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        數(shù)學問題解答

        2017-12-24 12:11:38
        數(shù)學通報 2017年10期
        關鍵詞:合數(shù)外接圓共線

        2017年9月號問題解答解答由問題提供人給出)

        2381設△ABC的三邊長,對應邊上的中線長,角平分線長,高線長,半周長,外接圓及內(nèi)切圓半徑分別為a,b,c,ma,mb,mc,wa,wb,wc,ha,hb,hc,s,R,r,則有

        (天津水運高級技工學校 黃兆麟 300456)

        由角平分線長公式

        及正弦定理,得

        注意到由面積公式

        及正弦定理可推得

        又∑cotBcotC=1,

        那么有

        另一方面,注意到由中線長,角平分線長及高線長公式可得

        2382如圖,在△ABC中,AB=BC,D是AB延長線上的一點,E是BC延長上的一點,且CE=AD.延長AC交DE于F,F(xiàn)G∥BE交CD于G,F(xiàn)H∥AD交AE于H.

        求證:(1)FG=FH;(2)AF⊥GH.

        (濮陽職業(yè)技術學院 紀保存 457000)

        證明(1)由等高三角形的面積比等于底邊之比,得

        再由共角三角形面積比定理,得

        ①×②×③×④,并注意到

        AB=BC,CE=AD,

        因為FG∥BE,F(xiàn)H∥AD,

        所以FG、FH分別是△DCE、△ADE的中位線,

        由CE=AD即得FG=FH.

        (2)由題意,知

        ∠BAC=∠BCA,∠BAC=∠AFH,

        ∠BCA=∠GFA,

        于是∠AFH=∠AFG,

        再由(1)得AF是等腰△GFH的頂角平分線,

        故AF⊥GH.

        2383n是大于3的奇數(shù),證明:n!+1與(n! -n)!+1中至少有一個是合數(shù).

        (浙江溫州市區(qū)馬鞍池東路1-408 陳克瀛 325000)

        證明設p=n! +1是素數(shù),

        則有p| (n! ) ! +1(Wilson定理).

        (1)

        另一方面,

        由n! =p-1 及n! -n為奇數(shù),得

        (n! ) !

        =1·2 …n·(n+1 ) … (n! -1) ·n!

        程頤目光晃過來的時候,粒粒覺得不好意思,于是伸出手來說:“你好?!背填U握住她的手,驚呼一聲:“你的手好涼!”

        =n! (p-(n!-n)) … (p-2 ) (p-1 )

        =(p-1) · (hp+( -1 )n !-n· (n! -n) !)

        =lp+(n! -n) ! , 其中h,l∈Z,

        故 (n! ) ! +1=lp+ (n! -n) ! +1,

        由此和(1)推出p| (n! -n) ! +1.

        (2)

        又n>3?n-1>2? (n-1)!>2?n!>2n

        ?n!-n>n?(n!-n) ! +1>n!+1,

        即 (n! -n) ! +1>p,

        由此和(2) 知 (n!-n) ! +1必為合數(shù),

        這就證明了n!+1 (n! -n) ! +1中總有一個是合數(shù) .

        注意到本題中n與n! -n同為正奇數(shù),于是由所證的結(jié)論立即得出:存在無窮多個正奇數(shù)m,使得m! +1 是合數(shù) .

        此外注意到:k|n?k|n!-n,由此和本題結(jié)論又推出:對于給定的正奇數(shù)k,存在無窮多個正奇數(shù)r使得(kr)!+1是合數(shù) .

        2384設a,b,c分別表示△ABC三內(nèi)角A,B,C所對的邊長,求證:

        (1)

        (河南質(zhì)量工程職業(yè)學院 李永利 467000)

        證明因為

        所以

        同理

        以上三式左右兩端分別相加,并利用三角形射影定理

        a=bcosC+ccosB,

        b=ccosA+acosC,

        c=acosB+bcosA,

        可得

        (2)

        (2)式整理即得(1)式.

        2385如圖,⊙O與⊙O1內(nèi)切于點A,⊙O與⊙O2內(nèi)切于點B,且⊙O1與⊙O2相交于點C、D,AB交CD于點T. 求證:S△TOO1=S△TOO2.

        (重慶市合川太和中學 袁安全 401555)

        證明如圖所示.設直線AB分別交⊙O1、⊙O2于點E、F,則易知A、O、O1及B、O、O2分別共線.又設直線EO1與FO2交于點M.則易得

        ∠E=∠O1AE=∠OAB=∠OBA

        =∠O2BF=∠F.

        即ME∥O2B,MF∥O1A.

        于是 四邊形MO1OO2是平行四邊形,

        所以OM與O1O2互相平分于點N,

        即NO1=NO2.

        再設射線MO交AB于點T′.

        又易得TA·TE=TC·TD=TB·TF,

        比較①、②可知T′與T兩點重合,

        即,M、O、T三點共線.

        所以,M、N、O、T四點共線.

        故S△TOO1=S△TOO2.

        2017年10月號問題

        (來稿請注明出處——編者)

        S△BP1Q1·S△BP2Q2=S△FA1P1·S△FA2P2.

        (北京市陳經(jīng)綸中學 張留杰 100020)

        2387設a,b,c≥0,a+b+c=6,求證:

        (陜西省咸陽師范學院基礎教育課程研究中心 安振平 712000 )

        2388如圖,經(jīng)過直角梯形ABCD的頂點A作斜腰CD的平行線交下底BC于點M,△DBC的外接圓ω1交直線DM于點D,G,△AMC的外接圓ω2交ω1于點C,F,△BGM的外接圓ω3交ω2于點M,E,證明:直線BE,CF,DG交于一點,且此點為△AMC的重心.

        (河南省輝縣市一中 賀基軍 453600)

        (河南質(zhì)量工程職業(yè)學院 李永利 467000)

        2390如圖,已知⊙O上四點A、B、C、D,BA交CD于E,AC交BD于F,EF交⊙O于H、G,K為EF中點,以點A、K、C作圓交EG于T,求證:HF=TG.

        (江西師范高等??茖W校 王建榮 335000;溫州私立第一實驗學校 劉沙西 325000)

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