曹海峰
內(nèi)容提要:等差數(shù)列和等比數(shù)列問題一直以來都是高考的熱點問題,有時甚至是難點問題。考察的點主要是等差數(shù)列、等比數(shù)列,以及能轉(zhuǎn)化為等差(比)數(shù)列的數(shù)列,而學(xué)生對此掌握的并不好。故而,對于此處的數(shù)列問題,還需對學(xué)生進一步強化,掌握解決這樣數(shù)列問題的方法和技巧,提高其得分率。
關(guān)鍵詞:類型;技巧;模式化
類型一.等差數(shù)列的判斷和證明
例1 [全國大綱卷]數(shù)列{ }滿足 =1, =2, =2 - +2,
(1)設(shè) = - ,證明{ }是等差數(shù)列。
(2)求{ }的通項公式。
解:(1)證明:∵ =2 - +2
= - -( - )
= - +2- + =2又 = =2-1=1
{ }是以首項為1,公差為2的等差數(shù)列。
(2)由(1)得, =1+2(n-1),即 - =2n-1,
=1, =3, =5,…, - =2n-3,
累加可得 - =1+3+5+…+(2n-3)=
= .
總結(jié)反思:等差數(shù)列的判斷方法
(1)定義法:對于 的任意自然數(shù),驗證 - 為同一常數(shù)。
(2)等差中項法:驗證 = + ( )成立。
(3)通項公式法:驗證 = 。
(4)前n項和公式法:驗證 。
在解答題中常應(yīng)用定義法和等差中項法,而通項公式法和前n項和公式法主要適用于選擇題和填空題的簡單判斷。
類型二.等差數(shù)列的前n項和最值問題
例2 若等差數(shù)列{ }滿足 , ,則當n為何值時,數(shù)列{ }的前n項和最大。
解:∵
又∵
當n=8時{ }的前n項和最大。
類型三.等比數(shù)列的判定和證明
例3 數(shù)列{ }的前n項和為 , =1, 4 +2,若 = -2 ,求證:{ }為等比數(shù)列。
證明:∵ = - =4 +2-4 -2=4 -4
= =2 又∵ = , =5
= -2 =3
數(shù)列{ }是首項為3,公比為2的等比數(shù)列。
總結(jié)反思:等比數(shù)列的判定方法
(1)定義法 若 ,則{ }是等比數(shù)列。
(2)等比中項法 , = 。
(3)通項公式法 。
(4)前n項和公式法 = 。
類型四.特例驗證法破解數(shù)列問題
例4 已知數(shù)列{ }的前n項和為 , =1, ,求 =( )。
A. B. C. D.
解法一:令n=1,則得 ,故 ,而 =2 ,故A錯,
,故C錯,
,故D錯,所以選B。
解法二:∵
數(shù)列{ }從第二項起為等比數(shù)列。
又∵ 時,
總之,特例驗證法就是從題干出發(fā),運用滿足題設(shè)條件的某些特殊值、特殊角、特殊圖像等,對各選項進行檢驗和推理。
類型五.等差、等比數(shù)列的綜合運算
例5[湖北高考題]已知等差數(shù)列{ }滿足: =2,且 , , 成等比數(shù)列。
(1)求數(shù)列{ }的通項公式。
(2)記 為數(shù)列{ }的前n項和,是否存在正整數(shù)n,使得 ,若存在,求n的最小值,若不存在,說明理由。
解:(1)設(shè)數(shù)列{ }公差為d,有
得 或 ,
當 時, =2。
當 時, =4n-2。
數(shù)列{ }的通項公式為 =2或 =4n-2。
(2)當 =2, =2n,顯然2n<60n+800,
此時不存在正整數(shù)n,使得 >60n+800成立。
當 =4n-2時, =
令 >60n+800,即
得 或 (舍去)
此時存在正整數(shù)n,使 >60n+800成立,n的最小值為41。
綜上,當 =2時,不存在滿足題意的n。
當 =4n-2時,存在滿足題意的n,最小值為41。
總結(jié)反思:解決等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題,關(guān)鍵是理清兩個數(shù)列的關(guān)系,如果同一數(shù)列中部分項成等差數(shù)列,部分項成等比數(shù)列,要把成等差(比)數(shù)列的項抽出來單獨研究,如果兩個數(shù)列運算綜合在一起,要從分析運算入手,把兩個數(shù)列分割開弄清兩個數(shù)列各自的特征,再進行求解。
總之,數(shù)列問題高考難度適中,學(xué)生應(yīng)掌握適當?shù)慕忸}方法和精準的運算,此種題型高考應(yīng)拿滿分,我們還應(yīng)在三輪復(fù)習(xí)的過程中加強訓(xùn)練。