分量，這種分解其實(shí)質(zhì)正是平面向量基本定理的運(yùn)用；第二，可以將平面向量基本定理的一對基底看成是房屋建造中的橫梁和豎梁，只有橫豎得當(dāng)才能建構(gòu)整個(gè)向量大廈，因此基底不可以共線，試想共線的基底如何實(shí)現(xiàn)向量的搭建(分解)？

另一方面，在引入了正交分解之后，向量坐標(biāo)化前所未有的推進(jìn)了向量的使用，這正是向量代數(shù)化的最大作用，因?yàn)檎环纸庾屜蛄看鷶?shù)運(yùn)算的作用放大了，使得更多的證明獲得了機(jī)械化的操作，但是殊不知平面向量基本定理中孕育的斜交分解，體現(xiàn)著更大的理解．來看一個(gè)問題：

說明：平面向量基本定理是向量的核心知識(shí)，是分解的最重要性質(zhì)，但從斜交分解的角度出發(fā)，學(xué)生能更深地理解基本定理，體會(huì)正交分解下的代數(shù)運(yùn)算遠(yuǎn)遠(yuǎn)不如斜交向量下的向量分解運(yùn)用來得廣．因此，深刻理解基本定理是向量教學(xué)的難點(diǎn)和重點(diǎn)．

三、數(shù)量積的變化

向量是非常美妙的章節(jié)，其工具性的作用凸顯無疑，筆者以個(gè)別問題的角度進(jìn)行了融會(huì)貫通式的說明，更多高深的理解還需要進(jìn)一步思考，筆者以自身愚見懇請讀者批評(píng)指正．

[1]方厚石.向量教學(xué)詮釋思維品質(zhì)[J].數(shù)學(xué)通訊,2014(1).

[2]鮑建生等.向量教學(xué)研究[J].數(shù)學(xué)教學(xué),2003(1).

[3]柴賢亭.數(shù)學(xué)教學(xué)中的問題設(shè)計(jì)[J].教學(xué)與管理,2013(10).

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2017-07-01

陳玲鈺(1979.12-)，女，江蘇南通，大學(xué)本科，中學(xué)一級(jí)教師，主要從事高中數(shù)學(xué)教學(xué).

楊惠民]