伍春蘭

(北京教育學院數(shù)學系 100120)

伴隨著某學校選修2-3排列組合教學的結(jié)束，2018年高考數(shù)學的第一輪復(fù)習悄然而至.由于排列組合內(nèi)容相對獨立，又剛剛學完，于是該校數(shù)學組打破已有的復(fù)習順序，選擇以此內(nèi)容作為高考數(shù)學第一輪復(fù)習的起點.筆者受邀就排列組合復(fù)習與該校教師同課異構(gòu)，并圍繞高考第一輪復(fù)習的有關(guān)問題研討.

1 學習內(nèi)容的再認識

高考第一輪復(fù)習，對知識點的梳理是繞不過的話題，問題是梳理什么，怎樣梳理是值得深思的.

現(xiàn)在不少教師都會在課前或課始布置學生自主完成知識梳理，有些教師要求學生使用思維導(dǎo)圖或框圖呈現(xiàn)結(jié)果，待課上交流后教師再適度指點.就形式而言，上述過程既體現(xiàn)了學生主體又顯示了教師主導(dǎo).但據(jù)筆者的課堂觀察及瀏覽教師的教學設(shè)計，就內(nèi)容而言，無論是學生的整理還是教師的指點，多數(shù)僅是簡單重復(fù)邏輯結(jié)構(gòu)，對所學內(nèi)容再認識的高度不夠.

再認識學習內(nèi)容，除了對所學知識是什么的歸納概括，還要從不同的角度得出自己對所學內(nèi)容的理解，以及應(yīng)用策略的概括.

查缺補漏，提高能力是復(fù)習課的主要功能，因此什么是加法原理、乘法原理；什么是排列、組合；排列與組合的差別；排列與組合的公式等等，這些排列組合應(yīng)知應(yīng)會內(nèi)容的整理記憶是需要的，但知識梳理的重點應(yīng)是鑒別“缺”和“漏”.重點有四：(1)學生分別提供一個典型的排列、組合的例子，意圖是考察學生是否基本理解了排列、組合的含義；(2)學生將已做過的有限制條件的排列或組合的習題歸類，意圖是考察學生是否真正理解了排列、組合的本質(zhì)，以及概括的水平；(3)學生對(2)中的類型，嘗試總結(jié)解決問題的思想方法或具體策略，意圖是考察學生是否對各類問題有了正確的思路和具體的方法，還有哪些問題及解決問題的方法需要補充；(4)學生對排列或組合已有的錯題分析，找到規(guī)避錯誤的方法，意圖是幫助學生將錯誤轉(zhuǎn)化為教育資源.當然上述四點，可根據(jù)復(fù)習課課時的總安排，分別進行.

知識點的梳理是復(fù)習的起點，也是再認識的過程，不僅要喚起學生已有的經(jīng)驗，還要從新的視角再認識.比如，已知排列或組合區(qū)別(是否有序)，還要再琢磨它們的聯(lián)系.事實上排列問題都可分成兩步完成：先組合，再全排列；同樣，組合問題如若增加排序，亦可轉(zhuǎn)為排列問題.同時要在新的情境再認識排列、組合，并結(jié)合具體的情境，讓學生體會“一般”與“具體”的關(guān)系.

2 典型例題的邏輯性和拓展性

在高考基本穩(wěn)定的前提下，以歷年高考題或N模題為依據(jù)，然后歸類復(fù)習無可厚非.但典型例題的選取切忌堆砌高考題或N模題，應(yīng)引領(lǐng)學生研究這些題目，找到相關(guān)原題之間的邏輯性，并適度改編拓展.

本節(jié)復(fù)習課，筆者以“某高二年級期末考試的科目有8科”為背景，求解4次變式條件下安排考試方法的種數(shù)：⑴語數(shù)外三科考試不得相鄰；⑵語數(shù)外三科考試必須排在一起；⑶語文考試必須在數(shù)學之前考；⑷數(shù)學不在第一和最后考.4個變式主要關(guān)注到的策略有不鄰問題插空法；相鄰問題捆綁法；特殊值法；否定肯定對等法；特殊元素/位置優(yōu)先法.

最后變式問題：⑸某城市A、B兩地之間有整齊的道路網(wǎng)(見圖1), 從A到B最近距離的走法共有多少種？從A到B，橫向走且僅走5段, 縱向走且僅走3段.于是問題⑸等價于5個“橫”, 3個“縱” 排成一列的問題.由于是相同元素的排列，又等價：從8個位置任取5個排“橫”, 剩余3個位置排“縱” 的問題.

圖1

5個變式，都可轉(zhuǎn)化為8個元素有限制條件的排列或組合問題，這樣一以貫之好處有四：一是省去理解不同背景的時間，但又強化了審題的重要性，因為條件細微的變化會導(dǎo)致截然不同的解題方法；二是將過去零散學習的類型和方法串起來，易發(fā)現(xiàn)各變式的聯(lián)系與區(qū)別.特別是變式5將看似風馬牛不相及的兩個背景，找到相通之處，及異樣之處(排列、組合)，領(lǐng)悟變與不變的美妙；三是復(fù)習一開始就將排列、組合問題綜合考察(有教師先分開排列、組合，再綜合復(fù)習)，雖然增加了挑戰(zhàn)性，但沒有跳出學生的最近發(fā)展區(qū)，而且也增強了學生分析解決排列、組合問題的能力；四是學生參與到題目的變式過程(課上先觀摩教師是如何將題目變式的，教師要有意識地點撥，課下作業(yè)為模仿編改題)，達到知其然，知其所以然，知其將然.

3 思維參與和動機激發(fā)

排列、組合與其他知識關(guān)聯(lián)較少，解決問題的具體計算也簡單，但思維培養(yǎng)的機會很多.如，知識梳理；限制條件的分析、變式、轉(zhuǎn)換；數(shù)學模型的抽象；解決方案正確合理的選擇；多種解決方案的比較分析；歸納總結(jié)等.在復(fù)習中重視學生思維參與，不僅可以激發(fā)學生內(nèi)在的學習積極性、創(chuàng)造性，提升思維能力，同時也能提升學生的學習能力.

美國心理學教授科勒(J.M.Keller)提出了ARCS模型，其中ARCS分別是影響學生學習動機的4要素的首字母：Attention(注意)、Relevance(相關(guān))、Confidence(信心)、Satisfaction(滿足)[1].該模式強調(diào)針對學生的動機水平和教學內(nèi)容的特點，在教學過程中引起并維持學生的注意、構(gòu)建教學與學生之間的關(guān)聯(lián)、引發(fā)學生產(chǎn)生并支持完成學習的自信、最終體驗到滿足.

筆者創(chuàng)設(shè)的問題情境，就是以ARCS模型為指導(dǎo)，注重學生思維參與的活動.

上課伊始，筆者以到該校出行的真實場景為載體，創(chuàng)設(shè)問題情境：第一段出行(家→北京南苑機場)可供選擇的交通工具有6種：自行車、私家車、出租車、公共汽車、機場大巴、地鐵；第二段出行(北京南苑機場→某地機場)有兩種方式，問有多少種出行方式？學生全部落入“陷阱”，齊答有12種，筆者反問第一段的條件充分嗎？學生才意識到問題，于是筆者補充如下7個條件：(1)由于路途遠，自行車不單獨使用；(2)私家車僅從家出發(fā)；(3)沒有直達的公共汽車；(4)家和機場大巴有一段距離；⑸家和機場都和地鐵有一段距離；(6)最多利用三種不同交通工具，且三種之一是地鐵；(7)不同種交通工具僅出現(xiàn)一次.

創(chuàng)設(shè)的情境，學生先是感覺非常容易，繼而發(fā)現(xiàn)并不簡單.在思維受阻后，筆者啟發(fā)學生有序思考.先從大方向考慮，分兩步(家→北京南苑機場；北京南苑機場→某地機場)解決問題；再考慮作為第一步(既是重點也是難點)如何解決，引導(dǎo)學生利用交通工具的數(shù)量(一種；兩種；三種)或利用交通工具的種類(自行車；私家車；出租車；公共汽車；機場大巴；地鐵)突破難點.

通過補充的7個條件，一方面讓學生感受閱讀大文本的策略，另一方面將分類相加，分步相乘，有序排列，無序組合(依據(jù))；按照事件的結(jié)果分類，事件的發(fā)生過程分步(原則)；分類、分步不重不漏(底線)；特殊優(yōu)先法、排除法、插空法(策略)等融入到問題解決中.高認知的系列問題，學法的指導(dǎo)，先獨立思考再小組合作的教學策略，不僅引起并維持了學生的注意，激發(fā)了學生參與的信心，也撬動了學生思維的參與.

高考第一輪復(fù)習，提高學生參與的主動性和深度，將學生內(nèi)在學習動機的激發(fā)和維持，思維的參與貫穿教學過程的始終，這該是數(shù)學有效復(fù)習所需要的.