陳咸存

(寧波教育學(xué)院 315010)

1 引言

關(guān)于三角形內(nèi)某一圖形面積與原三角形面積之比問題已引起很多人的關(guān)注[1]-[5]，如文[1]得到Marion定理:

圖1

定理1如圖1，在△ABC中，將每邊三等分，則等分點(diǎn)與對(duì)頂連線得到的六邊形

九年級(jí)學(xué)生Morgan[2]利用數(shù)學(xué)軟件幾何畫板將Marion定理推廣得到Morgan定理：

圖2

考慮到幾何畫板中變換之一縮放，文[5]用幾何畫板將Morgan定理由奇數(shù)推廣到實(shí)數(shù)情形：

更一般地有：

定理3-4考慮了由Morgan定理或Morgan定理衍生出來涉及三角形內(nèi)某一圖形面積與原三角形面積的比值問題，不妨稱為三角形中的Morgan問題.那么四邊形中是否也有類似的結(jié)論成立?熟知三點(diǎn)簡(jiǎn)比(縮放可看成三點(diǎn)簡(jiǎn)比)、兩圖形面積之比是仿射不變量，而三角形與平行四邊形是仿射不變圖形.因而Morgan問題很容易推廣到平行四邊形情形.下面分別對(duì)平行四邊形及任意四邊形探討Morgan問題.

2 平行四邊形

文[6]得到：

圖3

一般地可證：

表1

3 任意四邊形

3.1 猜想與驗(yàn)證

圖4

圖5

表2

3.2 證明

圖6

下證用另一方法證明定理7，先證下面結(jié)論：

證明設(shè)AB=a，CD=b，則有

當(dāng)AB與CD平行時(shí)，不妨設(shè)AB與CD間距離為h，

當(dāng)AB與CD不平行時(shí)，不妨設(shè)P=AB×CD，

如圖7.令BP=m，CP=n，∠APD=θ，

圖7

有SA1A2C1C2=S△A1PC2-S△A2PC1

故定理8得證.