陳建新

(浙江省義烏市廿三里初中 322013)

1 從幾何發(fā)展史看幾何變換

以《幾何原本》為代表的古希臘數(shù)學(xué)將邏輯學(xué)引入幾何，開創(chuàng)了用定義、公理(也包括公設(shè))、定理來闡釋幾何的公理化邏輯論證的先河，以邏輯推理能力為主要表現(xiàn)的理性精神得到充分顯現(xiàn).但是希臘幾何缺乏對于運動的闡釋，在整個《幾何原本》[1]中，并沒有從圖形運動變化的角度來認(rèn)識圖形及幾何問題，《幾何原本》中關(guān)于圖形的數(shù)量及位置關(guān)系的討論完全是靜止地、技巧地構(gòu)造三角形全等的方法來展開的．在解析、分析及集合論、群論的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的幾何變換可以有效地解決傳統(tǒng)歐氏幾何課程中的上述不足．把幾何變換引入傳統(tǒng)歐氏幾何既能保持歐氏幾何在論證上的優(yōu)點，又能很好地克服歐氏幾何所缺乏運動變換的觀念．

1872年， 德國數(shù)學(xué)家克萊因在《愛爾蘭根綱領(lǐng)》中將幾何變換用于認(rèn)識歐氏幾何，促成了人類對幾何本質(zhì)的深刻認(rèn)識:“一種特定的幾何學(xué)就是研究圖形在一個特定的變換群下維持不變的那些性質(zhì)的學(xué)問．例如，平面的歐氏幾何，是那些圖形性質(zhì)在旋轉(zhuǎn)、平移、鏡射以及相似性下維持不變的研究．因此，當(dāng)兩個三角形全等時，如果由歐氏的一個對稱、一個平移、一個旋轉(zhuǎn)，以及可能是一個鏡射的組合變換，其中一個可以變換到另一個．”[2]“幾何學(xué)中的不同方向采用的起始公設(shè)就可以這樣來表征，即它們都是處理某個簡單的線性變換群的不變理論．”[3]于是同一類里的所有圖形所共有的幾何性質(zhì)和幾何量就是這個變換群下的不變性與不變量；反過來，如果圖形在這個變換群中一切變換下的不變性和不變量必定是同一個等價類中一切圖形所共有的性質(zhì)．這樣就可以利用變換群的觀點來討論或研究相應(yīng)的幾何學(xué)[4]．

由于歐氏平面上的正交變換構(gòu)成群，因此可以利用正交變換建立合同(全等)概念，即一個圖形與經(jīng)過正交變換所得到的對應(yīng)圖形合同．這樣歐氏幾何就成為研究同一等價類里一切圖形所共有的性質(zhì)，圖形關(guān)于正交變換群下的不變性、不變量所構(gòu)成的所有命題就自然構(gòu)成歐氏幾何的研究內(nèi)容．從而，從幾何變換的觀點來認(rèn)知幾何，不僅幾何的本質(zhì)能夠得到深刻的揭示，而且從幾何變換的觀點揭示幾何，還能很好地溝通幾何與現(xiàn)代數(shù)學(xué)的聯(lián)系，有力地消除歐氏幾何的“孤島”效應(yīng)，正如史寧中所說“……，把變換的思想講了，……，這樣就能克服兩個缺點:知識陳舊和不直觀的問題”[5]．

縱觀當(dāng)前我國的初中數(shù)學(xué)，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)基本思想是新課標(biāo)明確提出的教學(xué)基本要求.幾何變換本身及其應(yīng)用過程蘊含了豐富的數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論、建模等基本數(shù)學(xué)思想；另一方面，從實用的角度看，幾何變換問題是中考壓軸題的難點熱點問題，運動觀點的應(yīng)用也有利于初中生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題.幾何變換的思想拓寬了認(rèn)知初中幾何課程的視野，用幾何變換的方法來處理初中幾何課程的難點問題是“把教學(xué)建立在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的思想基礎(chǔ)上，使中學(xué)課程的風(fēng)格和語言接近于現(xiàn)代數(shù)學(xué)的風(fēng)格和語言，使學(xué)生的思維向現(xiàn)代數(shù)學(xué)思維發(fā)展”[6]的一個顯著體現(xiàn)，已經(jīng)越來越受到重視．我國2011版的義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)就明確規(guī)定了有關(guān)幾何變換的課程內(nèi)容[7]，[8].

2 例談初中幾何中的幾何變換

2.1 全等變換

在平面到自身的一一變換下，如果任意線段的長和它的象的長總相等，那么這種變換叫做全等變換，或稱合同變換.一般來說，初中教科書中都只是簡單地指出“能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形”，但是如何才能實現(xiàn)處于特定位置上的兩個圖形(線段、三角形等)之間的重合呢?下面，我們從幾何變換的角度來討論.

2.1.1 平移變換

平移變換就是將平面圖形上的所有點都按固定的方向，移動相同的距離.也就是說，平移變換將平面上的所有點都進(jìn)行一次平行移動，保持各條線段長度，各條直線所形成的角度不發(fā)生變化.也可以認(rèn)為平移變換只是改變了圖形的位置，不改變圖形的大小和特征.

例1如圖1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC和BD相交于點E，已知∠DBC=60°，BD=12 且BE∶ED=5∶1，求梯形ABCD的腰長.

圖1

分析與解由于兩條對角線相交，不直接構(gòu)成三角形，因此，可以考慮“平移變換”使兩條對角線在同一三角形中，這樣就可以使條件聚集，從而使問題得以解決.

評析此題是平移變換的一個最基本應(yīng)用.AC平移到DF的變換過程保持了線段大小不變即DF=AC，角度不變即∠DFB=∠ACB，將分散的條件集中到等邊△BDF中，從而為求解提供了可能.

2.1.2 軸對稱變換

由一個圖形變?yōu)榱硪粋€圖形，并使這兩個圖形關(guān)于某一條直線成軸對稱，這樣的圖形改變叫做圖形的軸對稱變換.連接新圖形與原圖形中每一組對應(yīng)點的連接線段都被同一條直線垂直平分，每組對應(yīng)點互為對稱點，垂直平分對稱點所連線段的直線叫做對稱軸.在變換前后圖形中的對應(yīng)線段大小和所成的夾角不發(fā)生變化.

例2如圖2，在Rt△ABC中，D是BC的中點，E，F(xiàn)分別是AB，AC邊上的點，求證:△DEF的周長大于BC.[9]

圖2

分析因 △DEF的周長DE+EF+DF不易從圖形中直接與BC進(jìn)行聯(lián)系，于是想到通過軸對稱變換，將三角形的三邊轉(zhuǎn)化為由三條線段組成的折線，進(jìn)而由兩點之間線段最短證出結(jié)論.

證明過點D做直線BA，AC的對稱點N，M.連接DM，DN，EN，MF，MN，于是得到DF=MF，DE=NE.由條件知D點是BC的中點，所以有DN=AC，DM=AB，故有△DMN≌△ABC，于是MN=BC.由∠CAB=90°和軸對稱的條件，可得∠MAN=2×90°=180°，可知點M，A，N三點共線，點M，F(xiàn)，E，N四點不共線. 根據(jù)兩點之間線段最短，有BC=MN

評析解決幾何問題時，常常遇到條件與結(jié)論中某些元素之間的關(guān)系不明顯，或條件中的某些元素之間的關(guān)系比較分散的情況，這時常?？梢越柚鷹l件中角的平分線，線段的垂直平分線等對稱元素進(jìn)行軸對稱變換，從而使分散的條件集中，讓條件與結(jié)論間的關(guān)系顯山露水.

2.1.3 旋轉(zhuǎn)變換

在平面內(nèi)，將一個圖形繞一個定點沿某個方向轉(zhuǎn)動一個角度成為與原來相同的圖形，這樣的圖形運動叫做圖形的旋轉(zhuǎn).這個定點叫做旋轉(zhuǎn)中心，圖形轉(zhuǎn)動的角叫做旋轉(zhuǎn)角.圖形旋轉(zhuǎn)時，圖形中的每一點旋轉(zhuǎn)的角都不變，都等于圖形的旋轉(zhuǎn)角.這種變換是用旋轉(zhuǎn)運動的觀點來分析兩個圖形的對應(yīng)關(guān)系.

在解題過程中，若題中的已知條件簡略且分散，且過一個定點有等長線段時，可以采用旋轉(zhuǎn)變換，以便將分散的條件相對集中，使已知條件為未知元素服務(wù).

例3如圖3，若E、F分別是平行四邊形ABCD的邊AB和BC的中點，線段DE和AF相交于點P，點Q在線段DE上，且AQ∥PC.證明：△PFC和梯形APCQ的面積相等.

圖3

分析因為△PFC與梯形APCQ有公共的邊PC，這樣若以PC為底，△PFC與梯形APCQ的高之比就等于PF與AP的比，于是問題即轉(zhuǎn)化為求AP與PF以及AQ與PC的比，從而自然想到用旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造相似三角形.

評析這是第20屆俄羅斯數(shù)學(xué)奧林匹克競賽的一道題，相對來說有一定難度.但仔細(xì)分析結(jié)論，問題的本質(zhì)是求線段的比，于是利用中點進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換，以便構(gòu)造全等(相似)三角形，自然是順理成章的事情.該例的關(guān)鍵是抓住了旋轉(zhuǎn)變換的不變性和不變量，即BM平行且等于AQ，BN平行且等于AP，從而實現(xiàn)問題的有效轉(zhuǎn)化.

例4在銳角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，將△ABC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到△A1BC1．(1)如圖4，當(dāng)點C1在線段CA的延長線上時，求∠CC1A1的度數(shù)；(2)如圖5，連結(jié)AA1，CC1.若△ABA1的面積為4，求△CBC1的面積；(3)如圖6，點E為線段AB中點，點P是線段AC上的動點，在△ABC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)過程中，點P的對應(yīng)點是點P1，求線段EP1長度的最大值與最小值.

圖4

圖5

圖6

評析本題是筆者參與命題的義烏市2012年中考第23題，緊緊圍繞旋轉(zhuǎn)不變性這一主干知識，有效考查了學(xué)生的幾何直觀、運動觀念和轉(zhuǎn)化思想.

2.2 相似變換

把一個圖形放大或者縮小若干倍后得到的圖形跟原來的圖形相似，這種變換稱為相似變換.在變換群下的嚴(yán)格定義為，在平面內(nèi)到其自身的變換下，如果對于任意兩點A、B以及它們的對應(yīng)點A′、B′，總有A′B′=kAB(k0).當(dāng)k=1時，相似變換其實就是全等變換.顯然，相似變換就是全等變換的一般性推廣.

圖7

圖8

分析路徑長問題首先要弄清路徑是什么圖形，嘗試畫圖可以發(fā)現(xiàn)，點E的軌跡在一條直線上，再從起點、終點入手，確定運動路徑為一條線段.

評析兩次相似變換本質(zhì)相同，即保形(形狀不變)；功能各異，第一次意在探究軌跡，第二次則直接應(yīng)用于求解.本例揭示了一個基本事實：平面內(nèi)，一個圖形F1(等腰Rt△DCE)繞著一個定點(點C)，在作保持相似變換(△DCE始終是等腰直角三角形)的旋轉(zhuǎn)過程中，若已知該圖形上的某個點(點D)的運動軌跡為圖形F2(線段AB)，則圖形F1上的所有點(旋轉(zhuǎn)中心除外)的運動軌跡(線段E1E2)都與圖形F2保持相同特征.

上述解答過程給出了圖形F2為一次曲線時的證明方法，現(xiàn)以圓、雙曲線為例(拋物線同理)證明圖形F2為二次曲線時的情形.

(1)當(dāng)圖形F2為圓時.

如圖9，點A1、B是圖形F1上的兩個定點，圖形F1繞定點P作保持相似變換的旋轉(zhuǎn)運動，且點A1在半徑為R的⊙O上運動，則點B的運動軌跡也是一個圓.

圖9

又OA1=OA=R，所以O(shè)1B1=O1B=r.即對任意一點A1，點B對應(yīng)的點B1始終滿足到定點O1的距離等于定長O1B(r).所以點B的運動軌跡是以點O1為圓心，定長r為半徑的⊙O1.

(2)當(dāng)圖形F2為雙曲線時.

圖10

在相似變換中還有一種特殊的變換叫位似變換，即兩個多邊形不僅滿足相似，且對應(yīng)頂點的連線還應(yīng)相交于同一點O，這樣的兩個圖形就叫做位似圖形，O點叫位似中心，此時的相似比又稱為位似比.

顯然，位似變換除了具有相似變換的一切性質(zhì)外，它還具有自身的性質(zhì)，即不通過位似中心的對應(yīng)線段平行.

例6如圖11， 已知PT、PB分別切圓O于T點、B點，AB為直徑，點H為T點在AB上的射影.求證:PA平分TH.[10]

圖11

2.3 幾何變換的綜合運用

還有一類問題，就是運用平移變換、旋轉(zhuǎn)變換、軸對稱變換或相似變換中的組合問題，是對變換思想的綜合考查.

例7如圖12，設(shè)△ABC，AD⊥BC于D點，過D點引一條直線EF，且有AE⊥BE，AF⊥CF.若點M和點N分別為線段BC，EF的中點，證明:AN⊥MN.

圖12

分析由題意，E點和F點顯然分別在以AB、AC為直徑的圓上.其中，A點和D點是這兩個圓的交點，聯(lián)系結(jié)論，觀察圖中的三角形.若結(jié)論成立，容易發(fā)現(xiàn)，△AEB、△ANM和△AFC這三個三角形的形狀看上去十分相似.于是自然可以聯(lián)想到，這應(yīng)該是結(jié)合了旋轉(zhuǎn)變換的相似變換.以A點為旋轉(zhuǎn)中心，三角形的另外兩點分別在直線EF和直線BC上運動，但運動的同時保持三角形的形狀不變.

經(jīng)過分析，我們已經(jīng)找到題目的入手點了，即證明△AEB∽△ANM∽△AFC.根據(jù)條件，容易證得∠AEB=∠AFC=90°，于是只要證明存在一個繞A點從B點到E點，以及從C點到F點的旋轉(zhuǎn)相似變換即可.而這容易由∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB得△AEF∽△ABC，從而由N，M分別為EF，BC的中點知旋轉(zhuǎn)相似變換把M點變?yōu)镹點，進(jìn)而容易證明△AEB∽△ANM∽△AFC，于是有∠ANM=∠AEB=90°，即AN⊥MN.

3 結(jié)語

一百年前克萊因在《愛爾蘭根綱領(lǐng)》中所倡導(dǎo)的用幾何變換來認(rèn)識幾何的思想，隨著時代和數(shù)學(xué)的發(fā)展，應(yīng)該在初中幾何課程的教學(xué)中發(fā)揮更加積極的作用.而這其中，如何用幾何變換的思想認(rèn)識兩個三角形之間全等、相似等有關(guān)幾何變換的基本問題，應(yīng)該成為初中幾何課程在教學(xué)實踐中有效開展幾何變換觀念指導(dǎo)下的幾何教學(xué)特別需要回答的最基本問題．

通過前面的敘述我們也可以發(fā)現(xiàn)，幾何變換不僅提供了邏輯演繹推理的程序，還包含著大量的觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)造性活動，有助于培養(yǎng)學(xué)生用運動的視角去認(rèn)識圖形變化的內(nèi)在聯(lián)系和本質(zhì)，從而更大限度地開發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能與創(chuàng)新活力.相信幾何變換的基本觀念在初中幾何課程中的實踐與探索，在某種程度上一定能有效促進(jìn)我國初中幾何課程的建設(shè)．