季潮丞

(浙江省寧波中學(xué) 315100)

《數(shù)學(xué)通報(bào)》2013年第7期第2134號數(shù)學(xué)問題引起廣泛關(guān)注，其中安振平老師在他的博客[5]中對該問題有多種有別于本刊[1]的證明.特別羅列了張?jiān)迫A、熊昌進(jìn)老師的獨(dú)立證明.本人也學(xué)習(xí)了這些老師的解答，并參考了相應(yīng)文獻(xiàn)，有體會如下.

問題a,b,c是滿足(a+b+c-2)2=2abc的任意實(shí)數(shù)，

證明設(shè)1-a=x,1-b=y,1-c=z，則原問題等價(jià)于

下面利用基本不等式和簡單的分類就可以得到證明，詳見[1]，[5].

筆者通過對上述問題的研究并了參考文獻(xiàn)[2]，[3]，[4]，提出以下不等式：

已知x,y,z為非負(fù)實(shí)數(shù)，且滿足x2+y2+z2+2xyz=1，

證明由原問題易知(1)成立；

由x2+y2+z2=1-2xyz及(1)知(3)成立；

由x2+y2+z2≥yz+zx+xy知不等式(4)要強(qiáng)于(2)，下面證明(4):

即

cosBcosC+cosCcosA+cosAcosB

由室內(nèi)考種表可見，使用免耕機(jī)械處理的產(chǎn)量明顯高于對照，畝增產(chǎn)46.4kg。蟲食率下降1.4個(gè)百分點(diǎn)，單株莢數(shù)增加9.5個(gè)，單株粒數(shù)增加15.2個(gè)，增產(chǎn)率為30.5%

不妨設(shè)A為最大角，則1-2cosA≥0,

事實(shí)上,運(yùn)用琴生不等式易知

2cosBcosC=cos(B+C)+cos(B-C)

≤1-cosA.

所以(4)成立.

z2+2cosAcosBz+cos2A+cos2B-1=0.

解上述方程得

z=cos(π-A-B)或-cos(A-B),

由于z∈[0，1]所以z=cos(π-A-B)，在此我們設(shè)C=π-A-B.綜上可知換元是等價(jià)的.

《數(shù)學(xué)通報(bào)》2013年第7期第2134號數(shù)學(xué)問題相關(guān)的內(nèi)容還有很多豐富多彩的地方，作者限于篇幅無法詳述，請讀者參考文獻(xiàn)[2]，[3]，[4].