初元紅,馬紅娟,鄭喜英

(黃河科技學(xué)院,中國(guó) 鄭州 450063)

用修正的割線法求解奇異問題

初元紅,馬紅娟,鄭喜英

(黃河科技學(xué)院,中國(guó) 鄭州 450063)

為了求解奇異問題，在Hilbert空間中，將割線法和外推技巧相結(jié)合得到新的迭代格式，其收斂速率為0.3.未改進(jìn)的割線法的收斂速率0.618，改進(jìn)的割線法收斂速率得到大大的提高.同時(shí)，該算法對(duì)于一般的Banach空間同樣適用.最后，通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了這一結(jié)果.

Hilbert空間；改進(jìn)的割線法；奇異問題；幾何特征；收斂速率

計(jì)算科學(xué)的快速發(fā)展，使很多實(shí)際問題如工程問題、生物問題等轉(zhuǎn)化為求解非線性方程.對(duì)于一般常規(guī)方程如非奇異問題，比較成熟的方法如Newton法、割線法等.其基本思想是利用前面獲得的關(guān)于方程左端函數(shù)的信息—在函數(shù)充分光滑的前提下，逐步迭代轉(zhuǎn)化為零點(diǎn)的信息[1-4].當(dāng)導(dǎo)算子的逆不存在時(shí)如奇異問題，無論是算法的收斂條件、收斂性還是收斂速率都受到很大的影響，于是Rall，Decker和Kelley[5-8]等人針對(duì)奇異問題進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)Newton法在一個(gè)星形區(qū)域內(nèi)雖然收斂，但收斂速度較慢僅為線性收斂.之后，在奇異點(diǎn)處算法的收斂性和加速成為眾多學(xué)者關(guān)心的一個(gè)課題[9-12].潘狀元[10]證明了割線法收斂速度相對(duì)較快并得到了漸進(jìn)收斂率為0.618.本文修正了割線法，使得漸進(jìn)收斂率提高到0.30，進(jìn)一步提高了算法的效用.

設(shè)F為Hilbert空間H到H的光滑非線性算子，x*為方程F(x)=0的解.考慮用割線法求解非線性方程，其迭代如下[10]：

yn+1=yn-F(xn,yn)-1F(yn)，

(1)

其中F(xn,yn)的形式如引理1所示.

假設(shè)F′(x*)為指數(shù)為0的Fredholm算子，用N和X表示F′(x*)零空間和值域，用PN和PX表示H到N和X上的投影算子且滿足[4]：

(2)

PNF″(x*)(φ,φ)≠0，

PN=I-PX.

(3)

(4)

設(shè)F(x,y)為H×H到L(H)算子，滿足

(5)

引理1[10]設(shè)F(x,y)=(f1(x),f2(x),…,fn(x)),x∈Rn,構(gòu)造F(u,v)如下：F(u,v)=(aij)n×m,其中

引理2[10]若F滿足下列條件

(1) dimN=1,

(2)B(z)=PNF″(x*)(z,PN·)為N上的可逆算子，對(duì)任意z∈N.

(6)

(7)

(8)

其中A,c為常數(shù).

引理4[12]?x,y∈H，H是Hilbert空間，t為參數(shù)，則有

‖tx+(1-t)y‖2=t‖x‖2+(1-t)‖y‖2-t(1-t)‖x-y‖2.

(9)

1 主要結(jié)論

針對(duì)式(1)修正的迭代格式：

(10)

在奇異點(diǎn)附近，式(1)在F′(x*)的零空間N方向收斂速度比值域慢得多，筆者旨在針對(duì)零空間進(jìn)行適當(dāng)修正，進(jìn)一步加速迭代格式(1) 在零空間N方向收斂速度.

(11)

由Taylor公式知：

由割線法知：

由(6)可知：F(x0,y0)-1=β-1(x0,y0)+β0(x0,y0)代入上式得:

(12)

由引理2可知：

同理，可以推出

且存在常數(shù)c1,c2使下式成立：

(13)

ρn=yn-x*,ζn+ηn=Znζn.

定理2若定理1條件滿足，則存在序列{tn:n=1,2,…}，使得到新序列

(14)

利用Hilbert空間的特征不等式得：

則

為了提高算法的收斂速率,令

2 計(jì)算實(shí)例

取初始點(diǎn)x1=0.1，x2=0.5，y1=0.12，y2=0.5，部分計(jì)算結(jié)果見表1.

表1 部分計(jì)算結(jié)果

3 結(jié)論

[1] 張一斌，曾喆昭.解非線性方程的一種新方法[J].湖南師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào), 2006,29(3): 36-38.

[2] 李夏云，陳傳淼. 求非線性方程組所有根的Newton場(chǎng)線法[J].湖南師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào), 2009,32(4): 10-13.

[3] 蔡松柏,沈蒲生. 關(guān)于非線性方程組求解技術(shù)[J].湖南師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào), 2000,23(3):86-91.

[4] 孫 哲,吳 磊 . 求解一類HJB方程的非線性SOR迭代法[J].湖南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2010,37(7):86-88.

[5] RALL L B. Convergence of the Newton process to multiple solutions[J]. Numer Math, 1966,9(1):23-37.

[6] REDDIEN G W. On Newton’s method for singular problems[J]. SIAM J Numer Anal, 1978,15(5):993-996.

[7] DECKER D W, KELLEY C T. Convergence rates for Newton’s method at singular point[J]. SIAM J Numer Anal, 1983,20(2):296-314.

[8] DECKER D W, KELLEY C T. Convergence acceleration for Newton’s method at singular point[J]. SIAM J Numer Anal, 1982,19(1):219-229.

[9] 楊月梅,潘狀元. 用非精確的平行割線法求解奇異問題[J]. 數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí), 2013,43(6):240-245.

[10] 潘狀元. 用弦線法求解奇異問題[J].高等學(xué)校計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報(bào), 1987(2):104-109.

[11] 初元紅,孫貴玲.用改進(jìn)的Newton求解奇異問題[J].湖南師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào),2014,37(5):81-84.

[12] 楊忠華.弦法在奇異點(diǎn)處一個(gè)改進(jìn)格式[J].高等學(xué)校計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報(bào), 1990(2):151-157.

TheModifiedSecantMethodforSolvingSingularProblem

CHUYuan-hong*,MAHong-juan,ZHENGXi-ying

(Huanghe Science and Technology College, Zhengzhou 450063, China)

In Hilbert space, we modified secant method with the extrapolation technique in order to solve the singular problems. The convergence rate of the new iteration is 0.3 rather than 0.618 of the original. So the convergence rate of the modified secant method is distinctively improved, which is also applicable to the general Banach space. Finally, numerical experiment is presented to confirm this result.

Hilbert space; modified secant method; singular problems; geometry character; convergence rate

10.7612/j.issn.1000-2537.2017.06.015

2016-10-05

河南省教育廳資助項(xiàng)目(14B110024); 鄭州市科技局資助項(xiàng)目(20141374,20141375);黃河科技學(xué)院教改資助項(xiàng)目(JM2012014)

*通訊作者,E-mail：chuyuanh@163.com

O241

A

1000-2537(2017)06-0087-06

(編輯 HWJ)