侴萬禧, 門 博

(1. 安徽理工大學(xué) 土木建筑學(xué)院, 安徽 淮南 232001;2. 沈陽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 沈陽 110034)

理論與應(yīng)用研究

3t+1階幻立方的一種構(gòu)造方法

侴萬禧1, 門 博2

(1. 安徽理工大學(xué) 土木建筑學(xué)院, 安徽 淮南 232001;2. 沈陽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 沈陽 110034)

對幻立方給以簡單介紹,闡明幻立方的均衡結(jié)構(gòu)特性,由客船沉沒的原因指出幻立方的應(yīng)用價(jià)值。給出了幻立方的一種構(gòu)造方法,闡明了3t+1幻立方的構(gòu)造思路和基本步驟。介紹了3t+1階幻立方構(gòu)造過程,按照這種構(gòu)造步驟,給出了t=3時(shí)的情況下,10階幻立方的構(gòu)造全過程及每一個(gè)步驟中的相應(yīng)結(jié)果。最后得到10階幻立方的10個(gè)幻方,解決了3t+1幻方的計(jì)數(shù)問題。

幻方; 幻立方; 計(jì)數(shù)

0 引 言

13世紀(jì),中國南宋數(shù)學(xué)家楊輝在世界上首先開展了對幻方的系統(tǒng)研究,歐洲14世紀(jì)也開始了這方面的工作。著名數(shù)學(xué)家費(fèi)爾瑪、歐拉都進(jìn)行過幻方研究。如今,幻方仍然是組合數(shù)學(xué)的研究課題之一,經(jīng)過一代代數(shù)學(xué)家與數(shù)學(xué)愛好者的共同努力,幻方與它的變體所蘊(yùn)含的各種神奇的科學(xué)性質(zhì)正逐步得到揭示[1-3],已在組合分析、實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)、圖論、數(shù)論、群、對策論、紡織、工藝美術(shù)、程序設(shè)計(jì)、人工智能等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。

幻立方是幻方向三維空間的自然延伸,是由自然數(shù)1到n組成邊長為n的正方體,將n3個(gè)自然數(shù)按順序依次填入n×n×n立方體中,如圖1所示。由上向下是從第1層到第n層的n個(gè)劃分,每一層均是n行×n列的一個(gè)正方形,稱之為一個(gè)直剖面或一個(gè)方陣。同理,立方體還有另2個(gè)方向的直剖面:從后向前方向的剖面,從左到右方向的剖面?；昧⒎绞且环N軸對稱和中心對稱圖形,具有神奇的均衡結(jié)構(gòu)[4-6]。

依據(jù)“歲月”號客船向一側(cè)傾覆的視頻,可以判斷“歲月”號客船沉沒的原因是該客船在沉沒瞬間承受著巨大的偏心力,這個(gè)巨大的偏心力是船上的集裝箱等物品的不均勻荷載造成的,不均勻的荷載來源于貨物的扎堆亂放。各類船只在啟航前,運(yùn)用幻立方構(gòu)造的思路,將船上的集裝箱堆成荷載對稱于中心線的長方體頗有必要。

幻立方的構(gòu)造方法比較復(fù)雜[7-9],多重幻方是一個(gè)典型的NP難題[10-12],利用計(jì)算機(jī)搜索幻方的時(shí)間復(fù)雜度是超乎人們想象的。

1 基本思路

本文的3t+1階幻立方的構(gòu)造可概括為以下幾個(gè)步驟。

步驟1 將S=[1,2,3,…,n3]中的n3個(gè)自然數(shù)按順序依次填入n×n×n立方體的n個(gè)截面上,使得n個(gè)截面上出現(xiàn)n×n個(gè)沿水平線排列的級數(shù)序列和n×n個(gè)沿垂線排列的級數(shù)序列,從而形成n×n個(gè)級數(shù)序列的n個(gè)劃分----方陣B(1),B(2),…,B(n)。

步驟2 將方陣B(1),B(2),…,B(n)各劃分成4個(gè)子矩陣:1個(gè)t×t方陣,1個(gè)(2t+1)×(2t+1)方陣,2個(gè)長方矩陣為t×(2t+1)和(2t+1)×t階的。

步驟3 令2個(gè)長方矩陣中的2t個(gè)序列與(2t+1)×(2t+1)方陣中的2t個(gè)序列相互置換,令t×t方陣中的t×t個(gè)自然數(shù)重新排列成一個(gè)幻方,即得3t+1階幻立方的10個(gè)幻方M(1),M(2),M(3),…,M(10)。

2 取t=3的10階幻立方

下面是10階幻立方的構(gòu)造步驟。

步驟1 將S=[1,2,3,…,1 000]中的1 000個(gè)自然數(shù)按順序依次填入10×10×10立方體的10個(gè)截面上,使得10個(gè)截面上出現(xiàn)10×10個(gè)沿垂線排列的級數(shù)序列,從而形成10×10個(gè)級數(shù)序列的10個(gè)劃分----方陣A(1),A(2),…,A(10)。

A(1)=123456789101111121131141151161171181191202212222232242252262272282292303313323333343353363373383393404414424434444454464474484494505515525535545555565575585595606616626636646656666676686696707717727737747757767777787797808818828838848858868878888898909919929939949959969979989991000A(2)=11121314151617181920121122123124125126127128129130231232233234235236237238239240341342343344345346347348349350451452453454455456457458459460561562563564565566567568569570671672673674675676677678679680781782783784785786787788789790891892893894895896897898899900901902903904905906907908909910A(3)=3132333435363738393131132133134135136137138139140241242243244245246247248249250351352353354355356357358359360461462463464465466467468469470571572573574575576577578579580681682683684685686687688689690791792793794795796797798799800801802803804805806807808809810911912913914915916917918919920 …A(10)=1020304050607080901001911921931941951961971981992002912922932942952962972982993003913923933943953963973983994004914924934944954964974984995005915925935945955965975985996006916926936946956966976986997007917927937947957967977987998008918928938948958968978988999009919929939949959969979989991000

步驟2 將方陣A(1),A(2),A(3),…,A(10)各劃分成4個(gè)子矩陣:1個(gè)7×7方陣,1個(gè)3×3方陣,2個(gè)長方矩陣為3×7和7×3階的。

B(1)=11121314151617181911021121221321421521621721821922032132232332432532632732832933043143243343443543643743843944054154254354454554654754854955065165265365465565665765865966076176276376476576676776876977087187287387487587687787887988098198298398498598698798898999009209309409509609709809901000B(2)=2122232425262728292103113123133143153163173183193204214224234244254264274284294305315325335345355365375385395406416426436446456466476486496507517527537547557567577587597608618628638648658668678688698709719729739749759769779789799810810830840850860870880890900901911921931941951961971981991B(3)=3132333435363738393104114124134144154164174184194205215225235245255265275285295306316326336346356366376386396407417427437447457467477487497508518528538548558568578588598609619629639649659669679689699710720730740750760770780790800801811821831841851861871881891902912922932941952962972982992 …B(10)=102030405060708090100101111121131141151161171181191202212222232242252262272282292303313323333343353363373383393404414424434444454464474484494505515525535545555565575585595606616626636646656666676686696707717727737747757767777787797808818828838848858868878888898909919929939949959969979989999

步驟3 令7×7方陣中3條線上的序列與右側(cè)長方矩陣中3條垂線上的序列相互置換;令7×7方陣中的另外3條線上的序列與左下長方矩陣中的3條水平線上的序列相互置換;令7×7方陣中剩余線上的7個(gè)數(shù)保持原位不動;令3×3方陣中9個(gè)自然數(shù)重新排列成幻方,最后,得10階幻立方的10個(gè)幻方M(1),M(2),M(3),…,M(10)。

M(1)=16975864757188399603642431229701129168757672884940535423385991022319281679738516465344748869920334293182716275064551727588099304453942833161756638427376881994055649514221607596485374708829950667253132112133244355466576110277888910004255366475116220331488998078863741152263304415526990798879M(2)=26985874767198409613652441239611139268857772985040635523486090122419382678739517466345749870911335294183726285074561737598109214463952843261856758527476982093155749614322608597486375709830941668254133122143254365476586210377989099142653764854216320431590097178963842153264305416527981799880M(3)=3699588477720841962366245124962114936895787308414073562358519022251948367974051846734675086191233629518473629508457174760801922447396285336195683862757708119325584971442360959848737671082194266925513413215326437548659631047808819924275386495316420531689197279063943154265306417528982800871M(4)=4700579478711832953367246125963115946905797218424083572368529032261958468073151946834774186291333729618574630509458175751802923448397286346205693872767618129335594981452461059948837770182294367025613514216327438549660641057718829934285396505416520631789297378164044155266307418529983791872M(5)=5691590479712833954368247126964116956815807228434093582378539042271968567173252046934874286391433829718675621510459176752863924449398287356115703882777628139345604991462560160048937670282394466125713615217328439550651651067728839944295406415511620731889397478263145156267308419530984792873M(6)=6692581480713834955369248127965117966825717238444103592388549052281978667273351147034974386491533929818776622501460177753804925450399288366125613892787638149355515001472660259149037970382494566225813716218329440541652661077738849954365316425616720831989497578363246157268309420521985793874M(7)=769353247171483595637024912896611897683572724845401360239855906229198876737345124613507448659163402991887762350245117875480592644140028937631562390279764815936552491148276035924813807048259466632591381721933043154265367108774885996421532635716820932089597678463347158269310411522986794875M(8)=8694583472715836957361250129967119986845737258464023512408569072301998867473551346234174586691733130018978624503452179755806927442391290386145633812807658169375534921492860459348237170582694766426013918220321432543654681097758869974225336445816921031189697778563448159270301412523987795876M(9)=9695584473716837958362241130968120996855747268474033522318579082212008967573651446334274686791833229119079625504453180756807928443392281396155643822817668179385544931502960559427137270682794866525114019211322433544655691107768879984235346455917020131289797878663549160261302413524988796877 …M(10)=106965854747178389593632421219691211006865757278484043532328589092221919067673751546434374786891933329218180626505454171757808929444393282406165653832727678189395554941413060659548437370782894966625213120212323434545656701017778889994245356466016120231389897978763650151262303414525989797878

以上所得的幻立方矩陣系2D幻方矩陣,倘若將該立方矩陣實(shí)施下列措施:1)令矩陣M(1)中的10個(gè)序列保持原位;2)令矩陣M(2)中的10個(gè)序列上移1個(gè)行距;3)令矩陣M(3)中的10個(gè)序列上移2個(gè)行距;4)令矩陣M(4)中的10個(gè)序列上移3個(gè)行距;…;10)令矩陣M(3)中的10個(gè)序列上移9個(gè)行距,則得10階3D幻立方的10個(gè)幻方C(1),C(2),C(3),…,C(10)如下:

C(1)=16975864757188399603642431229701129168757672884940535423385991022319281679738516465344748869920334293182716275064551727588099304453942833161756638427376881994055649514221607596485374708829950657253132112133244355466576110277888910004255366475116220331488998078863741152263304415526990798879C(2)=9611139268857772985040635523486090122419382678739517466345749870911335294183726285074561737598109214463952843261856758527476982093155749614322608597486375709830941668254133122143254365476586210377989099142653764852163204315900971789638421532643054165279817998802698587476719840951365244123C(3)=8519022251948367974051846734675086191233629518473629508457174760801922447396285336195683862757708119325584971442360959848737671082194266925513413215326437548659631047808819924275386495316420531689197279063943154265306417528982800871369958847772083195236624512496211493689578730841407356235C(4)=7418629133372961857463050945817575180292344839728634620569387276761812933559498145246105994883777018229436702561351421632743354966064105771882993428539650541652063178929737816404415526630741852998379187247005894787118329533672461259631159469057972184240835723685290322619584680731519468347C(5)=3882777628139345604991462560160048937670282394466125713615217328439550651651067728839944295406415516620731889397478263145156267308419530984792873569159047971283395436824712696411695681580722843409358237853964227196856717325204693487428639143382971867562151045917675280392444939828735611570C(6)=3892787638149355515001472660259149037970382494566225813716218329440541652661077738849954365316425616720831989497578363246157268309420521985793874669258148071383495536924812796511796682571723844410359238854905228197866727335114703497438649153392981877662250146017775380492545039928836612561C(7)=5924813807048259466632591381721933043154265367108774885996421532643571682093208959767846334715826931041152298679487576935824717148359563702491289661189768357272484540136023985590622919887673734512461350744865916340299188776235024511787548059264414002893761356239027976481593655249114827603C(8)=2203214325436546810977588699742253364458169210311896977785634481592703014126239877968768694583472715836357361250129967119986845737258464023512408569072301998867473551346234174586691733130018978624503452179755806927442391290386145633812807658169375534921492860459348237170582694766426013918C(9)=42353464559170201312897978786635491602613024135249887968779695584473716837958362241130968120996855747268474033522318579082212008967573651446334274686791833229119079625504453180756807928443392281396155643822717668179385544931502960559448337270682794866525114011921132243354465569110776887998 …C(10)=636501512623034145259897978781069658547471783895936324212196911110068657572784840435323285890922219190676737515464343747868919333292181806265054541717578089294443932824061656538327276781893955549414130606595484373707828949666252131202123234345456567010177788899942453564660161202313898979787

3 結(jié) 語

本文的貢獻(xiàn)是:1)發(fā)現(xiàn)了3t+1階幻立方的構(gòu)造方法;2)構(gòu)造出10階幻立方的10個(gè)幻方M(1),M(2),M(3),…,M(10);3)解決了N階幻立方的計(jì)數(shù)問題。作者的期待是讓幻立方的基本思路在集裝箱運(yùn)輸領(lǐng)域及其他更多領(lǐng)域中得到廣泛的應(yīng)用[13]。

[ 1 ]DENES J. Latin squres and their application[M]. Budapest:Akademiai kiado, 1974.

[ 2 ]楊富鋒. 構(gòu)造奇次同心幻方的一種方法[J]. 數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識, 2006,36(5):192-199.

[ 3 ]楊驊飛,王朝瑞. 組合數(shù)學(xué)及其應(yīng)用[M]. 北京:北京理工大學(xué)出版社, 1992.

[ 4 ]曹小琴,高治源,周瑋媛. 用兩個(gè)正交拉丁幻方構(gòu)造2n+1階完美幻方的一種簡便方法[J]. 寧夏大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2004,25(2):119-123.

[ 5 ]汪潘義. 偶數(shù)階幻方矩陣行列式的研究[J]. 合肥學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2010,20(1):23-26.

[ 6 ]歐陽錄. 最佳拉丁方與高級原幻方[J]. 數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用, 2001,21(3):22-28.

[ 7 ]俞萬禧. 20階正交拉丁方的構(gòu)造[J]. 淮南工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào), 2000,20(3):55-60.

[ 8 ]俞萬禧. 3t+1階正交拉丁方構(gòu)造的新方法----圖表法[J]. 礦業(yè)科學(xué)技術(shù), 2001,29(4):45-50.

[ 9 ]劉玉君. Turbo碼中幻方交織器的研究與設(shè)計(jì)[J].信息工程大學(xué)學(xué)報(bào), 2006,7(4):291-395.

[10]祝寶滿,龔和林. 非素?cái)?shù)階幻方的構(gòu)造[J]. 數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識, 2008,38(15):207-214.

[11]陳劍南. 素?cái)?shù)階均衡完美幻方若干問題初探[J]. 計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用, 2005,45(21):179-182.

[12]姜偉,劉彥佩. 幾類4-正則平面圖的最小折數(shù)縱橫擴(kuò)張[J]. 沈陽師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2007,25(2):129-134.

[13]歐陽錄. 幻方與幻立方的當(dāng)代理論[M]. 長沙:湖南教育出版社, 2004.

Amethodofconstructingmagiccubesoforder2t+1

CHOUWanxi1,MENBo2

(1. School of Civil Engineering and Architecture, Anhui University of Science and Technology, Huainan 232001, China; 2. College of Mathematics and Systems Science, Shenyang Normal University, Shenyang 110034, China)

The problem of magic cubes is introduced. The characteristics of equilibrium structure of magic cubes is clarified in this paper. The application value of magic cubes is pointed out by analyzing the reason of a ship sank. A method to construct 3t+1 order magic cubes is discovered. The basic procedure of constructing 3t+1 order magic cubes is described. The procedure of constructing 3t+1 order magic cubes is presented. According to this construction steps, the procedure of constructing 10 order magic cubes is given fort=3 and the corresponding rusults to each step is obtained. Finally, 10 magic cubes of 10 order magic cube is obtained and the enumeration problem of 3t+1 order magic cube is solved.

magic cubes; construction;enumeration proble

2017-05-16。

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11201313)。

侴萬禧(1930-),男,遼寧大連人,安徽理工大學(xué)教授。

1673-5862(2017)04-0461-05

O157

A

10.3969/ j.issn.1673-5862.2017.04.016