耿愛成, 史書慧

(沈陽工程學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部, 沈陽 110036)

工程碩士課程“數(shù)值分析”教學(xué)改革研究

耿愛成, 史書慧

(沈陽工程學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部, 沈陽 110036)

從工程碩士的培養(yǎng)目標(biāo)出發(fā),對數(shù)值分析課程進(jìn)行教學(xué)改革探索。首先,從改革教學(xué)理念著手,改變傳統(tǒng)的填鴨式教學(xué)模式,要重視算法的思想方法和計算能力的培養(yǎng),多舉一些工程實際應(yīng)用中的例子,讓學(xué)生認(rèn)識到這門課是非常有用的;其次,在教學(xué)手段上采用了多媒體、板書與MATLAB軟件相結(jié)合的方式,避免了傳統(tǒng)教學(xué)中只用板書的單一模式;另外,在教學(xué)內(nèi)容上做了適當(dāng)?shù)娜∩?在考試題型和成績考核等方面也做了相應(yīng)的改革。以上教學(xué)改革取得了明顯的教學(xué)效果,為提高學(xué)生的數(shù)值計算能力奠定了基礎(chǔ)。

數(shù)值分析; 教學(xué)改革; 數(shù)值計算能力; 工程碩士

0 引 言

隨著計算機(jī)技術(shù)的快速發(fā)展與普及,科學(xué)計算已經(jīng)成為一種重要的科研方法,與科學(xué)計算密切相關(guān)的數(shù)值分析課程也已經(jīng)成為高等學(xué)校工科專業(yè)研究生的一門重要公共基礎(chǔ)課。數(shù)值分析課程的教學(xué)目標(biāo)是使學(xué)生系統(tǒng)掌握數(shù)值分析的基本思想、基本概念、基本理論和基本算法,教學(xué)中以提高學(xué)生數(shù)值計算能力和解決工程實際問題的能力為重點。它與其他數(shù)學(xué)類課程的最大不同點在于它強(qiáng)調(diào)計算機(jī)的應(yīng)用,它不僅提供了利用計算機(jī)進(jìn)行求解數(shù)學(xué)問題的數(shù)值方法,而且為學(xué)生提供了一些解決工程實際問題的近似計算思想,解決了傳統(tǒng)高等數(shù)學(xué)和線性代數(shù)課程中無法解決的計算問題,能夠開拓學(xué)生的視野,培養(yǎng)學(xué)生使用計算機(jī)進(jìn)行科學(xué)與工程計算、解決工程實際問題的能力,這是其他數(shù)學(xué)課程都無法做到的。然而,目前的教學(xué)模式很難達(dá)到這一教學(xué)目標(biāo)。

長期以來,國內(nèi)數(shù)值分析課程教學(xué)中普遍存在教學(xué)理念陳舊,教學(xué)內(nèi)容枯燥,教學(xué)方法單一,理論與實踐嚴(yán)重脫節(jié)等問題,很多高校將數(shù)值分析作為一門純粹的數(shù)學(xué)理論課程來講授,并沒有使用數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行程序設(shè)計,這使學(xué)生很難對數(shù)值分析的一些重要特征(如算法的穩(wěn)定性和計算速度,龍格現(xiàn)象等)有深入的理解,造成傳統(tǒng)教學(xué)中一般只講算法原理和誤差分析,而不涉及數(shù)值實驗。

數(shù)值分析是在沈陽工程學(xué)院工程碩士研究生的公共基礎(chǔ)必修課,其重要性是毋庸質(zhì)疑的。工程碩士的培養(yǎng)側(cè)重解決工程實際問題,在課程的內(nèi)容上也應(yīng)側(cè)重于應(yīng)用性和實踐性。從2012年起,筆者相繼承擔(dān)了沈陽工程學(xué)院電力工程、熱能工程這兩個工程碩士專業(yè)的數(shù)值分析課程。經(jīng)過幾年的教學(xué)積累,數(shù)值分析課程于2015年7月被評為沈陽工程學(xué)院研究生精品課程。在這2年的精品課程建設(shè)過程中,以提高教學(xué)質(zhì)量,培養(yǎng)工程碩士研究生的數(shù)值計算能力、解決工程實際問題的能力為目標(biāo),全面深入教學(xué)改革,在實踐中取得了良好的效果。本文將從以下幾個方面詳細(xì)闡述數(shù)值分析課程改革的思路和措施。這是筆者在教學(xué)過程中的體會,供大家批評指正。

1 數(shù)值分析課程教學(xué)改革的思路和措施

1.1 教材與教學(xué)內(nèi)容合理取舍

數(shù)值分析課程內(nèi)容多,課時少,只有40學(xué)時。在學(xué)時非常有限的情況下,考慮到沈陽工程學(xué)院培養(yǎng)的對象為工程碩士研究生,因此必須在教材和教學(xué)內(nèi)容上進(jìn)行合理取舍。目前選用的是由全國工程碩士專業(yè)學(xué)位教育指導(dǎo)委員會推薦使用的《數(shù)值方法》[1]。在內(nèi)容上主要選取線性代數(shù)方程組直接求解法和迭代解法,非線性方程的數(shù)值解法,插值法,曲線擬合,數(shù)值積分與數(shù)值微分,常微分方程初值問題的數(shù)值解法。

1.2 由實例導(dǎo)入新課

表1 應(yīng)用實例Tab.1 Application examples

在教學(xué)中,每章采用一個工程方面的實際例子來引入新課,通過實例引出相關(guān)的基本概念,通過近似計算的思想來介紹一些基本算法的原理,在對算法的分析過程中,進(jìn)行相關(guān)數(shù)值穩(wěn)定性、收斂速度等方面的分析。這樣的實例導(dǎo)入教學(xué)不僅能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,讓學(xué)生帶著問題學(xué)習(xí),將被動式教學(xué)轉(zhuǎn)為與學(xué)生互動式教學(xué),而且能提高學(xué)生分析問題和解決工程實際問題的能力。下面的表格列舉了數(shù)值分析相關(guān)問題的應(yīng)用實例[2]。

1.3 強(qiáng)調(diào)算法原理和計算方法

數(shù)值分析不能像純數(shù)學(xué)那樣只研究數(shù)學(xué)本身的理論,而是要把數(shù)學(xué)理論與計算機(jī)緊密地結(jié)合起來。針對數(shù)值分析的特點,在講授時既要重視基本思想、概念、方法,又要重視它的實際應(yīng)用及綜合能力的培養(yǎng)。然而在傳統(tǒng)的教學(xué)中,教師只一般重視基本概念和算法的數(shù)學(xué)公式,通過繁瑣的理論推導(dǎo)來演示算法的來由,這樣學(xué)生會覺得數(shù)值分析課程太枯燥無味,為了應(yīng)付考試只能死記硬背一些公式,隨著時間的流逝,學(xué)生會逐漸淡忘曾經(jīng)背過的公式,對算法的基本思想也忘得一干二凈,完全不能體會到這門課的實用性。為了能讓學(xué)生掌握這門課程的知識精華,教師一定要重視算法原理的講授,給學(xué)生講清數(shù)學(xué)家是如何運(yùn)用近似逼近的思想得到一個算法的,該算法的數(shù)值穩(wěn)定性如何,精度和收斂速度怎樣,為了改進(jìn)原有算法的精度和收斂速度,數(shù)學(xué)家們又是如果把原有算法進(jìn)行改進(jìn),從而得到另外一個算法的。學(xué)生只要把這些算法的基本思想、原理理解了,才能將它們牢記。對那些過于繁瑣的算法公式可以不講理論推導(dǎo),直接給出算法的公式和MATLAB程序,讓學(xué)生知道如何用軟件來求解就可以了。比如,在講授3次樣條插值函數(shù)時,由于3次樣條函數(shù)的理論推導(dǎo)和計算非常繁瑣,所以教師在介紹完3次樣條插值函數(shù)的定義和各種邊界條件以后,直接引入MATLAB中的內(nèi)置函數(shù)csape命令,給學(xué)生演示用csape命令是如何輕松完成3次樣條插值函數(shù)計算的[3]。

1.4 板書、課件與MATLAB軟件有機(jī)結(jié)合

數(shù)值分析課程具有“概念多、算法多、公式多、圖形多、理論推導(dǎo)繁瑣”等特點,所以需要把板書、課件與MATLAB軟件結(jié)合使用。對例題、基本概念及算法的推導(dǎo)等內(nèi)容,若能使用課件教學(xué),不但能提高教學(xué)的效率,而且能讓學(xué)生對所講知識有深刻理解,例如在講授龍格現(xiàn)象、曲線擬合等問題時,若能使用MATLAB軟件編程,然后通過屏幕來直觀演示必能使學(xué)生理解深刻。但是在給學(xué)生分析一些重要算法的穩(wěn)定性、收斂速度等問題的時候,為了讓學(xué)生能跟上老師的思路,教師應(yīng)該用板書來推導(dǎo),這樣有利于學(xué)生理解和記憶,達(dá)到理想的教學(xué)效果。

數(shù)值分析中每種數(shù)值算法的計算過程通常是非常復(fù)雜的,在傳統(tǒng)教學(xué)中,教師為了節(jié)省時間,基本上不會給學(xué)生演示計算的過程,推導(dǎo)出算法的計算公式后只告訴學(xué)生計算的步驟。對傳統(tǒng)的數(shù)值分析實驗課是采用計算機(jī)高級語言編程實現(xiàn),但學(xué)生卻往往因為一個小的語法錯誤就使得程序無法繼續(xù)下去,既耗費(fèi)了時間也喪失了數(shù)值實驗的趣味性。在學(xué)生熟悉了算法的原理和計算公式后,教師應(yīng)該引入專門的數(shù)學(xué)軟件(比如MATLAB、mathematica),將學(xué)生的注意力從編程過程轉(zhuǎn)移到問題解決上,不但能提高教學(xué)效率,而且能加深學(xué)生對課程中所涉及的數(shù)學(xué)原理、方法實現(xiàn)的理解,為學(xué)生快速、準(zhǔn)確地完成復(fù)雜計算提供有效的教學(xué)手段和途徑,從而提高學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識、方法解決實際問題的能力。教學(xué)中要給學(xué)生演示編程的詳細(xì)過程,讓學(xué)生觀察用MATLAB軟件解題是多么輕松快捷,調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)積極性、主動性。教師在編程時不但要解釋每行語句的含義,更要嘗試用MATLAB軟件自帶的各種命令來編程,讓學(xué)生感受到MATLAB軟件功能的強(qiáng)大,學(xué)生課后通過反復(fù)編程訓(xùn)練,計算能力一定能得以提高。教師在授課過程中,教師不但要把重要的算法的MATLAB函數(shù)文件編好供學(xué)生學(xué)習(xí)參考,而且要給學(xué)生講授MATLAB本身所提供的內(nèi)置函數(shù)命令,同時要把數(shù)值計算方法與內(nèi)置函數(shù)作比較。例如,在講解拉格朗日插值的時候應(yīng)該介紹interp1的使用方法;在講樣條插值時應(yīng)介紹csape,spline等命令;在講解曲線擬合的時應(yīng)該介紹polyfit,cftool,polytool,lsqcurvefit, lsqnonlin等命令;在講矩陣三角分解應(yīng)介紹lu命令;在講數(shù)值積分時應(yīng)介紹quad,quadl,trapz等命令;在講微分方程數(shù)值解的時應(yīng)介紹ode23,ode45等命令。這些內(nèi)置函數(shù)用法非常簡單,學(xué)生很容易掌握。

1.5 編寫數(shù)值分析實驗輔導(dǎo)書、開設(shè)數(shù)值實驗課

很多高校因為學(xué)時有限而沒有開設(shè)數(shù)值分析實驗課,學(xué)生會因為用手動計算太麻煩而根本不參與直接計算。久而久之,學(xué)生會覺得數(shù)值分析課程不實用,產(chǎn)生厭煩情緒。因此,開設(shè)數(shù)值分析實驗課,并編寫一本數(shù)值分析實驗輔導(dǎo)書是非常必要的?？梢詫嶒烆}分為兩類:必做題與選做題。從實驗類型上又可以分:基本題型和綜合題型。綜合題型要選用具體工程實際問題,讓學(xué)生從實際問題→建立數(shù)學(xué)模型→選擇數(shù)值計算方法→程序設(shè)計→計算出結(jié)果并分析→撰寫論文,這樣的訓(xùn)練過程對學(xué)生將來參加數(shù)學(xué)建模競賽和撰寫學(xué)術(shù)論文、畢業(yè)論文都有很大幫助。通過在計算機(jī)上進(jìn)行數(shù)值實驗,加深了學(xué)生對數(shù)值分析的基本概念、基本方法、基本思想的理解,提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,提高了學(xué)生編制程序能力、數(shù)值計算能力及使用數(shù)學(xué)解決實際問題的綜合能力。

1.6 同一題目,采用不同數(shù)值計算算法和MATLAB內(nèi)置函數(shù)

數(shù)值分析中每個實際問題都涉及多種不同的算法,在教學(xué)過程中教師應(yīng)該把各種算法的適用條件、優(yōu)缺點、數(shù)值穩(wěn)定性、收斂速度等方面給學(xué)生講清楚,然后針對一個具體的實際問題,采用不同的算法進(jìn)行編程,然后對結(jié)果進(jìn)行比較和分析,這是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)值計算能力的很好方式。例如在講授非線性方程求根的時候,對同一個題目可以采用二分法、不動點迭代法、牛頓迭代法、斯蒂芬森迭代法、弦截法,以及MATLAB軟件中的內(nèi)置函數(shù)fzero,fsolve,roots等來實現(xiàn)。

1.7 編寫課后習(xí)題全解、豐富習(xí)題課

目前選用的教材[1]課后習(xí)題沒有詳細(xì)的答案,有的題有些難度,學(xué)生在自學(xué)的過程中存在諸多困難。為了解決這個問題,編寫了課后習(xí)題的詳細(xì)答案供學(xué)生學(xué)習(xí)參考。由于課后習(xí)題數(shù)目有限,教師可以補(bǔ)充一些題目供學(xué)生課后練習(xí)。同時要多收集日常生活中常見的,學(xué)生比較感興趣的實際問題或者工程案例,留給學(xué)生課后自己獨(dú)立完成或者小組完成,學(xué)生通過自己的努力將問題解決后會感覺到數(shù)值分析課程的實用性,從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。

1.8 建立輔導(dǎo)答疑制度

由于數(shù)值分析課時(40學(xué)時)非常有限,如果全靠教師上課來講授,同時還要在課上給學(xué)生介紹MATLAB軟件,那么要想完成教學(xué)任務(wù)是非常難的。因此,引導(dǎo)學(xué)生通過自學(xué)來擴(kuò)展知識面、了解一些新的數(shù)值方法及其相關(guān)理論是非常有益的。比如教師在講授非線性方程求根這一章時,二分法、不動點迭代法、埃特金加速法、斯蒂芬森迭代法、牛頓迭代法可以由教師來講授,至于牛頓下山法、弦截法、拋物線法及非線性方程組求根的牛頓迭代法可以安排學(xué)生自學(xué),把學(xué)生分成小組進(jìn)行討論。然后,利用課后時間跟學(xué)生進(jìn)行互動討論,把學(xué)生們不懂的地方講解一下。同時,每兩周安排一次固定的輔導(dǎo)答疑時間,及時解決學(xué)生不懂的問題。通過這種方式不但增加了師生的友誼,而且能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)成績。

1.9 積極參與數(shù)學(xué)建模競賽

數(shù)學(xué)建模就是用數(shù)學(xué)方法解決實際問題,數(shù)學(xué)建模過程的一般步驟為:(1)形成問題(2)模型假設(shè)(3)模型的建立(4)模型求解(5)模型分析(6)模型檢驗與修正(7)模型的應(yīng)用。在模型求解這個步驟中,經(jīng)常涉及到數(shù)值分析中的各種算法,因此數(shù)值分析課程對解決實際問題至關(guān)重要。在教學(xué)過程中,若能通過實際案例將數(shù)學(xué)建模的思想融入到教學(xué)中,這對培養(yǎng)學(xué)生解決實際問題的能力是非常有幫助的。沈陽工程學(xué)院的研究生每年在參加全國研究生數(shù)學(xué)建模競賽和東三省數(shù)學(xué)建模競賽中都取得了優(yōu)異的成績。

1.10 改革考試考核方法

考核采用期末考試與平時考核相結(jié)合的方法。期末考試采用閉卷考核方式,滿分100分,考試時間150分鐘。試題主要考查學(xué)生對數(shù)值分析基本概念、理論、方法及其應(yīng)用的掌握程度,題型分為填空題、選擇題、計算題、分析題、程序設(shè)計題,期末考試成績占總評成績80%;平時考核成績占總評成績20%,平時考核內(nèi)容有出勤情況、自學(xué)討論表現(xiàn)、作業(yè)完成情況和上機(jī)實驗情況。

1.11 參與導(dǎo)師的科研項目

電力工程與動力工程這兩個專業(yè)中的許多研究問題都涉及到數(shù)值計算方法,鼓勵學(xué)生積極參與到導(dǎo)師的科研項目中去,讓學(xué)生承擔(dān)題目科研項目中有關(guān)數(shù)值計算方面的工作,用數(shù)值分析課上所學(xué)到的知識解決自己研究方向中存在的問題,使學(xué)生能學(xué)以致用,體會到學(xué)習(xí)的樂趣。

2 結(jié) 語

本文提出了數(shù)值分析課程教學(xué)改革的思路與措施,采用板書、多媒體課件與MATLAB軟件結(jié)合的教學(xué)手段。數(shù)值分析課程的教學(xué)改革需要教師不斷探索,在數(shù)值分析的教學(xué)中要樹立如下教學(xué)指導(dǎo)思想:以學(xué)生為中心,以科學(xué)計算方法為主線,以數(shù)學(xué)軟件為工具,培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)方法求解實際問題能力,同時在教學(xué)中加深學(xué)生對計算方法基礎(chǔ)、理論、應(yīng)用的直觀理解,加強(qiáng)數(shù)值分析課程建設(shè)、努力培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)計算能力。在課程教學(xué)中既要教會學(xué)生掌握成熟的有效的計算方法,又要教會學(xué)生如何建立逼近論的思想、如何靈活地構(gòu)造新的數(shù)值算法,采取精講多練、案例式、啟發(fā)式等教學(xué)方法,培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和數(shù)值計算能力。

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Teachingreformsof“NumericalAnalysis”forengineeringmaster

GENGAicheng,SHIShuhui

(Department of Preparatory, Shenyang Institute of Engineering, Shenyang 110036, China)

Starting from the training objective of Master of Engineering, the teaching reform of numerical analysis course is explored. First of all, starting from the reform of teaching philosophy, changing the traditional cramming teaching mode, we should pay attention to the method of thinking and calculating ability of the algorithm, give some examples of engineering practice to make students realize that this course is very useful; Secondly, the combination of multimedia, blackboard and MATLAB software in teaching methods avoids the single mode of using only the blackboard in the traditional teaching. In addition, we have made appropriate choices in the teaching content, and have also done some reforms in exam questions type and performance evaluation. The above teaching reform has made obvious teaching effect, which lays the foundation for improving students’ numerical calculation ability.

numerical analysis; teaching reform; numeral calculation capability; master of engineering

2016-08-26。

遼寧省教育廳科學(xué)研究一般項目(L2014525)。

耿愛成(1979-),男(滿族),遼寧開原人,沈陽工程學(xué)院講師,碩士。

1673-5862(2017)04-0494-04

G642.0

A

10.3969/ j.issn.1673-5862.2017.04.022