平光宇 龔衛(wèi)東

(廣東省深圳市高級中學(xué) 518040)

筆者在教學(xué)中遇到一道軌跡問題，經(jīng)過師生一起探索，發(fā)現(xiàn)背后隱藏著空間解析幾何中的典型曲面：雙曲拋物面(也叫馬鞍面，以下稱馬鞍面)，再返回到問題中來，編出了一系列的立體幾何與解析幾何完美結(jié)合的新穎問題.

例(如圖1)在正方體ABCD-A1B1C1D1的棱上有幾個點到異面直線a、b(圖中加粗的兩條線，以下同此)的距離相等？

圖1

答案很簡單，滿足條件的點有四個，分別是點O、A1、E、C(其中，點O、E分別是棱DD1和BB1的中點).

有學(xué)生問：在正方體的表面上到直線a、b的距離相等的點還有哪些？能畫出軌跡嗎？

另一個學(xué)生問：在正方體的表面及其內(nèi)部到直線a、b的距離相等的動點的軌跡是什么？再進一步，在空間到直線a、b的距離相等的動點的軌跡是什么？

筆者意識到這是一個非常值得探究的問題，于是回答道：不知道，但這顯然是個好問題，值得探究. 并表揚了這兩位同學(xué)善于思考、質(zhì)疑并能提出有質(zhì)量的問題. 然后我要求數(shù)學(xué)課外小組的同學(xué)和我一起探索.同學(xué)們異常興奮，表現(xiàn)出了極大的學(xué)習(xí)興趣. 經(jīng)過一段較長時間師生共同努力，反復(fù)嘗試，查閱資料，推導(dǎo)與論證等，最終形成以下結(jié)果.

1 空間到異面直線a、b的距離相等的動點的軌跡是馬鞍面

若異面直線a、b相互垂直，設(shè)它們之間的距離是m，設(shè)DD1是它們的公垂線段，則DD1=m,如圖2. 構(gòu)造正方體ABCD-A1B1C1D1. 設(shè)AA1、CC1的中點分別是H、K，以DD1的中點O為原點，OH為x軸，OK為y軸，OD1為z軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz. 設(shè)點P(x,y,z)是軌跡上任意一點，作PQ⊥平面ABCD, 垂足是Q，作PR⊥平面A1B1C1D1, 垂足是R，又作PM⊥a,PN⊥b, 垂足分別是點M、N，連接QM、RN, 則QM⊥a,RN⊥b. 所以

圖2

由PM=PN,

化簡得方程：x2-y2=2mz

①

對于任意兩條異面直線a、b，設(shè)它們所成的角是2α(0° <α≤45° ), 它們之間的距離是m，設(shè)它們的公垂線段是ST，則ST=m, 如圖3. 取ST的中點O，過點O分別作直線a′,b′，使得a′∥a,b′∥b, 以點O為原點，分別以相交直線a′，b′(所在平面內(nèi))所成四個角的兩條角平分線為x軸、y軸，以直線ST為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz(為達到直觀的效果，以點O為中心，分別以異面直線a、b為上下底面的兩條對角線所在直線，構(gòu)造長方體ABCD-A1B1C1D1)如圖3. 設(shè)點P(x,y,z)是軌跡上任意一點，作PQ⊥平面ABCD, 垂足是Q，作PR⊥平面A1B1C1D1, 垂足是R，又作PM⊥b,PN⊥a, 垂足分別是點M、N，連接QM、RN, 則QM⊥b,RN⊥a. 取BC的中點E.

圖3

sin ∠QSM=sin |∠QSE-∠MSE|

=|sin (∠QSE-∠MSE)|

=|sin ∠QSEcos ∠MSE

-cos ∠QSEsin ∠MSE|

所以，QM=SQ·sin ∠QSM

同理RN=|xcosα+ysinα|.

由PM=PN，

②

方程①和②均表示馬鞍面.由此可得：

定理到兩條異面直線的距離相等的動點的軌跡是馬鞍面(由方程的形式可知，此軌跡只是一類特殊的馬鞍面，不是所有的馬鞍面)[1].

2 根據(jù)方程，畫出馬鞍面

方程①是一個三元二次方程，我們能根據(jù)方程畫出軌跡嗎？這在過去是不可能的，只能在教科書中翻出一些示意圖，然而利用現(xiàn)代信息技術(shù)我們自己也可以畫出其軌跡，幾何畫板沒有設(shè)置空間直角坐標(biāo)系，因此不能直接根據(jù)三元二次方程畫出空間曲面. 筆者經(jīng)過一番探索發(fā)現(xiàn)，幾何畫板可以在坐標(biāo)系里以動點為原點建立新的坐標(biāo)系，這樣，用“動態(tài)坐標(biāo)系”畫出了方程①的曲面.具體如下：

把x看成一個可變的常數(shù)t，則方程①就轉(zhuǎn)化為關(guān)于x，z的二元二次方程. 從中解出z來，得到函數(shù)

取動點O′(t, 0, 0), 以動點O′為新原點，在經(jīng)過點O′垂直于x軸的平面內(nèi)建立新坐標(biāo)系y′O′z′.相當(dāng)于把原坐標(biāo)系按向量OO′平移到平面y′O′z′. 在新坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)的曲線(如圖4).

圖4

改變t的值，就可以構(gòu)造出曲線束，以曲線束表示曲面，如圖5. 此即所求點P的軌跡，即馬鞍面. 并且，圖5把馬鞍面與正方體表面的交線也顯示了出來,四段交線均是拋物線的一部分. 不過圖5只是馬鞍面的一部分.馬鞍面的整體形象如圖6.

圖5

圖6

用幾何畫板畫出方程②的軌跡(過程略)，可以看出馬鞍面是“雙直紋”面, 如圖7.

圖7

3 馬鞍面的性質(zhì)

由方程①和②可知馬鞍面具有以下兩條性質(zhì).

性質(zhì)1用平行于異面直線a,b的公垂線或者經(jīng)過該公垂線的平面截馬鞍面，截線都是拋物線或者一條直線(馬鞍面的一條直紋)；

性質(zhì)2用和異面直線a、b的公垂線相交的平面截馬鞍面，截線都是雙曲線或者兩條相交直線(馬鞍面的雙直紋).

此兩條性質(zhì)的證明比較復(fù)雜，屬于空間解析幾何研究的內(nèi)容.本文從略[2].

4 居高臨下，編出新題

既然到兩條的異面直線a,b的距離相等的動點的軌跡是馬鞍面，而馬鞍面又具備上面兩條性質(zhì)，那么，我們可以得出以下結(jié)論：在圖1的正方體的每個面或者對角面所在的平面內(nèi)，到異面直線a,b的距離相等的動點的軌跡就相當(dāng)于用該平面去截馬鞍面所得到的曲線，則一定是拋物線、雙曲線、兩條相交直線或者一條直線這四種情況之一.

這樣我們就可以回到圖1或者再構(gòu)造新的圖形，編出一系列相關(guān)的題目：

變式1如圖1，在正方體ABCD-A1B1C1D1的面DCC1D1內(nèi)到異面直線a、b的距離相等的動點的軌跡是( ).

A.圓弧 B.橢圓的一部分

C.雙曲線的一部分 D.拋物線的一部分

答案：D(如圖5，軌跡是馬鞍面與正方形DCC1D1的交線，即正方形DCC1D1內(nèi)點O,C間的一段拋物線).

說明：此題資料上常有.用拋物線的定義即可解決.另外也可以把面DCC1D1改為面ADD1A1，難度相當(dāng)，答案即為圖5中正方體左側(cè)面內(nèi)的O、A1兩點間的一段拋物線.

變式2如圖1，在棱長為2的正方體ABCD-

A1B1C1D1的面ABB1A1內(nèi)到異面直線a、b的距離相等的動點的軌跡是( ).

A.圓弧 B.橢圓的一部分

C.雙曲線的一部分 D.拋物線的一部分

解以直線AB為x軸，直線AA1為y軸，在平面ABB1A1內(nèi)建立平面直角坐標(biāo)系(如圖8)，設(shè)點P(x,y)是軌跡上任一點，由PM=PA，可得

圖8

化簡得軌跡方程為x2=-4(y-2)(0≤x≤2).

答案：D(如圖8，拋物線的一部分).

點評：在多面體的某一個面上建立坐標(biāo)系，是本題的難點，也是下面所有題的難點.同時也是這一系列題的一個特色.

說明：也可以把面ABB1A1改為面BCC1B1,如圖9. 問題的解答思路和答案是一樣的，但方位不同, 建坐標(biāo)系的難度有所增加.可以直線BC為x軸，直線BB1為y軸建立平面直角坐標(biāo)系, 求得軌跡方程是(x-2)2=4y(0≤x≤2).軌跡也是拋物線的一部分.

圖9

變式3如圖10，已知長方體ABCD-A1B1C1D1的長、寬、高分別是2、1、2，則正方形ABB1A1內(nèi)到異面直線a、b(即直線AA1、DC)的距離相等的動點的軌跡是( ).

圖10

A.圓弧 B.橢圓的一部分

C.雙曲線的一部分 D.拋物線的一部分

圖11

變式4如圖12，已知長方體ABCD-A1B1C1D1的長、寬、高分別是2、2、1，則正方形A1B1C1D1內(nèi)到異面直線a、b的距離相等的動點的軌跡是( ).

A.圓弧 B.橢圓的一部分

C.雙曲線的一部分 D.拋物線的一部分

圖12

提示：此題相當(dāng)于把上題的“立著的箱子”放倒，可如圖建立坐標(biāo)系(坐標(biāo)平面是水平放置的直觀圖).求得軌跡方程是x2-y2=1(0≤x≤2，y≥0).故選C.

變式5如圖13，在棱長為2的正方體ABCD-

A1B1C1D1的對角面DBB1D1內(nèi)到異面直線a、b的距離相等的動點的軌跡是( ).

圖13

A.線段 B.圓弧

C.雙曲線的一部分 D.拋物線的一部分

解法1如圖14，以DB為x軸，DD1為y軸，在平面DBB1D1內(nèi)建立平面直角坐標(biāo)系. 設(shè)點P(x,y)是對角面內(nèi)任意一點，如圖14作輔助線，DQ=x,QP=y. 由PR=PT，得

圖14

就是線段BD1. 答案：A

說明：如果是在平面DBB1D1內(nèi)求軌跡，結(jié)果就是兩條相交直線：

解法2(篩選法)該對角面上顯然有共線的三點(點B、點D1和正方體的中心)在軌跡上，而選項B、C、D中的曲線上都不可能有三點共線. 故答案只能是A.

變式6如圖15，在棱長為2的正方體ABCD-

A1B1C1D1的對角面ABC1D1內(nèi)到異面直線a、b的距離相等的動點的軌跡是( ).

A.線段 B.圓弧

C.雙曲線的一部分 D.拋物線的一部分

圖15

解以AB為x軸，AD1為y軸，在平面ABC1D1內(nèi)建立平面直角坐標(biāo)系(圖16).設(shè)點P(x,y)是對角面內(nèi)任意一點，如圖作輔助線，AQ=x,QP=y,由PS=PT，得

圖16

軌跡恰為矩形ABC1D1的對角線BD1(和變式5的答案方程不同，但卻是同一條線段). 答案：A

變式7如圖17，在棱長為2的正方體ABCD-

A1B1C1D1的對角面ACC1A1內(nèi)到異面直線a、b的距離相等的動點的軌跡是( ).

A.線段 B.圓弧

C.雙曲線的一部分 D.拋物線的一部分

圖17

分析：觀察只能得出軌跡過對角面的中心，在對角面內(nèi)不再過其它特殊點.難以直觀判斷.

圖18

化簡得

軌跡是雙曲線在對角面ACC1A1內(nèi)的部分. 答案：C.

說明：此方程不是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程. 故此題難度偏大，不宜作為高考練習(xí)題，可作為課外題或競賽題.

變式8如圖19，已知長方體ABCD-A1B1C1D1的長、寬、高分別是4、2、4，求正方形ABB1A1內(nèi)到異面直線A1B和DC1(分別記為a,b)的距離相等的動點的軌跡方程，并畫出軌跡.

圖19

圖20

解設(shè)正方形ABB1A1的四條邊的中點分別是E，F(xiàn)，G，H(如圖20), 以EF為x軸，GH為y軸，在平面ABB1A1內(nèi)建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)點P(x,y) (-2≤x≤2, -2≤y≤2)是正方形ABB1A1內(nèi)任意一點，

如圖作輔助線，x=OT,y=TP,QP=x+y,

又MN=2，

軌跡是反比例函數(shù)圖像的一部分.

說明：(1)此題若分別以直線AB、AA1為x軸、y軸建立坐標(biāo)系，則求出的方程是：

圖21

變式8把立體幾何、解析幾何、函數(shù)知識等都融會貫通在一起了，并且從一個獨特的角度證明了反比例函數(shù)的圖像就是解析幾何中的等軸雙曲線.是一個“含金量”很高的問題.

以上展示了由簡單、特殊的軌跡問題出發(fā)，進行探索，進而發(fā)現(xiàn)所求軌跡是馬鞍面，并研究了馬鞍面的基本性質(zhì)，再進一步發(fā)現(xiàn)軌跡(馬鞍面)與正方體的六個面及其對角面所在平面的交線是拋物線、雙曲線、相交直線或者一條直線這四種曲線之一，從而編出一系列軌跡問題的全過程.

以上八個變式通過解析法在立體圖形中的運用，充分體現(xiàn)了對解析法的深刻理解和靈活運用, 從新的視角融合了立體幾何與解析幾何的知識和方法.

八個變式問題都是讓學(xué)生解答在某個平面內(nèi)的動點的軌跡問題，但實際上教師是在三維空間中研究問題，然后把結(jié)果投射到某個平面內(nèi)來編題的，教師編題的視野和思維是比展現(xiàn)在學(xué)生面前的問題多了一個維度的！這樣才能居高臨下，編出新題、好題，才能有效培養(yǎng)和提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)和創(chuàng)新精神！