陳延付

(浙江省景寧中學(xué) 323500)

當(dāng)我閱讀數(shù)學(xué)通報2017年第56卷第4期時，深深地被臧華老師的《好的例題教學(xué)是照亮學(xué)生解題的燈塔》(下文簡稱：文[1])這個標(biāo)題所吸引，但閱讀之后總感覺不盡入味，怎樣的例題教學(xué)才是好的例題教學(xué)？好的例題教學(xué)學(xué)生需要有怎樣的知識、經(jīng)驗(yàn)、能力等的儲備？師生在例題教學(xué)過程中怎樣自然地進(jìn)行數(shù)學(xué)思維的交流、數(shù)學(xué)語言的交流、數(shù)學(xué)探索精神的交流？本文將對“好的例題教學(xué)”再作一些探討，交流看法，期望能引起讀者共同深入的討論這一個話題.

例已知函數(shù)f(x)=x3-ax2(a∈R).若f(x)的切線過點(diǎn)(0,1)，且過點(diǎn)(0,1)的切線有2條，求實(shí)數(shù)a的值.[1]

1 審準(zhǔn)題，說想法

(1)審題“準(zhǔn)”，抓關(guān)鍵，抓題眼，揭示已知條件和所求結(jié)論的關(guān)系.

關(guān)鍵點(diǎn)：過點(diǎn)(0,1)的切線，切點(diǎn)未知(巡視課堂，學(xué)生有誤，個別糾錯).

題眼點(diǎn)：切線有2條(幾何條件).

精準(zhǔn)點(diǎn)：求實(shí)數(shù)a的值(代數(shù)方程).

(2)說想法，學(xué)生說自然想法，師生討論、整理、歸納解題的想法.

想法1(代數(shù)想法)

想法2(幾何想法)

根據(jù)三次函數(shù)圖像分析過點(diǎn)(0,1)的切線有2條,可借助多媒體課件(幾何畫板動畫)演示，探求數(shù)形結(jié)合的解題想法.

圖1

圖2

2 明思路，定解法

通過師生討論，教師點(diǎn)撥初步形成了解決問題的想法，明確了解題的思路方向，對解題的可行性進(jìn)行試算、評估、選擇，設(shè)計算理、算法，確定解題的方法.

2.1 代數(shù)解法

文[1]提供了方案1，方案2處理求解：

方案1: 構(gòu)造函數(shù)g(x)=2x3-ax2+1，研究函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)問題(含參討論，運(yùn)算量大).

方案4: 方程2x3-ax2+1=0有二重等實(shí)數(shù)根x0,令g(x)=2x3-ax2+1，

2.2 幾何解法

確定解法，板書(或展示)師生討論的最佳解題方法(一般方法或通性通法).

解：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0),

則切線方程為：y-y0=f′(x0)(x-x0)，

由過點(diǎn)(0,1)的切線有2條，

即是方程 2x3-ax2+1=0有兩個不等實(shí)數(shù)根，

h(x)在區(qū)間(-∞,0)及(1,+∞)單調(diào)遞增,在區(qū)間(0,1)遞減，

當(dāng)且僅當(dāng)a=h(1)=3時，

即過點(diǎn)(0,1)的切線有2條，則a=3.

3 研變式，深探究

變式1:文[1]過點(diǎn)(0,1)的函數(shù)f(x)=x3-ax2(a∈R)切線有3條(或1條)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.(方案3或幾何法方案5求解較好，a>3(a<3))

變式2：過點(diǎn)(0,b)的函數(shù)f(x)=x3-ax2(a∈R)切線有2條，求實(shí)數(shù)a與b的關(guān)系.

(方案2、3、4或幾何法方案5求解較好，求得結(jié)論為，a3=27b)

變式3：(1)若直線y=x與曲線y=x3-3x2+ax相切，則實(shí)數(shù)a=.(2)若直線y=x與曲線y=x3-3x2+ax-1相切，則實(shí)數(shù)a=.

變式4：已知函數(shù)f(x)=ax+cosx-sinx的圖像上存在兩條互相垂直的切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

變式5：(1)若關(guān)于x的不等式k(x-1)≤x(1+lnx)恒成立，則k的取值范圍是.

經(jīng)過問題變式研究，問題深入探究，教師講在學(xué)生困惑處，學(xué)生理解了其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)解題自然想法；理清了問題解題思路.

4 尋題根，促反思

通過尋找題根，問題類型歸納整理分析，深刻的反思問題，學(xué)生進(jìn)一步清楚了所求問題的本質(zhì).從切線的概念(方程)到導(dǎo)數(shù)的幾何意義，從代數(shù)想法到代數(shù)解法，從幾何想法到幾何解法，從解題運(yùn)算方案試算、選擇、優(yōu)化到問題解法的一般化(通法)……

題根：已知點(diǎn)P(1,3)是曲線C:f(x)=ax3+x+1(a∈R)上的一點(diǎn),求曲線C在點(diǎn)P處的切線方程.

師生經(jīng)歷了“審準(zhǔn)題，說想法”、“明思路，定解法”、“研變式 ，深探究”，“尋題根，促反思”，這樣的例題教學(xué)讓學(xué)生“會一題，通一類”，促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)問題本質(zhì)的理解能力進(jìn)一步提升，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)探索精神的進(jìn)一步提升，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的進(jìn)一步提升.