相中啟

(上饒師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，中國 上饒 334001)

Hilbert C*-模中g(shù)-Riesz基的新刻畫

相中啟

(上饒師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，中國 上饒 334001)

利用算子理論方法證明了HilbertC*-模上的可伴算子序列是g-Riesz基且有唯一對偶g-框架當(dāng)且僅當(dāng)相應(yīng)的合成算子是一線性同胚，這修正了已有的一個(gè)結(jié)論.進(jìn)一步，作為該結(jié)果的直接應(yīng)用，給出了HilbertC*-模中的g-Riesz基具有唯一對偶g-框架的保界等價(jià)刻畫.

HilbertC*-模；g-框架；g-Riesz基；對偶g-框架

框架(經(jīng)典框架)是規(guī)范正交基的推廣，它由Duffin和Schaeffer[1]于1952年引入，當(dāng)時(shí)被用于處理非調(diào)和Fourier級數(shù)中的一些深刻問題.1986年，Daubechies等[2]的開創(chuàng)性工作揭示了小波理論和框架理論之間的緊密聯(lián)系，自此框架理論作為小波分析中一個(gè)重要分支得到了廣泛而深入的研究[3-6].如今，框架因其靈活性和冗余性已在圖像與信號處理、數(shù)據(jù)壓縮和抽樣理論等領(lǐng)域中扮演著重要的角色.隨著框架研究的深入，學(xué)者們提出了多種框架的離散推廣形式，其中孫文昌教授[7]引入的g-框架更具一般性，它包含了諸如子空間框架(融合框架)、斜框架和偽框架等一些框架推廣形式.

另一方面，框架和g-框架被類比到了HilbertC*-模中[8-9].雖然HilbertC*-模是Hilbert空間的自然推廣，但是二者之間還是存在著許多的本質(zhì)不同.例如，HilbertC*-模中拓?fù)淇裳a(bǔ)的閉子模未必正交可補(bǔ)，這導(dǎo)致一些有關(guān)規(guī)范正交基的結(jié)果無法推廣到HilbertC*-模的情形；Hilbert空間上關(guān)于連續(xù)線性泛函的著名的Riesz表示定理并不適用于HilbertC*-模，這蘊(yùn)含著HilbertC*-模上的某些有界算子不可伴，等.同時(shí)應(yīng)當(dāng)指出，由于HilbertC*-模中所嵌入的C*-代數(shù)的復(fù)雜性，以及Hilbert空間中的一些經(jīng)典技巧在HilbertC*-模中要么未知要么缺失，從而使得HilbertC*-模中的框架和g-框架問題要比Hilbert空間復(fù)雜和難以處理，所以框架和g-框架理論由Hilbert空間到HilbertC*-模的推廣工作并非平凡.此外，近年來的一系列研究成果表明HilbertC*-模理論與小波特別是框架理論有著多方面的密切聯(lián)系，一方的發(fā)展都將對另一方的發(fā)展起著積極的促進(jìn)作用，這使得HilbertC*-模中框架和g-框架的研究工作重要和有意義.目前，HilbertC*-模中的框架特別是g-框架已得到了廣泛的研究[10-15].

肖祥春和曾曉明[16]引入并研究了HilbertC*-模中的一類特殊的g-框架—g-Riesz基.特別地，他們得到了HilbertC*-模中g(shù)-Riesz基的一個(gè)等價(jià)刻畫([16,定理3.3]).然而一個(gè)反例(本文例1)表明該結(jié)果的必要條件不成立，本文的目的是修正其結(jié)果并給出HilbertC*-模中的g-Riesz基具有唯一對偶g-框架的保界等價(jià)刻畫.

1 一些定義和引理

定義1[9]任意j∈,設(shè)).如果存在常數(shù)0

(1)

則稱{Λj}j∈是H關(guān)于{Kj}j∈的g-框架，C，D分別稱為{Λj}j∈的下、上框架界.如果C=D=1，則稱{Λj}j∈是Parsevalg-框架.如果(1)式右端的不等式成立，則稱{Λj}j∈是H關(guān)于{Kj}j∈的g-Bessel序列，D稱為g-Bessel界.

定義2[12]設(shè){Λj}j∈是H關(guān)于{Kj}j∈的g-框架，其合成算子U：l2({Kj}j∈)→H定義為：

U({gj}j∈)=(gj),?{gj}j∈∈l2({Kj}j∈).

(2)

容易驗(yàn)證U是可伴的且其伴隨算子由下式給出：

U*:H→l2({Kj}j∈),U*f={Λjf}j∈,?f∈H.

(3)

復(fù)合U和U*便得到{Λj}j∈的框架算子：

(4)

易見S是正自伴的可逆算子，于是任意f∈H由(4)式可得：

(5)

任意j∈,置則直接計(jì)算可知也是H關(guān)于{Kj}j∈的g-框架，稱為{Λj}j∈的典范對偶g-框架.

定義3[9]設(shè){Λj}j∈,{Γj}j∈分別是H關(guān)于{Kj}j∈的g-框架和g-Bessel序列，如果對任意的f∈H有

(6)

則稱{Γj}j∈是{Λj}j∈的對偶g-框架.

定義4[16]設(shè){Λj}j∈是H關(guān)于{Kj}j∈的g-框架，稱{Λj}j∈是g-Riesz基，如果下列兩個(gè)條件成立:

(i)任意j∈,Λj≠0;

為了證明主要結(jié)論，需要下面的幾個(gè)引理.

(i)T是滿射.

(ii)T*關(guān)于范數(shù)下有界，即存在m>0使得任意f∈K,‖T*f‖≥m‖f‖.

(iii)T*關(guān)于內(nèi)積下有界，即存在m′>0使得任意f∈K,〈T*f,T*f〉≥m′〈f〉.

由引理1立即可得如下結(jié)果，其證明是平凡的，故略去.

(i)如果T是滿射，則TT*可逆且

‖(TT*)-1‖-1·IdK≤TT*≤‖T‖2·IdK.

(ii)如果T是單射且有閉的值域，則T*T可逆且

‖(TT*)-1‖-1·IdH≤T*T≤‖T‖2·IdH.

記號IdH和IdK分別表示H和K上的恒等算子.

TT?T=T，T?TT?=T?，(TT?)*=TT?，(T?T)*=T?T.

(7)

下文中，記號θ?總是用來表示可伴算子θ的Moore-Penrose逆(如果存在).

引理4[16]任意j∈,設(shè)則{Λj}j∈是H關(guān)于{Kj}j∈的g-框架當(dāng)且僅當(dāng)

U：l2({Kj}j∈)→H,U({gj}j∈)=(gj)

(8)

是定義好的有界滿射算子.

引理5任意j∈,設(shè)則{Λj}j∈是H關(guān)于{Kj}j∈的g-Bessel界為D的g-Bessel序列當(dāng)且僅當(dāng)

(9)

證結(jié)論的必要性是平凡的，下證充分性.設(shè)序列{Λj}j∈滿足(9)式.任意?,任意{gj}j∈∈l2({Kj}j∈),因?yàn)?/p>

T:H→l2({Kj}j∈),Tf={Λjf}j∈,?f∈H,

所以T是可伴的.故此

2 主要結(jié)果及證明

下面的結(jié)果即為文獻(xiàn)[16]中的定理3.3:

斷言1任意j∈,設(shè)則序列{Λj}j∈是H的g-Riesz基當(dāng)且僅當(dāng)(8)式定義的算子U是一線性同胚.

確實(shí)，如果(8)式定義的算子U是一線性同胚，則{Λj}j∈是H的g-Riesz基，但反之不對.因?yàn)槿粝鄳?yīng)于g-Riesz基的合成算子是線性同胚，則每個(gè)g-Riesz基都應(yīng)有唯一的對偶g-框架，這一般不成立，參見下面的例子.

例1設(shè)l∞是所有有界復(fù)值序列的集合.任意u={uj}j∈,v={vj}j∈∈l∞,定義

則A={l∞,‖·‖}是一C*-代數(shù).

設(shè)H=C0表示所有收斂于零的序列的全體.任意u,v∈H,定義

則H是A上的HilbertC*-模.

設(shè){ej}j∈是H的規(guī)范正交基，m∈.任意j∈,令

且定義Λj:H→Kj為：

任意f∈H,由于

所以{Λj}j∈是H關(guān)于{Kj}j∈的Parsevalg-框架.

容易驗(yàn)證

任意j∈,因?yàn)棣玧e(j-1)m+l=e(j-1)m+l,因此Λj≠0.任意?,{gj}j∈∈l2({Kj}j∈),如果則任意i∈,

顯然{Λj}j∈是其自身的對偶g-框架.現(xiàn)在令

則易見{Γj}j∈是H關(guān)于{Kj}j∈的g-Bessel序列，且Λ1e2m=0,Γ1e2m=e2m.因此Γ1≠Λ1.任意f∈H,由于所以

因此

這表明{Γj}j∈也是{Λj}j∈的對偶g-框架.

斷言1可修正為如下形式.

定理1任意j∈,設(shè)則序列{Λj}j∈是H的g-Riesz基且具有唯一對偶g-框架當(dāng)且僅當(dāng)(8)式定義的算子U是一線性同胚.

證設(shè){Λj}j∈是H的g-Riesz基且有唯一對偶g-框架.要證(8)式定義的算子U是一線性同胚，由引理1和4知只需證明R(U*)=l2{Kj}j∈.假設(shè)R(U*)≠l({Kj}j∈),則存在F={Fj}j∈∈(R(U*))⊥滿足‖F(xiàn)‖=1.定義可伴算子列如下：

Qj:l2({Kj}j∈)→Kj,Qj(G)=〈G，F(xiàn)〉Fj,?j∈.

任意G={Gj}j∈∈l2({Kj}j∈)有

由引理5知{QjT}j∈是H關(guān)于{Kj}j∈的界為‖T‖2的g-Bessel序列.因?yàn)镕與R(U*)正交，所以任意f,g∈H可得

所以{Γj}j∈是{Λj}j∈的對偶g-框架.令h=T-1F,則(QjT)(h)=〈F,F〉Fj.因?yàn)?/p>

所以Qj不全為零.因此{(lán)Γj}j∈是{Λj}j∈的異于的對偶g-框架，這與{Λj}j∈的對偶g-框架的唯一性相矛盾.

反過來，設(shè)(8)式定義的算子U是一線性同胚，則易見{Λj}j∈是關(guān)于{Λj}j∈的對偶g-框架.設(shè)?,{gj}j∈∈l2({Kj}j∈),若則對于任意的j∈,令gj=0可得

因?yàn)閁是單射，所以由上式立即可得gj=0對一切j∈成立.下證任意j∈,Λj≠0.假設(shè)存在n∈使得Λn=0.令0≠gn∈Kn;當(dāng)n≠j∈時(shí)，令0=gj∈Kj,則

利用U的單射性可知任意j∈,gj=0,矛盾.完成證明.

推論1任意j∈,設(shè)).如果{Λj}j∈是H的g-Riesz基且有唯一的對偶g-框架，則任意j∈,{Λj}j∈{j}不再構(gòu)成H的g-框架.

證假設(shè)存在j0∈使得{Λj}j∈{j0}是H關(guān)于{Kj}j∈{j0}的g-框架，其框架算子記為S.令

由重構(gòu)公式(5)可得

由定理1,U是單射，于是任意j∈,gj=0,矛盾.

下面的兩個(gè)結(jié)果是定理1的直接應(yīng)用.定理2表明HilbertC*-模中具有唯一對偶g-框架的g-Riesz基可以表示為可逆算子在一列投影下的像.

定理2任意j∈,設(shè)則{Λj}j∈是H的g-Riesz基且有唯一對偶g-框架當(dāng)且僅當(dāng)Λj=PjΓ,其中可逆，Pj是l2({Kj}j∈)上的將其每個(gè)序列映為第j個(gè)分量的投影.

證首先設(shè){Λj}j∈是H的g-Riesz基且有唯一對偶g-框架，U是其合成算子.由定理1知U可逆，從而U*可逆.任意i∈,f∈H,因?yàn)棣玦f=Pi({Λjf}j∈)=PiU*f,所以Λi=PiU*.

由引理2可得

所以{Λj}j∈是H的框架界為‖(Γ*Γ)-1‖-1，‖?！?的g-框架且易見其合成算子U=Γ*.再次利用定理1,{Λj}j∈是H的g-Riesz基且具有唯一對偶g-框架.

如下的關(guān)于HilbertC*-模中具有唯一對偶g-框架的g-Riesz基的等價(jià)刻畫保持了g-框架界信息.

(10)

證首先設(shè){Λj}j∈是H的框架界為C，D的g-Riesz基且具有唯一對偶g-框架，則由定理1可知R(U*)=l2({Kj}j∈).條件(i)由g-框架的定義立即可得.下證條件(ii),由引理5知只需證明(10)式左端的不等式.任意{gj}j∈∈l2({Kj}j∈),存在f∈H使得U*f={gj}j∈.于是

‖{gj}j∈‖4=‖〈U*f,U*f〉‖2≤‖UU*f‖2‖f‖2≤‖〈Λjf,Λjf〉‖‖UU*f‖2=

因此C‖{gj}j∈‖2≤‖U{gj}j∈‖2.

現(xiàn)在假設(shè)條件(i)和(ii)成立.任意f∈H,任意有限子集?,有

‖f‖2‖U({Λjf}j∈)‖2≤‖f‖2‖U‖2‖‖〈Λjf,Λjf〉‖,

由此可得

由引理5可知，{Λj}j∈是H的界為D的g-Bessel序列.

C‖U?U{gj}j∈‖2≤‖UU?U{gj}j∈‖2=‖U{gj}j∈‖2.

綜上，{Λj}j∈是H的界為C,D的g-框架，所以由引理4，U是滿射.顯然U是單射.于是由定理1知{Λj}j∈是H的g-Riesz基且具有唯一對偶g-框架.

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NewCharacterizationsofg-RieszBasesinHilbertC*-Modules

XIANGZhong-qi*

(School of Mathematics and Computer Science, Shangrao Normal University, Shangrao 334001, China)

The present paper proves, by utilizing the method of operator theory, that a sequence of adjointable operators on a HilbertC*-module is ag-Riesz basis with unique dualg-frame if and only if the corresponding synthesis operator is a homeomorphism, which provides a correction to one existing conclusion and further, as a direct application of this result, it gives an equivalent characterization forg-Riesz bases with unique dualg-frames in HilbertC*-modules, which preserves theg-frame bounds.

HilbertC*-module;g-frame;g-Riesz basis; dualg-frame

10.7612/j.issn.1000-2537.2017.06.014

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11761057);江西省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(20151BAB201007);江西省教育廳科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目(GJJ151061)

*通訊作者,E-mail：lxsy20110927@163.com

2016-12-15

O177.1

A

1000-2537(2017)06-0080-07

(編輯 HWJ)