吳 波 鄧茂生

(1.重慶市長(zhǎng)壽龍溪中學(xué) 401249；2. 重慶市長(zhǎng)壽區(qū)國(guó)土局 401220)

文[1]對(duì)在限定條件下頂點(diǎn)均在雙曲線(xiàn)上的梯形作了探究，結(jié)果如下(表述與原文略有不同)：

命題1[1]如圖1，設(shè)A1是雙曲線(xiàn)C上給定的一點(diǎn)，M是雙曲線(xiàn)C外部且不在漸近線(xiàn)上的任一點(diǎn)，若直線(xiàn)A1M與雙曲線(xiàn)C的同一支交于另一點(diǎn)A2，則存在以A1為頂點(diǎn)的梯形A1A2A3A4，且其余三頂點(diǎn)均在雙曲線(xiàn)上，M為梯形兩腰所在直線(xiàn)的交點(diǎn)．

圖1

命題2[1]如圖1，設(shè)A1是雙曲線(xiàn)C上給定的一點(diǎn)，M′是雙曲線(xiàn)C外部且不在漸近線(xiàn)上的任一點(diǎn)，若直線(xiàn)A1M′與雙曲線(xiàn)C的另一支交于另一點(diǎn)A3，且M′不是A1A3的中點(diǎn)，則存在以A1為頂點(diǎn)的梯形A1A2A3A4，且其余三頂點(diǎn)均在雙曲線(xiàn)上，M′為梯形對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)．

當(dāng)點(diǎn)M在雙曲線(xiàn)內(nèi)部時(shí)，文[1]還有兩個(gè)類(lèi)似結(jié)論，此處略．

在這之前，文[2]對(duì)橢圓和拋物線(xiàn)也證明了類(lèi)似結(jié)論．

如圖1，如果將命題2中的“梯形A1A2A3A4”替換為“對(duì)邊A1A4∥A2A3的蝶形A1A3A2A4”(“蝶形”是指有一組對(duì)邊相交的四邊形)，那么命題1、2就可以得到統(tǒng)一．具體地說(shuō)就是：兩個(gè)命題中的四邊形都是有一組對(duì)邊平行的四邊形，而M和M′都是相應(yīng)四邊形的不平行的那一組對(duì)邊所在直線(xiàn)的交點(diǎn)．

文[1]的解析法證明比較復(fù)雜，運(yùn)算量頗大．本文將給出在上述限定條件下圓錐曲線(xiàn)的有一組對(duì)邊平行的內(nèi)接四邊形(如前所述，包含梯形和有一組對(duì)邊平行的蝶形)的統(tǒng)一而簡(jiǎn)單的作法．

注：本文中圓錐曲線(xiàn)的“內(nèi)接四邊形”意指頂點(diǎn)均在圓錐曲線(xiàn)上的四邊形，但并不一定要求四邊形的邊也在圓錐曲線(xiàn)內(nèi)部．

先將此作圖問(wèn)題明確地表述如下：

求作圓錐曲線(xiàn)C的內(nèi)接四邊形A1A2A3A4，使A1A2、A3A4所在直線(xiàn)相交于點(diǎn)M，而邊A1A4∥A2A3．

注：與圓錐曲線(xiàn)的一對(duì)共軛直徑分別平行的兩個(gè)方向互為對(duì)方的共軛方向[3]．

先看在非退化的有心圓錐曲線(xiàn)情形下的作法．

作圖的關(guān)鍵在于：已知點(diǎn)O、M、A1，作出滿(mǎn)足上述條件的點(diǎn)A4．下面的作法簡(jiǎn)單地解決了這個(gè)問(wèn)題．

步驟1如圖2， 過(guò)O、M作直線(xiàn)l．

步驟2如圖2，作直線(xiàn)A1O交圓錐曲線(xiàn)C于點(diǎn)N，過(guò)N作直線(xiàn)k∥l交C于點(diǎn)A4．連接A1A4．

由對(duì)稱(chēng)性易知：中心O平分A1N．再結(jié)合k∥l知：l平分A1A4，即直線(xiàn)l過(guò)A1A4的中點(diǎn)Q．

若直線(xiàn)k與圓錐曲線(xiàn)C相切，則A4與N重合．

步驟3如圖2，作直線(xiàn)MA1交圓錐曲線(xiàn)C于點(diǎn)A2，作直線(xiàn)MA4交C于點(diǎn)A3．連接A2A3．

如圖2，點(diǎn)M是邊A1A2和A3A4所在直線(xiàn)的交點(diǎn)．下面我們將證明：A1A4∥A2A3．

圖2

圖3

由作法知：直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)M、C的中心O、A1A4的中點(diǎn)Q．又A2A3′∥A1A4，而平行弦的中點(diǎn)連線(xiàn)必過(guò)中心O，因此A2A3′的中點(diǎn)必在直線(xiàn)OQ上，也即在直線(xiàn)l上．也就是說(shuō)：A2A3′與直線(xiàn)l的交點(diǎn)是其中點(diǎn)，即點(diǎn)P是A2A3′的中點(diǎn)．這樣，A2A3′的中點(diǎn)P也在直線(xiàn)l上．

而由作法知：A3A4也過(guò)點(diǎn)M．因此A3′與A3重合．

而A2A3′∥A1A4，所以A2A3∥A1A4．

這表明：蝶形A1A2A3A4就是所要求作的四邊形．

而且作法本身就表明了這種四邊形存在且唯一．

當(dāng)點(diǎn)M在橢圓C外部時(shí)，如圖3，作出的四邊形是梯形．

當(dāng)圓錐曲線(xiàn)C為雙曲線(xiàn)時(shí)，由于雙曲線(xiàn)有兩支，所求作的四邊形的分類(lèi)要復(fù)雜一些，文[1]中四個(gè)命題對(duì)應(yīng)的配圖只是分類(lèi)中的一部分．需要注意的是：文[1]中命題2、3對(duì)應(yīng)圖中的點(diǎn)“A2”、“A3”的下標(biāo)要互換方與本文表述相符．

但前述作法和證明對(duì)上述諸種情形均適用．

在通常的歐氏平面上，拋物線(xiàn)是沒(méi)有中心的．但是在仿射平面上，據(jù)文[3]第六章“二次曲線(xiàn)的仿射理論和度量理論”：拋物線(xiàn)的中心就是它與無(wú)窮遠(yuǎn)直線(xiàn)的切點(diǎn)，也即是拋物線(xiàn)直徑的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)．在歐氏平面上，拋物線(xiàn)直徑就是與其對(duì)稱(chēng)軸平行(或重合)的直線(xiàn)．則“知圓錐曲線(xiàn)C的中心O”這個(gè)條件可替換為“知拋物線(xiàn)C對(duì)稱(chēng)軸的方向”，類(lèi)似地可得如下作法：

圖4

圖5

步驟1如圖4，過(guò)點(diǎn)M作直線(xiàn)l平行于拋物線(xiàn)C的對(duì)稱(chēng)軸x．

步驟2如圖4，作點(diǎn)A1關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N．過(guò)N作直線(xiàn)k∥x，交拋物線(xiàn)C于點(diǎn)A4．連接A1A4．

步驟3如圖4，作直線(xiàn)MA1交拋物線(xiàn)C于點(diǎn)A2，作直線(xiàn)MA4交拋物線(xiàn)C于點(diǎn)A3．連接A2A3．

四邊形A1A2A3A4就是所要求作的四邊形．證略．

如圖4，當(dāng)點(diǎn)M在拋物線(xiàn)C內(nèi)部時(shí)，作出的四邊形是蝶形．

圖6

如圖6，當(dāng)點(diǎn)M在圓錐曲線(xiàn)C外且MA1與C相切時(shí)，A1與A2重合．而A2A3∥A1A4，則A3、A4也重合，四邊形A1A2A3A4被“壓成”了一條線(xiàn)段．但OM平分弦的結(jié)論仍成立，由此可得常見(jiàn)結(jié)論：

命題3一個(gè)點(diǎn)關(guān)于圓錐曲線(xiàn)的切點(diǎn)弦被過(guò)該點(diǎn)的直徑平分．

當(dāng)圓錐曲線(xiàn)為拋物線(xiàn)時(shí)，“過(guò)該點(diǎn)的直徑”意即“過(guò)該點(diǎn)且平行于其對(duì)稱(chēng)軸的直線(xiàn)”．

如圖7(各字母含義同圖2)，當(dāng)圓錐曲線(xiàn)C退化為一對(duì)相交直線(xiàn)時(shí)作法仍成立．此時(shí)可以將其表述為如下平面幾何命題：

圖7

命題4如圖7，直線(xiàn)l1、l2相交于點(diǎn)O，A1、N在l1上且關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)．過(guò)點(diǎn)N作直線(xiàn)NA4∥OM且交直線(xiàn)l2于點(diǎn)A4，作直線(xiàn)MA1、MA4分別交l2、l1于點(diǎn)A2、A3，則A2A3∥A1A4．

命題4不必使用同一法就可直接證明．有興趣的讀者不妨一試．

當(dāng)圓錐曲線(xiàn)C退化為圓或者退化為一對(duì)平行線(xiàn)時(shí)，比較簡(jiǎn)單，此處不再贅述．

最后說(shuō)明一點(diǎn)：“知圓錐曲線(xiàn)C的中心O”這個(gè)條件是不必要的．因?yàn)閳A錐曲線(xiàn)的平行弦的中點(diǎn)軌跡必過(guò)其中心，因此只需作出兩組平行弦的中點(diǎn)軌跡，那么其交點(diǎn)就是中心．但為表述方便，題目中保留了這個(gè)條件．