陳義明

(北京市順義牛欄山第一中學 101301)

人教社的章建躍老師指出，“三個理解”(即理解數(shù)學、理解學生、理解教學)是教師專業(yè)化發(fā)展的基石，是數(shù)學教學質量的根本保證，也是廣大數(shù)學教師在教改大潮中“以不變應萬變”的法寶.在“三個理解”的指導下，近期筆者設計并講授了《基本不等式(第1課時)》一課，整個過程中感觸頗多.

1 整體把握來龍去脈，努力做到理解數(shù)學

實際上，現(xiàn)實生活中的不等關系要遠多于相等關系，它們都是客觀事物的基本數(shù)量關系，是數(shù)學研究的重要內容．因此讓學生建立不等觀念就顯得尤為重要，同時讓學生學會處理不等關系與處理等量問題是同樣重要的．

《課標》對不等式的內容安排做了整體布局，主要分三個部分：第一部分是《必修5》模塊中，學習描述不等關系的數(shù)學方法、討論不等式的基本性質，在此基礎上建立了三個不等關系的模型：一元二次不等式、二元一次不等式(組)和基本不等式，并考慮它們的簡單應用(如線性規(guī)劃問題等)；第二部分在選修系列的“導數(shù)及其應用”中，以導數(shù)為工具研究函數(shù)的單調性、求解函數(shù)的極值(最值)，進而研究不等式的性質，另一方面也是將不等式作為研究函數(shù)的工具，利用不等式刻畫函數(shù)的一些性質，在這個過程中體會導數(shù)方法在研究不等式問題中的一般性和有效性；第三部分是在選修4系列中安排《不等式選講》專題，介紹一些重要的不等式和它們的證明，會用數(shù)學歸納法證明不等式．

直觀想象是數(shù)學核心素養(yǎng)的一個重要方面，而幾何圖形是直觀想象的一個重要載體，因此教材在敘述不等式相關內容時特別注重不等式及其證明的幾何意義與背景，一方面學生可以借助圖形“直達”不等式的數(shù)學本質，另一方面也加強了知識之間的聯(lián)系，一定程度上發(fā)展了學生的邏輯推理以及分析解決問題的能力.

而對于基本不等式，它的結構簡單：兩個正實數(shù)通過加法、乘法、除法和開方四種基本運算，產生了它們的算數(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)的內在規(guī)律，體現(xiàn)了運算帶給數(shù)的巨大力量．同時，基本不等式還可以從不同角度進行理解，并且不同角度都可以找到相應的知識背景，也就是說基本不等式能與很多知識進行融合．這樣，在理解基本不等式的過程中就可以加強知識間的相互聯(lián)系，并讓學生體會其中所蘊含的數(shù)學思想．因此，“基本不等式”成為高中數(shù)學課程中與其他數(shù)學知識關聯(lián)性極強的一個模塊．

通過以上的分析，我們就可以對“基本”有一個基本認識：“基本”可以從運算的角度考慮(只運用加、乘、除、開方等基本運算)；還可以從證明的多樣性(結合相應的背景，從不同角度進行解釋)；還有就是它變形的多樣性(由基本不等式出發(fā)推出其他不等式).

有了這些認識，我們就能意識到在第1課時中我們能做的東西其實不多：對于運算的體會是貫穿數(shù)學學習始終的，我們不可能期望學生通過一節(jié)課就能有一個質的飛躍；而對于證明方法的多樣性以及變形的多樣性，需要有一個知識的積累過程，也不可能在短時間內完全解決.這就要求我們要立足于整體設計“基本不等式”這一個“單元”的內容，而本節(jié)課是作為這一個“單元”的起始課.

2 關注思維“最近發(fā)展區(qū)”，真正做到理解學生

要做到理解學生，就要充分關注學情.上面我們指出，教材特別注重不等式及其證明的幾何意義與背景，因此本節(jié)課的引入是從學生熟悉的弦圖開始，由弦圖抽象出重要不等式(a2+b2≥2ab(a,b∈R))，進而通過替換得到基本不等式.從學生的“最近發(fā)展區(qū)”出發(fā)(學生在初中已經接觸過弦圖：利用弦圖證明勾股定理等)，便于學生接受，同時讓學生體會“由形到數(shù)”的數(shù)學思想方法.

師：通過趙爽弦圖，我們層層遞進，得到了不等式a2+b2≥2ab(a,b∈R)，你能否用文字語言敘述一下這個不等式所反映出的規(guī)律.

學生聽到這個問題后有點發(fā)懵，不知如何回答，此時教師不插話，任由學生思考……

生1：任意兩個實數(shù)的平方和大于等于它們乘積的2倍.

生2：任意兩個實數(shù)的平方和不小于它們乘積的2倍.

師：說得非常好，這就是對式子的直接“翻譯”.

生3：左邊不就是兩個正數(shù)(實際上是非負數(shù))的和嗎，但是右邊我說不好.

師：你感覺什么地方說不好呢？

生3：我覺得右邊式子需要考慮a,b的正負才能說清楚，但那樣就太煩了.

師：你表達得已經很好了.生3同學關注到了兩個非負數(shù)的和與一個乘積的大小關系，但是那個乘積好像不太好直接敘述，我們暫且把這個問題擱置起來，看看后面有沒有好的方法解決.

師：跟剛才一樣，你能否用文字語言敘述一下這個不等式所反應出的規(guī)律.

生3：兩個正數(shù)的和不小于它們平方根乘積的2倍.

生4：應該是它們算術平方根的乘積吧！

師：看來生3同學還是說不好?。?同學們都哄笑)但是通過他的敘述我們發(fā)現(xiàn)這個不等式所反映出的規(guī)律跟重要不等式是一致的，從某種程度上說這個不等式更為簡潔.所以說生3同學的貢獻還是很大的.(同學們都鼓掌)

基本不等式的證明是讓學生將不同知識聯(lián)系起來的很好的載體，學生可以從多種角度進行思考：作差法、構造函數(shù)、構造向量、構造幾何圖形等. 基于重要不等式的得出是通過“由形到數(shù)”的方式，而引導學生“由數(shù)到形”探究基本不等式的幾何解釋，可以發(fā)展學生的辯證思維，體會數(shù)形結合思想，提高學生的幾何直觀能力.

師：前面我們由趙爽弦圖出發(fā)得到了重要不等式a2+b2≥2ab，也就是說重要不等式有明確的幾何背景，而基本不等式所反映的規(guī)律又與它是一致的，那你能否找到基本不等式的幾何背景呢，也就是對基本不等式做出幾何解釋.

學生的探究熱情非常高……

圖1

圖2

師：什么時候等號成立呢？

生5：當且僅當D,E兩點重合時，也就是a=b時.

師：說得非常好，生5同學利用直角三角形的性質給出了基本不等式的幾何解釋，他是先構造出了直角三角形斜邊上的高，然后再令AD=a,BD=b.我如果給定兩個正數(shù)a,b，你如何構造這樣一個直角三角形呢？

經過短暫思考，下面學生就有說作圓的.

生6：采用作圓的方式.構造長度為a+b的線段AB；在其上取一點D，使得AD=a,DB=b；以線段AB為直徑作⊙O；過點D作線段AB的垂線，交⊙O于點C，則Rt△ABC即是滿足條件的直角三角形(如圖3).

圖3

師：非常好，這樣我們就能構造出“雙垂直”結構.那你能否利用圓中的元素對基本不等式進行解釋呢？

生7：剛才生6在“過點D作線段AB的垂線”時，垂線與圓是交于兩點的，這兩點都是滿足條件的(設為C,E)，那么CE就是圓的弦，所以CD的長應該是這個弦長的一半.但是我不知道這樣說對不對：圓中弦長的一半不大于半徑.

生8：肯定是對的.

師：為什么？

生8：由“垂徑定理”得到.

師：說的對，生7和生8兩名同學合作就給出了基本不等式的又一種幾何解釋：圓中弦長的一半(即半弦長)不大于圓的半徑.那什么時候相等呢？

學生共同回答：弦是直徑的時候.

師：在圖3中看，就是D,O重合，a=b的時候.

其實，理解學生就是用學生的眼光看數(shù)學，由淺入深，及時發(fā)現(xiàn)學生的思維障礙，由感性到理性地設計問題，逐步讓學生走近問題的本質，讓知識的產生和發(fā)展自然而流暢.

3 用數(shù)學整體觀和系統(tǒng)思維理解教學

前面我們已經指出，就本節(jié)課的知識而言，學生不太可能理解“基本”到底體現(xiàn)在哪，需要后續(xù)不斷地深化理解.因此教學設計兼顧單元教學.

本節(jié)課的內容是基本不等式的推導、證明及其幾何解釋，正確把握基本不等式的結構和等號成立的條件；第2課時的內容是能用基本不等式求簡單的最值問題，并深入理解基本不等式成立的條件和結構特征；第3課時的內容是從實際問題中抽象出具體的基本不等式問題，并應用基本不等式處理最值問題，也就是將基本不等式作為處理優(yōu)化問題的一種模型；第4課時考慮介紹一下基本不等式的變形及其應用，深化對基本不等式應用的理解；最后，在小結復習課中提出“為什么稱它是基本不等式？”這樣的問題，來檢驗學生對其本質的理解.同時，在本部分學習中設計一節(jié)活動課“基本不等式證明方法大全”，以小組為單位探究基本不等式的證明方法，激發(fā)學生學習數(shù)學的熱情.

本節(jié)課作為“單元”教學的起始課，為達到單元的整體目標做了一些鋪墊，比如在基本不等式的證明中設計它與不同知識之間的聯(lián)系，并在證明中對基本不等式做了一些變形，這就是為了體現(xiàn)它“基本”的一面——證明的多樣性與變形的多樣性；同時，本節(jié)課通篇設計讓學生體會“數(shù)形結合”思想：“由形到數(shù)”探求基本不等式的生成過程；“由數(shù)到形”探求基本不等式的幾何解釋，發(fā)展學生的辯證思維.在后面的學習中也這樣設計，在解決問題中注重“數(shù)形結合”思想的應用，構建在數(shù)學方法上具有前后一致性的教學進程.

總之，對于一節(jié)課而言，理解數(shù)學是做好教學設計的前提，在教學設計中要有數(shù)學整體觀，不要被“一節(jié)課”的內容所限制，更不要在一些細枝末節(jié)上糾纏，而是要引導學生通過探索、思考、辨析、反思等環(huán)節(jié)，直達問題的本質；理解學生可以提高教學效率、促進學生發(fā)展，在教學中我們必須充分關注學情，準確找到學生的“最近發(fā)展區(qū)”，讓知識的發(fā)生和發(fā)展都自然而流暢；理解教學可以讓課堂持續(xù)充滿活力，充滿活力的課堂才可能指引學生走向知識的數(shù)學本質，同時我們的教學要引導學生“知其然”以及“知其所以然”，更要讓學生知道“何由知其所以然”.