代 欽

(內(nèi)蒙古師范大學(xué)科學(xué)技術(shù)史研究院 010022)

幾何作圖一直以來(lái)在幾何教育中扮演著重要角色.自古希臘泰勒斯在幾何中引進(jìn)證明思想、畢達(dá)哥拉斯學(xué)派發(fā)現(xiàn)無(wú)理數(shù)以及歐幾里得編寫(xiě)《幾何原本》等數(shù)學(xué)事件，牢固地確立了幾何學(xué)崇高地位并形成了近2000年的傳統(tǒng)，這種傳統(tǒng)并沒(méi)有因笛卡兒創(chuàng)立解析幾何而被終止.進(jìn)入19世紀(jì)以后歐幾里得《幾何原本》的教育功能被質(zhì)疑，遭到挑戰(zhàn).中國(guó)1904年確立新的數(shù)學(xué)教育體制，其后各發(fā)展階段的“課程標(biāo)準(zhǔn)”中提出了幾何作圖的教學(xué)目標(biāo)和要求，并翻譯、編寫(xiě)出版了一系列中小學(xué)幾何作圖教科書(shū)，直至1949年中華人民共和國(guó)成立，幾何作圖教學(xué)受到重視.

1 對(duì)幾何作圖及幾何教育沿革的初步認(rèn)識(shí)

1.1 幾何作圖的認(rèn)識(shí)

圖是一種語(yǔ)言，是人類(lèi)互相交流的重要工具之一.人離開(kāi)了圖無(wú)法交流，甚至可以說(shuō)人離開(kāi)了圖就回到原始狀態(tài).圖有各種各樣，豐富多彩.我們可以將這些圖分類(lèi)為圖像、圖象和圖形三大類(lèi)型.自然界的事物或建筑物的描摹形成圖像；抽象數(shù)學(xué)表達(dá)式或方程的直觀(guān)表達(dá)可以形成圖象，一般叫做函數(shù)圖象；空間中的各種要素之間關(guān)系的抽象描繪可以形成幾何圖形.在自然界和人類(lèi)生活中，圖無(wú)處不在.數(shù)學(xué)、地理學(xué)、動(dòng)植物學(xué)、物理化學(xué)、人文科學(xué)等主學(xué)科都借助圖表述自己的內(nèi)涵.事實(shí)上，人類(lèi)和抽象符號(hào)的創(chuàng)造的原始形態(tài)也是從圖開(kāi)始的.無(wú)論是圖的何種形態(tài)，它們都是表達(dá)人類(lèi)情感思想的一種方式.圖的學(xué)習(xí)和認(rèn)識(shí)與其他語(yǔ)言一樣，是人類(lèi)生活中不可或缺的重要組成部分.因此，自古以來(lái)無(wú)論是東方還是西方都格外重視圖的教育，特別表現(xiàn)在幾何學(xué)、藝術(shù)等領(lǐng)域中.圖的學(xué)習(xí)不僅是為了掌握交流或表達(dá)思想感情，而且也是為了養(yǎng)成人的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S和良好的工作習(xí)慣.在教育的各個(gè)不同階段，圖的教育扮演著極其重要的角色.在圖像和圖形的學(xué)習(xí)過(guò)程中，圖形的學(xué)習(xí)具有基礎(chǔ)性地位，圖形的學(xué)習(xí)就是作圖的學(xué)習(xí)，簡(jiǎn)單講就是幾何作圖的學(xué)習(xí).在學(xué)校數(shù)學(xué)教育中，使學(xué)生牢固掌握作圖的基本知識(shí)、方法和技能以及作圖工具的功能等方面皆為作圖教學(xué)的基礎(chǔ)性工作.圖有以下功能：其一是圖將具體事物進(jìn)行抽象化，將復(fù)雜的事物進(jìn)行簡(jiǎn)單化，表示個(gè)別事物的普遍意義.其二是將抽象的思想事物進(jìn)行形象化、直觀(guān)化，幫助人們易于把握抽象思想.圖在從具體到抽象、從抽象到具體之間起到橋梁作用，正如古希臘哲學(xué)家柏拉圖所說(shuō)那樣，數(shù)學(xué)是“把靈魂拖著離開(kāi)變化世界進(jìn)入實(shí)在世界的學(xué)問(wèn).”[注]柏拉圖.理想國(guó)[M].郭斌和，張竹明，譯.北京：商務(wù)印書(shū)館，1995:521.其三，作圖過(guò)程也許點(diǎn)燃創(chuàng)造的火花，激起靈感，引出問(wèn)題，從而推動(dòng)數(shù)學(xué)的健康發(fā)展.古希臘的“幾何作圖不能問(wèn)題”的提出就是一個(gè)明證.

1.2 幾何教育沿革的認(rèn)識(shí)

古希臘泰勒斯在幾何學(xué)中引進(jìn)證明思想給數(shù)學(xué)注入了新鮮血液和理性精神，接著畢達(dá)哥拉斯學(xué)派發(fā)現(xiàn)無(wú)理數(shù)引起數(shù)學(xué)的第一次危機(jī)以及歐幾里得編撰《幾何原本》以后，幾何學(xué)的神圣地位被確立，直至笛卡兒創(chuàng)立解析幾何之前被尊為不可挑戰(zhàn)的傳統(tǒng).解析幾何創(chuàng)立后，幾何學(xué)的傳統(tǒng)地位有所減弱，但是它與代數(shù)學(xué)喜結(jié)良緣，并駕齊驅(qū)，實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)的內(nèi)部和諧，在其后的發(fā)展中作為教科書(shū)的《幾何原本》內(nèi)容體系沒(méi)有改變.18世紀(jì)中葉之前《幾何原本》和亞里士多德學(xué)說(shuō)被西方社會(huì)尊崇為金科玉律，不得違背，否則受到相應(yīng)處罰.然而，17世紀(jì)中葉開(kāi)始，法國(guó)等國(guó)家的數(shù)學(xué)教育悄然地開(kāi)始了.拉米(Bernard Lamy)所著教科書(shū)《Les èlèments de gèomètrie,ou de la mesuredu corps》(1684)已經(jīng)打破了歐幾里得《幾何原本》體系，而且一直被使用到18世紀(jì)中葉，影響頗大，如法國(guó)偉大思想家盧梭在1737年—1740年間的回憶中高度評(píng)價(jià)該書(shū)：“我又開(kāi)始學(xué)習(xí)初級(jí)幾何，但是，由于我想彌補(bǔ)我記憶力差的缺點(diǎn)，所以老是翻來(lái)覆去地?zé)o數(shù)次從頭學(xué)起，因而進(jìn)展不大.我不喜歡歐幾里得的幾何學(xué)，因?yàn)樗鼈?cè)重于一連串題目的演示，而不闡述概念的聯(lián)系.我特別喜歡拉米神甫的幾何學(xué).這位神甫是我最喜歡的著述家之一，直到現(xiàn)在，我還依然饒有興趣地讀他的書(shū).接著，我又開(kāi)始研究代數(shù)，我還是用拉米神甫的代數(shù)學(xué)作我的入門(mén)讀物.”[注][法]盧梭.盧梭全集第1卷懺悔錄(上)[M].李平漚，譯.北京：商務(wù)印書(shū)館，2013:316-317.1741年，法國(guó)數(shù)學(xué)教育家亞歷西斯克羅德克雷洛在其所著教科書(shū)序言中對(duì)歐幾里得幾何學(xué)提出了批評(píng)：“兩圓相交，自然不能同心，一三角形包一三角形，自然內(nèi)形三邊之和，小于外形三邊之和，盡人皆知，毋庸贅述，而歐幾里得氏，乃不憚煩而證明之，寧非異事.固執(zhí)之詭辯家，嘗否認(rèn)普通自然之理，幾何家理應(yīng)出而辯服之…，但至今日，事變時(shí)遷，非復(fù)往日之面目，凡關(guān)于心地明白，一見(jiàn)即能了解之辯論，在今日為徒費(fèi)光陰，僅足混淆真理而招讀者之厭棄之事.”[注]卡約黎.初等算學(xué)史[M].曹丹文，譯.上海：商務(wù)印書(shū)館，1931：231.到了19世紀(jì)以后，西方國(guó)家出現(xiàn)提倡數(shù)學(xué)教育的實(shí)用性的現(xiàn)象，這也表明了人們對(duì)純粹的幾何學(xué)教科書(shū)《幾何原本》的懷疑.1836年英國(guó)著名心理學(xué)家和哲學(xué)家哈密爾頓(W.Hamilton，1788—1856)、1844年德國(guó)的著名哲學(xué)家叔本華(Schopenhauer，1788—1860)等學(xué)者對(duì)數(shù)學(xué)教育的“形式陶冶說(shuō)”(注：“形式陶冶說(shuō)”即為“數(shù)學(xué)是鍛煉思維的體操”之概括說(shuō)法)提出了質(zhì)疑.叔本華提出[注][德]叔本華.作為意志和表象的世界[M].石沖白，譯.北京：商務(wù)印書(shū)館，1995:115—119.：

歐幾里德所證明的一切如此如彼，都是人們?yōu)槊苈伤炔坏貌怀姓J(rèn)的，但是何以如此如彼，那就無(wú)法得知了.所以人們幾乎是好像看過(guò)魔術(shù)表演一樣，有一種不太舒服的感受；事實(shí)上，歐幾里德大多數(shù)的證明都顯著地像魔術(shù).

通常在幾何學(xué)中，例如在畢達(dá)哥拉斯定理中，需要作出一些直線(xiàn)，卻不明白為什么要這樣做；往后才發(fā)現(xiàn)這些原來(lái)都是圈套，出其不意地收緊這圈套的口，就俘虜了學(xué)習(xí)人的信服，學(xué)習(xí)人只得拜倒而承認(rèn)一些他完全不懂個(gè)中情況的東西.事實(shí)竟至于此，學(xué)習(xí)人可以從頭至尾研讀歐幾里得的著作，然而仍不能對(duì)空間關(guān)系的規(guī)律有任何真正的理解；代之而有的只是背誦一些來(lái)自此等規(guī)律的結(jié)果.這種原屬經(jīng)驗(yàn)的，非科學(xué)的知識(shí)就如一個(gè)醫(yī)生，他雖知道什么病要用什么藥，卻不認(rèn)識(shí)兩者間的關(guān)系一樣.

圖1 畢達(dá)哥拉斯定理的特例

畢達(dá)哥拉斯定理也告訴了我們直角三角形的一種隱秘屬性.(如圖1)歐幾里得那矯揉造作，挖空心思的證明，一到“何以如此”就避而不見(jiàn)面了；而下列簡(jiǎn)單的，已經(jīng)熟知的圖形，一眼看去，就比他那個(gè)證明強(qiáng)得多.這圖形讓我們有透入這事的理解，使我們從內(nèi)心堅(jiān)定地理解[上述]那種必然性，理解[上述]那種屬性對(duì)于直角的依賴(lài)性；在勾股兩邊不相等的時(shí)候，要解決問(wèn)題當(dāng)然也可以從直觀(guān)理解入手.

1869年，博物學(xué)家赫胥黎在《兩周評(píng)論報(bào)》上發(fā)表文章貶低數(shù)學(xué)說(shuō)：“算學(xué)一科，全不知觀(guān)察、實(shí)驗(yàn)、歸納、因果等法.”1869年在另外一種雜志《Macmillan》上又發(fā)表言論道：“算學(xué)之訓(xùn)練，幾純屬演繹方法.算學(xué)家之起手，僅需少數(shù)之公理，一見(jiàn)即能了解，無(wú)待證明者，其余工作，即由此等公理演繹而出.”[注]卡約黎.初等算學(xué)史[M].曹丹文，譯.上海：商務(wù)印書(shū)館，1931：254.

F.克萊因?qū)ι鲜鲅哉撨M(jìn)行了嚴(yán)厲的反駁.1901年，杜威、桑代克(Thorndike)等著名學(xué)者重新提倡數(shù)學(xué)教育的新的“形式陶冶說(shuō)”[注]佐佐木元太郎.現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育史年表[M].東京：圣文社，1985：87..杜威和桑代對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理學(xué)以及數(shù)學(xué)功能，杜威著作有《數(shù)的心理學(xué)及其在算術(shù)教學(xué)法上的應(yīng)用》，桑代克著作有《算術(shù)心理學(xué)》和《代數(shù)心理學(xué)》，均沒(méi)有中譯本.

數(shù)學(xué)界雖然不同意一些著名哲學(xué)家、科學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)的藐視，但是他們也意識(shí)到學(xué)校數(shù)學(xué)內(nèi)容確實(shí)存在問(wèn)題.因此，首當(dāng)其沖的是英國(guó)應(yīng)用數(shù)學(xué)家培利選擇了擺脫歐氏幾何束縛，開(kāi)創(chuàng)實(shí)驗(yàn)幾何的道路.這對(duì)后來(lái)的世界教育產(chǎn)生了深刻影響.歐美出現(xiàn)了各種實(shí)驗(yàn)幾何教科書(shū)、幾何作圖教科書(shū)、用器畫(huà)教科書(shū)或幾何畫(huà)教科書(shū).

雖然出現(xiàn)中學(xué)幾何學(xué)內(nèi)容削減、引進(jìn)實(shí)驗(yàn)幾何，弱化推理幾何的現(xiàn)象，但是自古希臘以來(lái)對(duì)幾何作圖的規(guī)范性要求并沒(méi)有減弱.古希臘偉大的哲學(xué)家和教育家蘇格拉底和某一數(shù)學(xué)家關(guān)于“整體是否等于其部分”的談話(huà)，充分展示了幾何作圖規(guī)范性要求的重要性，也反映了幾何學(xué)習(xí)不能僅憑直觀(guān)經(jīng)驗(yàn)和擁有社會(huì)地位者的傲慢態(tài)度.故事如下：有一天蘇格拉底與一位幾何學(xué)家談?wù)摗叭w大于部分”這個(gè)幾何學(xué)公理，他設(shè)計(jì)了這樣一個(gè)題目，使幾何學(xué)家大吃一驚[注]吳國(guó)盛.科學(xué)的歷程(上冊(cè))[M].長(zhǎng)沙：湖南科學(xué)技術(shù)出版社，1995:105.：

圖2

如圖2，自線(xiàn)段AB的兩端作等長(zhǎng)的線(xiàn)段AC和BD，使∠ABD為直角，∠BAC為鈍角.連接CD并作線(xiàn)段AB、CD的中垂線(xiàn)OM、ON，相交于O點(diǎn).則AO=BO，CO=DO，(中垂線(xiàn)上任一點(diǎn)和兩端點(diǎn)等距離).又AC=BD.

所以△AOC≌△BOD(SSS)，

所以∠OAC=∠OBD(對(duì)應(yīng)角) ，

又∠OAB=∠OBA(等腰三角形底角)，所以∠BAC=∠ABD.即鈍角等于直角.

這說(shuō)明，作為幾何學(xué)家的對(duì)話(huà)者過(guò)于相信自己的直覺(jué)和經(jīng)驗(yàn)，熟練地制作了幾何圖形，意外地出現(xiàn)了謬誤的結(jié)果.這也告訴人們即使是幾何學(xué)家或老練的數(shù)學(xué)教師也不能一點(diǎn)含糊，作圖時(shí)要遵循幾何作圖的規(guī)范性要求.

又如，歐幾里得回答托勒密?chē)?guó)王提問(wèn)那樣：“幾何學(xué)中沒(méi)有為國(guó)王專(zhuān)門(mén)鋪設(shè)的道路.”

2 清末民國(guó)時(shí)期幾何作圖教學(xué)要求及其特點(diǎn)

幾何作圖并不是西方世界獨(dú)有的教育現(xiàn)象，它在古代的不同數(shù)學(xué)文明中均有不同形式的存在，如在中國(guó)最遲在數(shù)學(xué)經(jīng)典著作《周髀算經(jīng)》中就有很多幾何作圖.但中國(guó)古代數(shù)學(xué)中的幾何作圖卻沒(méi)有提出明確的要求和程序性說(shuō)明，這種現(xiàn)象也對(duì)研究中國(guó)古代幾何學(xué)帶來(lái)了諸多不便.而西方數(shù)學(xué)格外重視幾何作圖的規(guī)范性要求，這也是數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性體系所不可或缺的內(nèi)在要求.在下面介紹的《20世紀(jì)中國(guó)中小學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)·教學(xué)大綱匯編(數(shù)學(xué)卷)》[注]課程教材研究所.20世紀(jì)中國(guó)中小學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)·教學(xué)大綱匯編(數(shù)學(xué)卷)[Z].北京：人民教育出版社，2001.清末民國(guó)時(shí)期幾何作圖教學(xué)要求皆為從西方國(guó)家傳進(jìn)來(lái)的舶來(lái)品.

2.1 清末民國(guó)時(shí)期幾何作圖教學(xué)要求

清末民國(guó)時(shí)期數(shù)學(xué)教育制度沿革情況：1904年《奏定中學(xué)堂章程》；1923年《新學(xué)制課程標(biāo)準(zhǔn)綱要》；1929年《初級(jí)中學(xué)算學(xué)暫行課程標(biāo)準(zhǔn)》；1929年《高級(jí)中學(xué)普通科算學(xué)暫行課程標(biāo)準(zhǔn)》；1932年《初級(jí)中學(xué)算學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》；1932年《高級(jí)中學(xué)算學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》；1936年《初級(jí)中學(xué)算學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》；1936年《高級(jí)中學(xué)算學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》；1941年《修正初級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》；1941年《修正高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》；1941年《六年制中學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)草案》；1948年《修訂初級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》；1948年《修訂高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》.自1904年至1922年，中國(guó)中學(xué)不分初中和高中，小學(xué)分初等小學(xué)和高等小學(xué)，高等小學(xué)相當(dāng)于后來(lái)的初中.自1922年“新學(xué)制”的“六三三制”頒布實(shí)施后才出現(xiàn)初中和高中，學(xué)制分別三年，小學(xué)為六年制.

自1904年至1922年，幾何作圖教學(xué)要求簡(jiǎn)明扼要，基本延續(xù)了1904年《奏定中學(xué)堂章程》提出的要求：“其講幾何，須詳于理論，使得應(yīng)用于測(cè)量求積等法.”1922年以后對(duì)初中和高中幾何作圖教學(xué)都提出了“教材大綱”要求和“實(shí)施方法”要求，直至1949年除微調(diào)以外沒(méi)有大的變化.初中又分為“實(shí)驗(yàn)幾何”和“理論幾何”作圖要求.下面以1941年的“標(biāo)準(zhǔn)”中幾何作圖要求為例說(shuō)明，1941年分別制定了《修正初級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》、《修正高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》和《六年制中學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)草案》，其中的幾何作圖要求如下：

初中教材大綱：實(shí)驗(yàn)幾何——平面幾何圖形；基本作圖題；理論幾何——基本作圖法；幾何——作圖之方法.

初中實(shí)施方法概要之教法要點(diǎn)：(1)先從實(shí)驗(yàn)幾何引起學(xué)生興趣，輸入基本概念；(2)使學(xué)生知定理及作圖解決問(wèn)題；(3)養(yǎng)成作圖精確、寫(xiě)式整潔、立論有本諸習(xí)慣；(4)軌跡與作圖僅授大意.

高中教材大綱：第一學(xué)年：作圖——(甲)基本作圖與基本作圖題；(乙)作圖法——軌跡交截法、代數(shù)分析法、變形法及變位法.

高中實(shí)施方法概要之教法要點(diǎn)：(1)使學(xué)生對(duì)于幾何基礎(chǔ)、定理證明法、求軌跡法及作圖法有透徹之了解；(2)注重軌跡及作圖，發(fā)展學(xué)生探討之能力.

六年制中學(xué)教材大綱：(第三學(xué)年)實(shí)驗(yàn)及平面：平面幾何圖形之認(rèn)識(shí)，基本圖形之作法；(第四學(xué)年)平面之續(xù)：基本作圖法及作圖題之證明(關(guān)于直線(xiàn)形及圓)；(第五學(xué)年)幾何(平面之續(xù)及立體)：作圖題法——軌跡交截法，代數(shù)分析法，變形法及變位法.

六年制中學(xué)實(shí)施方法概要之教法要點(diǎn)：

(1)幾何教學(xué)之開(kāi)始，遲代數(shù)兩學(xué)期，其教材之排列，與代數(shù)平行，亦亙七學(xué)期之久，每學(xué)期亦各有其主要教材：第一學(xué)期為實(shí)驗(yàn)幾何之部，自第二學(xué)期起始講授推理幾何，由是而直線(xiàn)形、圓、比例、面積、軌跡、作圖，以進(jìn)于立體之部，關(guān)于近世幾何之簡(jiǎn)單定理，亦略涉及.

(2)幾何事項(xiàng)，本為直觀(guān)教材，故應(yīng)從實(shí)驗(yàn)幾何入手，俾易引起學(xué)生興趣，而基本觀(guān)念即藉以灌輸.實(shí)驗(yàn)幾何教學(xué)時(shí)，應(yīng)使學(xué)生自動(dòng)作圖、度量，尤以立體圖形，更應(yīng)自作紙板，或其他模型，以確實(shí)其觀(guān)念.無(wú)論平面或立體，凡關(guān)于度量之簡(jiǎn)單公式，應(yīng)利用實(shí)驗(yàn)方法驗(yàn)明之.

(3)軌跡作圖應(yīng)特加注意，因此二者不獨(dú)可用以推理證題，尚可發(fā)展學(xué)生探求發(fā)明之能力.

(4)幾何證題及作圖，應(yīng)就可能范圍內(nèi)，盡量采用代數(shù)方法，求已知條件與未知條件間之關(guān)系.

(5)立體幾何以空間性質(zhì)及量法為主，務(wù)使學(xué)生能透視平面上之圖形，了解各種立體之構(gòu)造，宜與用器畫(huà)取得聯(lián)絡(luò).

由此可見(jiàn)，通過(guò)幾何作圖，使學(xué)生牢固掌握幾何知識(shí)的同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)幾何之興趣、良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣和探究問(wèn)題之能力.

2.2 清末民國(guó)時(shí)期幾何作圖教學(xué)要求的特點(diǎn)

幾何作圖內(nèi)容和要求呈現(xiàn)以下特點(diǎn)

(1)自1904年至1922年之間，“章程”和“課標(biāo)”中的幾何教學(xué)內(nèi)容和作圖要求基本沒(méi)有變化.

(2)1922年頒布“新學(xué)制”后中學(xué)分為初中和高中，學(xué)制分別為三年.初高中都設(shè)置平面幾何內(nèi)容，由于民國(guó)時(shí)期施行教科書(shū)多元化制度的原因，有時(shí)候初中和高中的平面幾何的有些內(nèi)容重復(fù)出現(xiàn).初高中有“教材大綱”和“實(shí)施方法”兩項(xiàng)，在前者中說(shuō)明具體教學(xué)內(nèi)容，在后者中提出具體的實(shí)施方法.

(3)在初中幾何中設(shè)置“實(shí)驗(yàn)幾何”和“理論幾何”(亦稱(chēng)“推理幾何”)，在兩者中均提出了“切實(shí)訓(xùn)練基本圖形畫(huà)法，務(wù)使整潔正確.”之幾何作圖要求，“實(shí)驗(yàn)幾何”側(cè)重于以培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和動(dòng)手能力為目的，以具體直觀(guān)材料為教材，以實(shí)驗(yàn)法或作圖法為手段證明幾何命題或解決幾何問(wèn)題.例如，同高同底的柱體和椎體的體積關(guān)系、不在同一條直線(xiàn)上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓(如何作三角形的外接圓)、如何將一個(gè)圓弧復(fù)原為一個(gè)圓等問(wèn)題的解決都是通過(guò)作圖方法.另外，初中的實(shí)驗(yàn)幾何和理論幾何的內(nèi)容并不是截然分開(kāi)的，有一定的交叉或者重復(fù).初中幾何特別強(qiáng)調(diào)在作圖過(guò)程中使學(xué)生得出幾何圖形的基本性質(zhì).

(4)高中注重作圖法的討論，將作圖法滲透于軌跡問(wèn)題和幾何證明問(wèn)題中，同時(shí)強(qiáng)調(diào)在作圖題中應(yīng)用代數(shù)方法(即為數(shù)形結(jié)合方法).高中還要求適當(dāng)添加幾何畫(huà)和透視法的補(bǔ)充教材.高中幾何作圖教學(xué)也應(yīng)該與中學(xué)圖畫(huà)科的用器有機(jī)結(jié)合，以便在相關(guān)學(xué)科之間融會(huì)貫通.

3 幾何作圖教科書(shū)

3.1 幾何作圖教科書(shū)出版概況

在清末數(shù)學(xué)教科書(shū)建設(shè)方面，小學(xué)數(shù)學(xué)教科書(shū)由國(guó)人自編的較多，中學(xué)數(shù)學(xué)教科書(shū)絕大多數(shù)為翻譯或編譯日本、歐美的教科書(shū).隨著社會(huì)的進(jìn)步，中國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)教科書(shū)由最初的翻譯、編譯外國(guó)教科書(shū)，最終實(shí)現(xiàn)了自主創(chuàng)新，使數(shù)學(xué)教科書(shū)具有了自己的特色.就一般而言，清末中學(xué)數(shù)學(xué)教科書(shū)呈現(xiàn)“新穎性”特點(diǎn)、“多元性”特點(diǎn)、“滯后性”特點(diǎn)和“合作性”特點(diǎn).幾何作圖教科書(shū)也呈現(xiàn)這些特點(diǎn).1912年，中華民國(guó)成立后，教科書(shū)發(fā)展進(jìn)入一個(gè)新的階段，體現(xiàn)新政體的指導(dǎo)思想.中學(xué)數(shù)學(xué)教科書(shū)主要以自編為主，以翻譯為輔，有條件的中學(xué)使用自編教科書(shū)和外文教科書(shū).民國(guó)時(shí)期，編纂中學(xué)數(shù)學(xué)教科書(shū)的學(xué)者愈來(lái)愈多，可謂形成了教科書(shū)建設(shè)者群體.幾何作圖教科書(shū)的發(fā)展雖然沒(méi)有和算術(shù)、代數(shù)、幾何和三角學(xué)教科書(shū)的發(fā)展那樣壯觀(guān)，但在這個(gè)歷史時(shí)期也有不可小覷的重要地位.從表1可見(jiàn)其發(fā)展概貌.

表1 清末民國(guó)時(shí)期幾何作圖教科書(shū)(部分)

3.2 幾何作圖教科書(shū)個(gè)案

(1)“學(xué)堂章程”頒布后的最早的幾何作圖教科書(shū)

圖3 教科書(shū)封面和序

張景良編的《高等小學(xué)幾何畫(huà)教科書(shū)》(文明書(shū)局，1904年，119頁(yè))目錄如下：

1.釋名；2.繪圖器具；3.圖板及丁字尺；4.繪圖紙及定針；5.三角板及曲線(xiàn)板；6.尺度及分度線(xiàn)；7.規(guī)；8.鉛筆橡皮；9.鋼筆及虛線(xiàn)筆；10.小刀及涂料；11.顏料及著色筆；12.盛色具及水杯；13.修理器械法；14.繪圖者之心得；15.使用器械法；16.繪關(guān)于直線(xiàn)之圖法；17.繪關(guān)于角之圖法；18.繪關(guān)于圓之圖法；19.繪關(guān)于三角形之圖法；20.繪關(guān)于四角形及多角形之圖法(附：圓周求分為數(shù)等分法)；21.繪關(guān)于面積之圖法；22.繪關(guān)于容切之圖法；23.繪關(guān)于拋物線(xiàn)之圖法；24.繪關(guān)于橢圓之圖法；25.繪關(guān)于雙曲線(xiàn)之圖法；26.制縮尺之法；27.縮尺之制度；28.繪示力圖法；29.繪機(jī)械圖法；30.繪金屬及木材之剖面圖法；31.繪測(cè)量圖法；32.測(cè)量圖記號(hào)；33.文字方位及輪廓；34.著墨之法；35.施彩色之法；36.顏料之調(diào)和法；37.測(cè)量圖之彩色；38.建筑圖及機(jī)械圖之彩色；39.繪圖之次序；40.寫(xiě)圖及縮圖法(附：繪地球圖之經(jīng)緯線(xiàn)法).

(2)“最新中學(xué)教科書(shū)”中作圖教科書(shū)

《最新中學(xué)教科書(shū)用器畫(huà)教科書(shū)》目錄——平面幾何畫(huà)法(92頁(yè))

總說(shuō)；第一編—直線(xiàn)：直線(xiàn)、角、直線(xiàn)形；第二編—圓：切線(xiàn)、內(nèi)容形、外切形、弧成橢圓、卵形、平螺旋線(xiàn)；第三編—比例：線(xiàn)之比及比例、相似性、縮圖、放大圖；第四編—面積：分積、等積；第五編—曲線(xiàn)：橢圓、拋物線(xiàn)、雙曲線(xiàn)、平螺旋線(xiàn).

《最新中學(xué)教科書(shū)用器畫(huà)教科書(shū)》目錄——投影畫(huà)法(58頁(yè))

總說(shuō)；第一編—平面：點(diǎn)、直線(xiàn)、直線(xiàn)形、圓形；第二編—立體：立體之切斷及其解展、柱體、椎體；第三編—相貫體：柱體椎體球體等之相貫體.

圖4 最新中學(xué)教科書(shū)用器畫(huà)

(3)中學(xué)應(yīng)用幾何畫(huà)教科書(shū)(上下、附圖三冊(cè)，文明書(shū)局，1910年)

圖5 中學(xué)應(yīng)用幾何畫(huà)教科書(shū)

(卷上)目錄 第一編 平面幾何(174頁(yè))

第一章 總論；第二章 角與線(xiàn)；第三章 角度及直線(xiàn)之量法；第四章 三角形；第五章 四邊形；第六章 多角形；第七章 圓；第八章 比與比例；第九章 尺度；第十章 相似性；第十一章 作圖法；第十二章 直線(xiàn)形之內(nèi)切級(jí)外接；第十三章 圓之內(nèi)切形；第十四章 圓之外切形(外接形)；第十五章 內(nèi)切圓；第十六章 外接圓；第十七章 橢圓之簡(jiǎn)易畫(huà)法；第十八章 面積；第十九章 雜題；第二十章 用幾何畫(huà)作種種花紋法.

(下卷)目錄 第二編 立體幾何(134頁(yè))

第一章 總論；第二章 釋名；第三章 關(guān)于立體之射影畫(huà)法；第四章 關(guān)于立體剖面之畫(huà)法；第五章 雜題.

第三編 畫(huà)法幾何

第一章 釋名；第二章 點(diǎn)之射影；第三章 直線(xiàn)之射影；第四章 平面；第五章 雜題.

第四編 圖解演算法

第一章 定單位法；第二章 加法及減法；第三章 乘法及除法；第四章 乘方；第五章 平方根.

由上述三種教科書(shū)目錄可見(jiàn)，首先，小學(xué)幾何畫(huà)教科書(shū)中有除基本工具及其用法之外，在沒(méi)有學(xué)習(xí)相關(guān)理論知識(shí)的情況下安排了橢圓、拋物線(xiàn)、雙曲線(xiàn)、圓周的等分、不同圖形的容切、剖面圖、地球的經(jīng)緯線(xiàn)的畫(huà)法等內(nèi)容.這種現(xiàn)象猶如先學(xué)習(xí)語(yǔ)言再學(xué)習(xí)語(yǔ)法那樣，先學(xué)習(xí)作圖，到中學(xué)后再學(xué)習(xí)其理論知識(shí).其次，三種教科書(shū)的平面部分內(nèi)容除表述上有所不同外，其內(nèi)容基本相同.立體部分的內(nèi)容主要有射影或投影幾何和畫(huà)法幾何之簡(jiǎn)單內(nèi)容.再次，三種教科書(shū)都注重了幾何畫(huà)的知識(shí)技能在生活實(shí)際上的應(yīng)用.最后，清末的幾何作圖教科書(shū)的內(nèi)容體系一直延續(xù)到民國(guó)終結(jié)，但是進(jìn)入民國(guó)后射影幾何畫(huà)和畫(huà)法幾何各自單獨(dú)形成教科書(shū)，不在立體幾何畫(huà)中.

(4)幾何作圖教科書(shū)作圖舉例

清末幾何作圖教科書(shū)中的基本作圖內(nèi)容一直延續(xù)到民國(guó)結(jié)束，但有些表述有所不同.如清末教科書(shū)中將西方的ABCD……等改寫(xiě)為甲乙丙丁……，如圖6.圖7為正多邊形作圖方法，圖8為橢圓的作圖方法.關(guān)于具體作圖方法，另寫(xiě)論文討論.

圖6 清末教科書(shū)中幾何作圖

圖7 民國(guó)教科書(shū)中的幾何作圖

圖8 民國(guó)教科書(shū)中的幾何作圖

3.3 幾何作圖教科書(shū)特點(diǎn)

1.各種幾何作圖教科書(shū)沒(méi)有統(tǒng)一的名稱(chēng)，出現(xiàn)“用器畫(huà)”、“幾何畫(huà)”和“幾何作圖”等名稱(chēng).“用器畫(huà)”和“幾何畫(huà)”等術(shù)語(yǔ)最早出現(xiàn)在日本明治時(shí)期幾何教科書(shū)中，也沒(méi)有得到統(tǒng)一，因此，我國(guó)數(shù)學(xué)教育工作者在以日本為師的大背景下直接使用了這兩個(gè)術(shù)語(yǔ).

2.幾何作圖內(nèi)容不只局限在幾何作圖教科書(shū)中，而且在平面幾何、立體幾何和解析幾何教科書(shū)中以不同形式不同水平出現(xiàn).

3.將作圖教科書(shū)內(nèi)容分為三個(gè)類(lèi)型，第一類(lèi)型為基本作圖知識(shí)，包括作圖工具的認(rèn)識(shí)、角平分線(xiàn)、垂直平分線(xiàn)等基本圖形的作圖方法；第二類(lèi)型為常用的經(jīng)典圖形的制作，如正五邊形、正六邊形、正七邊形等；第三種類(lèi)型為日常生活中常見(jiàn)的幾何圖案;第四種類(lèi)型為幾何問(wèn)題解決作圖題.

4.幾何作圖教科書(shū)被審定的占少數(shù)，多數(shù)為沒(méi)有經(jīng)過(guò)審定.從使用或版次來(lái)看，1904年至1912年間清末的幾何作圖教科書(shū)種類(lèi)和版次較多，相對(duì)而言民國(guó)作圖教科書(shū)的使用和版次有所減少.從整體上看，幾何作圖教科書(shū)的發(fā)展在出版企業(yè)、翻譯或編譯渠道、內(nèi)容體系、作者群等方面均呈現(xiàn)多元化特征.

5.由“表1：清末民國(guó)時(shí)期幾何作圖教科書(shū)(部分)”可知，個(gè)別地區(qū)或個(gè)別學(xué)校自行編寫(xiě)幾何作圖教科書(shū)，個(gè)別學(xué)校使用外文幾何作圖教科書(shū)，這些現(xiàn)象也反映了幾何作圖教學(xué)被重視的情況.

4 結(jié)語(yǔ)

教育和教學(xué)是一種創(chuàng)造性的工作，它從最基本的知識(shí)和技能的學(xué)習(xí)開(kāi)始.幾何作圖的基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)、基本技能的掌握以及用作圖方法解決問(wèn)題，不僅僅是單純的作圖技能的學(xué)習(xí)，而是在這些過(guò)程中學(xué)生也能夠?qū)W到幾何學(xué)的思想方法.教育是一種循序漸進(jìn)的過(guò)程，不能急于求成，更不能采取極端化的做法.因此，即便是信息技術(shù)高度發(fā)達(dá)的今天，不能把幾何作圖的工作全部交給幾何畫(huà)板，而應(yīng)該讓學(xué)生自己腳踏實(shí)地地學(xué)習(xí)幾何作圖，親身體驗(yàn)作圖的過(guò)程和樂(lè)趣，使他們能夠找到學(xué)習(xí)幾何的感覺(jué).數(shù)學(xué)教師，他們的一言一行都感染著學(xué)生，影響著學(xué)生.現(xiàn)在存在的問(wèn)題是數(shù)學(xué)教師重視幾何作圖不夠，更尤甚者少數(shù)數(shù)學(xué)教師自己也沒(méi)有養(yǎng)成良好的作圖習(xí)慣，有些數(shù)學(xué)教師在作圖時(shí)根本不適用作圖工具，很“熟練”地作圖以顯示自己的“熟能生巧”之水平.這些現(xiàn)象也會(huì)潛移默化地影響他們的學(xué)生和學(xué)生的學(xué)生，如此下去的后果是不堪設(shè)想的，這還需要論證嗎？！

致謝：衷心感謝博士生張彩云同學(xué)提供珍貴文獻(xiàn)——《中學(xué)應(yīng)用幾何畫(huà)教科書(shū)》(三冊(cè)，1910年).