2017年9月號問題解答解答由問題提供人給出)
2381設△ABC的三邊長,對應邊上的中線長,角平分線長,高線長,半周長,外接圓及內(nèi)切圓半徑分別為a,b,c,ma,mb,mc,wa,wb,wc,ha,hb,hc,s,R,r,則有
(天津水運高級技工學校 黃兆麟 300456)
由角平分線長公式
及正弦定理,得
注意到由面積公式
及正弦定理可推得
又∑cotBcotC=1,
那么有
另一方面,注意到由中線長,角平分線長及高線長公式可得
2382如圖,在△ABC中,AB=BC,D是AB延長線上的一點,E是BC延長上的一點,且CE=AD.延長AC交DE于F,F(xiàn)G∥BE交CD于G,F(xiàn)H∥AD交AE于H.
求證:(1)FG=FH;(2)AF⊥GH.
(濮陽職業(yè)技術學院 紀保存 457000)
證明(1)由等高三角形的面積比等于底邊之比,得
①
②
③
再由共角三角形面積比定理,得
④
①×②×③×④,并注意到
AB=BC,CE=AD,
因為FG∥BE,F(xiàn)H∥AD,
所以FG、FH分別是△DCE、△ADE的中位線,
由CE=AD即得FG=FH.
(2)由題意,知
∠BAC=∠BCA,∠BAC=∠AFH,
∠BCA=∠GFA,
于是∠AFH=∠AFG,
再由(1)得AF是等腰△GFH的頂角平分線,
故AF⊥GH.
2383n是大于3的奇數(shù),證明:n!+1與(n! -n)!+1中至少有一個是合數(shù).
(浙江溫州市區(qū)馬鞍池東路1-408 陳克瀛 325000)
證明設p=n! +1是素數(shù),
則有p| (n! ) ! +1(Wilson定理).
(1)
另一方面,
由n! =p-1 及n! -n為奇數(shù),得
(n! ) !
=1·2 …n·(n+1 ) … (n! -1) ·n!
程頤目光晃過來的時候,粒粒覺得不好意思,于是伸出手來說:“你好?!背填U握住她的手,驚呼一聲:“你的手好涼!”
=n! (p-(n!-n)) … (p-2 ) (p-1 )
=(p-1) · (hp+( -1 )n !-n· (n! -n) !)
=lp+(n! -n) ! , 其中h,l∈Z,
故 (n! ) ! +1=lp+ (n! -n) ! +1,
由此和(1)推出p| (n! -n) ! +1.
(2)
又n>3?n-1>2? (n-1)!>2?n!>2n
?n!-n>n?(n!-n) ! +1>n!+1,
即 (n! -n) ! +1>p,
由此和(2) 知 (n!-n) ! +1必為合數(shù),
這就證明了n!+1 (n! -n) ! +1中總有一個是合數(shù) .
注意到本題中n與n! -n同為正奇數(shù),于是由所證的結(jié)論立即得出:存在無窮多個正奇數(shù)m,使得m! +1 是合數(shù) .
此外注意到:k|n?k|n!-n,由此和本題結(jié)論又推出:對于給定的正奇數(shù)k,存在無窮多個正奇數(shù)r使得(kr)!+1是合數(shù) .
2384設a,b,c分別表示△ABC三內(nèi)角A,B,C所對的邊長,求證:
(1)
(河南質(zhì)量工程職業(yè)學院 李永利 467000)
證明因為
所以
同理
以上三式左右兩端分別相加,并利用三角形射影定理
a=bcosC+ccosB,
b=ccosA+acosC,
c=acosB+bcosA,
可得
(2)
(2)式整理即得(1)式.
2385如圖,⊙O與⊙O1內(nèi)切于點A,⊙O與⊙O2內(nèi)切于點B,且⊙O1與⊙O2相交于點C、D,AB交CD于點T. 求證:S△TOO1=S△TOO2.
(重慶市合川太和中學 袁安全 401555)
證明如圖所示.設直線AB分別交⊙O1、⊙O2于點E、F,則易知A、O、O1及B、O、O2分別共線.又設直線EO1與FO2交于點M.則易得
∠E=∠O1AE=∠OAB=∠OBA
=∠O2BF=∠F.
即ME∥O2B,MF∥O1A.
于是 四邊形MO1OO2是平行四邊形,
所以OM與O1O2互相平分于點N,
即NO1=NO2.
再設射線MO交AB于點T′.
①
又易得TA·TE=TC·TD=TB·TF,
②
比較①、②可知T′與T兩點重合,
即,M、O、T三點共線.
所以,M、N、O、T四點共線.
故S△TOO1=S△TOO2.
2017年10月號問題
(來稿請注明出處——編者)
S△BP1Q1·S△BP2Q2=S△FA1P1·S△FA2P2.
(北京市陳經(jīng)綸中學 張留杰 100020)
2387設a,b,c≥0,a+b+c=6,求證:
(陜西省咸陽師范學院基礎教育課程研究中心 安振平 712000 )
2388如圖,經(jīng)過直角梯形ABCD的頂點A作斜腰CD的平行線交下底BC于點M,△DBC的外接圓ω1交直線DM于點D,G,△AMC的外接圓ω2交ω1于點C,F,△BGM的外接圓ω3交ω2于點M,E,證明:直線BE,CF,DG交于一點,且此點為△AMC的重心.
(河南省輝縣市一中 賀基軍 453600)
(河南質(zhì)量工程職業(yè)學院 李永利 467000)
2390如圖,已知⊙O上四點A、B、C、D,BA交CD于E,AC交BD于F,EF交⊙O于H、G,K為EF中點,以點A、K、C作圓交EG于T,求證:HF=TG.
(江西師范高等??茖W校 王建榮 335000;溫州私立第一實驗學校 劉沙西 325000)