徐 寶，王宇廷，馬藝光

(吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，中國(guó) 四平 136000)

Pareto分布形狀參數(shù)的最小風(fēng)險(xiǎn)同變估計(jì)

徐 寶，王宇廷，馬藝光

(吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，中國(guó) 四平 136000)

在加權(quán)p，q對(duì)稱(chēng)損失函數(shù)下，對(duì)實(shí)際中廣泛應(yīng)用的兩參數(shù)Pareto分布，當(dāng)刻度參數(shù)已知時(shí)，用參數(shù)估計(jì)方法，研究了形狀參數(shù)的最小風(fēng)險(xiǎn)同變估計(jì)的形式和性質(zhì). 得到了最小風(fēng)險(xiǎn)同變估計(jì)的一般形式，又經(jīng)由該參數(shù)的廣義Bayes估計(jì)，得到了最小風(fēng)險(xiǎn)同變估計(jì)的精確形式，并證明了這一最小風(fēng)險(xiǎn)同變估計(jì)具有最小最大性，從而它也是該參數(shù)的最小最大估計(jì)，由此將Pareto分布形狀參數(shù)的最小風(fēng)險(xiǎn)同變估計(jì)、廣義Bayes估計(jì)以及最小最大估計(jì)聯(lián)系起來(lái).

Pareto分布；最小風(fēng)險(xiǎn)同變估計(jì)；Bayes估計(jì)；最小最大估計(jì)

Pareto分布是一種在實(shí)際中有著廣泛應(yīng)用的統(tǒng)計(jì)分布，它一開(kāi)始是 Pareto 引進(jìn)作為收入的分布，主要用來(lái)描述諸如個(gè)人收入、城市人口的容量等問(wèn)題. 此外，自然現(xiàn)象的發(fā)生、股票價(jià)格的起伏波動(dòng)、油田位置、保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)等也可以用Pareto分布來(lái)描述[1]. 本文關(guān)注兩參數(shù)Pareto分布，其定義如下：若連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為

(1)

則稱(chēng)隨機(jī)變量X服從兩參數(shù)Pareto分布，其中α為形狀參數(shù)，θ為刻度參數(shù).

在現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)文獻(xiàn)中，Pareto分布參數(shù)的統(tǒng)計(jì)推斷問(wèn)題是常見(jiàn)的研究?jī)?nèi)容. 如：形狀參數(shù)的極大似然估計(jì)和一致最小方差無(wú)偏估計(jì)[2]；刻度參數(shù)的加權(quán)矩估計(jì)和最好線(xiàn)性無(wú)偏估計(jì)[3]；在LINEX損失函數(shù)下，形狀參數(shù)的經(jīng)驗(yàn)Bayes估計(jì)[4]；在平方損失函數(shù)下，形狀參數(shù)的漸進(jìn)最優(yōu)與可容許的經(jīng)驗(yàn)Bayes估計(jì)及其性質(zhì)[5]；在平方損失函數(shù)和LINEX損失函數(shù)下，形狀參數(shù)和可靠性指標(biāo)的Bayes估計(jì)[6]；刻度參數(shù)在右刪失數(shù)據(jù)下的經(jīng)驗(yàn)Bayes漸進(jìn)性質(zhì)[7]；在q-對(duì)稱(chēng)熵?fù)p失函數(shù)下，形狀參數(shù)的最小風(fēng)險(xiǎn)同變估計(jì)、Bayes估計(jì)、可容許與不可容許估計(jì)以及最小最大估計(jì)[8]，廣義矩估計(jì)[9]，刻度參數(shù)的區(qū)間估計(jì)[10]，形狀參數(shù)在某些限制下的估計(jì)[11]. 這些研究結(jié)果極大地豐富了Pareto分布參數(shù)估計(jì)的內(nèi)容，但從各種估計(jì)之間的關(guān)系來(lái)研究參數(shù)的估計(jì)形式和性質(zhì)的成果卻并多不見(jiàn). 本文將從這一角度出發(fā)，在Bayes框架下，研究Pareto分布參數(shù)的估計(jì)問(wèn)題. 在加權(quán)p,q對(duì)稱(chēng)損失函數(shù)[12]

(2)

下，當(dāng)刻度參數(shù)θ已知時(shí)，研究Pareto分布形狀參數(shù)α的最小風(fēng)險(xiǎn)同變估計(jì)的一般形式及其性質(zhì)，然后經(jīng)由Bayes估計(jì)，得到α的最小風(fēng)險(xiǎn)同變估計(jì)的精確形式，并證明這一最小風(fēng)險(xiǎn)同變估計(jì)同時(shí)還具有最小最大性，即它也是α的一個(gè)最小最大估計(jì). 在一定程度上將Bayes估計(jì)、最小風(fēng)險(xiǎn)同變估計(jì)以及最小最大估計(jì)聯(lián)系在一起.

1 形狀參數(shù)的最小風(fēng)險(xiǎn)同變估計(jì)

這一節(jié)在損失函數(shù)(2)下，對(duì)Pareto分布(1)，當(dāng)刻度參數(shù)θ已知時(shí)，討論形狀參數(shù)α的最小風(fēng)險(xiǎn)同變估計(jì)的一般形式與精確形式.

Pareto分布(1)中形狀參數(shù)α的最小風(fēng)險(xiǎn)同變估計(jì)由下面的定理給出.

定理1若X1,X2,…,Xn為抽自Pareto總體(1)的一組容量為n的樣本，記為X=(X1,X2,…,Xn)，再記Z=(Z1,Z2,…,Zn)，其中Zi=Xi/Xn,i=1,2,…,n-1，Zn=Xn/|Xn|，當(dāng)刻度參數(shù)θ給定時(shí)，假設(shè)估計(jì)量δ0(X)為形狀參數(shù)α在損失函數(shù)(2)下的同變估計(jì)，且具有有限風(fēng)險(xiǎn)，則α的最小風(fēng)險(xiǎn)同變估計(jì)具有如下的形式

且在幾乎處處相等的意義下，該估計(jì)是唯一的，其中E1表示α取1時(shí)估計(jì)量的數(shù)學(xué)期望.

對(duì)Pareto分布(1)，若要給出形狀參數(shù)的α最小風(fēng)險(xiǎn)同變估計(jì)的精確形式，則只需預(yù)先給定該參數(shù)的一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)有限的同變估計(jì)δ0(X)，由定理1.1 的表達(dá)式即可完成，但是計(jì)算比較麻煩.下面將在Bayes框架下，經(jīng)由討論α的Bayes估計(jì)，較快捷地得到α的最小風(fēng)險(xiǎn)同變估計(jì)的精確形式.

證取參數(shù)α的任一估計(jì)量δ(X)，則在損失函數(shù)(2)下，δ(X)對(duì)應(yīng)的Bayes風(fēng)險(xiǎn)為

在兩種給定先驗(yàn)分布下，參數(shù)α的Bayes估計(jì)的精確形式由下面推論給出.

證由于樣本X1,X2,…,Xn的聯(lián)合概率密度函數(shù)為

從而參數(shù)α的后驗(yàn)密度為

由定理2知，α的Bayes估計(jì)為

下面來(lái)證明這一Bayes估計(jì)是唯一的，為此只需證明δB(X)的Bayes風(fēng)險(xiǎn)有限，即rπ(δB(X))<∞.

從而δB(X)的Bayes風(fēng)險(xiǎn)為

即δB(X)的Bayes風(fēng)險(xiǎn)有限，所以α的Bayes估計(jì)δB(X)是唯一的.

推論2在無(wú)信息先驗(yàn)分布π(α)=1/α下，參數(shù)α的廣義Bayes估計(jì)的形式為

同時(shí)δ*(X)也是α的最小風(fēng)險(xiǎn)同變估計(jì)[14].

再由文獻(xiàn)[11]知，δ*(X)也是α的最小風(fēng)險(xiǎn)同變估計(jì).

2 參數(shù)α的最小最大估計(jì)

參數(shù)α的最小風(fēng)險(xiǎn)同變估計(jì)δ*(X)也是它的最小最大估計(jì)，為證明這一論斷，先介紹如下引理[15].

證易知參數(shù)α的估計(jì)量δ*(X)的風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)為

即R(α,δ*)是一個(gè)只與p、q、n有關(guān)的常數(shù)，記為ρ*. 取參數(shù)α的先驗(yàn)分布列為

當(dāng)k→∞時(shí)，有rπk(δ*)→ρ*. 于是，由引理2.1知，δ*(X)是參數(shù)α的最小最大估計(jì).

3 結(jié)束語(yǔ)

Pareto分布參數(shù)的估計(jì)是現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)文獻(xiàn)中比較常見(jiàn)的研究?jī)?nèi)容，本文基于p,q對(duì)稱(chēng)損失函數(shù)，經(jīng)由廣義Bayes估計(jì)，在刻度參數(shù)給定條件下，較快捷地給出了形狀參數(shù)的最小風(fēng)險(xiǎn)同變估計(jì)的精確形式，并證明了它還是該參數(shù)的最小最大估計(jì).本文得到的估計(jì)形式更簡(jiǎn)捷，可根據(jù)需要靈活調(diào)整待定常數(shù)p,q的值以得到預(yù)期的估計(jì)形式.

[1] SAMUEL K, 吳喜之. 現(xiàn)代貝葉斯統(tǒng)計(jì)學(xué)[M]. 北京：中國(guó)統(tǒng)計(jì)出版社，2000.

[2] DIXIT D J, NOOGHABI M J. Efficient estimation in the Pareto distribution with the presence of outliers [J]. Stat Math, 2011,8(4):340-355.

[3] WU J W, LEE W C, CHEN S C. Computational comparison for weighted moments estimators and BLUE of the scale parameter of a Pareto distribution with known shape parameter under type II multiply censored sample [J]. Appl Math Comput, 2006,181(2):1462-1470.

[4] 康會(huì)光, 師義民. LINEX 損失下Pareto 分布族參數(shù)的經(jīng)驗(yàn)Bayes估計(jì)[J]. 純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，2001,17(2)：169-174.

[5] 謝天華, 葉 鷹. Pareto分布參數(shù)的漸進(jìn)最優(yōu)與可容許的經(jīng)驗(yàn)Bayes估計(jì)[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué),2006,19(增)：237-240.

[6] 侯華蕾，師義民，李豪亮. 雙邊定數(shù)截尾下Pareto分布的可靠性[J].數(shù)理統(tǒng)計(jì)與管理，2009,28(5):826-830.

[7] 黃 娟. 右刪失數(shù)據(jù)下Pareto分布參數(shù)經(jīng)驗(yàn)Bayes漸進(jìn)性質(zhì)[J]. 工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào), 2010,27(5)：781-788.

[8] 宋立新，王明秋，王曉光.q-對(duì)稱(chēng)熵?fù)p失函數(shù)下Pareto分布參數(shù)估計(jì)[J]. 大連理工大學(xué)學(xué)報(bào)， 2011,51(4):616-620.

[9] 王 芳，門(mén) 慧. 三參數(shù)廣義帕累托分布的似然矩估計(jì)[J]. 數(shù)學(xué)年刊, 2013,34(3):299-312.

[10] 王 娟，徐付霞.Pareto 分布中尺度參數(shù)的區(qū)間估計(jì)[J]. 哈爾濱商業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2015,31(5):629-633.

[11] YOGESH M T, SOMESH K, CONSTANTINOS P. Estimating the shape parameter of a Pareto distribution under restrictions[J]. Metrika, 2016,79(1):91-111.

[12] 徐 寶，姜玉秋，滕 飛. 一種加權(quán)對(duì)稱(chēng)損失函數(shù)下一類(lèi)指數(shù)分布模型參數(shù)的估計(jì)[J]. 四川師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2011,34(4):484-487.

[13] 周光亞，趙振全，趙 文. 數(shù)理統(tǒng)計(jì)(Ⅱ)[M]. 長(zhǎng)春:吉林大學(xué)出版社，1988.

[14] BERGER J O. Statistical decision theory and Bayesian analysis. 2nd ed[M]. New York:Springer，1985.

[15] 茆詩(shī)松，王靜龍，濮曉龍. 高等數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].北京:高等教育出版社，1998.

MinimumRiskEquivariantEstimatorofParetoDistributionShapeParameter

XUBao*,WANGYu-ting,MAYi-guang

(Faculty of Mathematics, Jilin Normal University, Siping 136000, China)

For the Pareto distribution, in the present work, the form and property of the minimum risk equivariant estimator for shape parameters with known local parameters were investigated under weightedp,qsymmetric entropy loss by the method of parameter estimation. The general form of the minimum risk equivariant estimator was obtained, and the exact form of the minimum risk equivariant estimator was found using the general Bayes estimator of shape parameter. The minimaxity of this minimum risk equivariant estimator was proved. The relationships among the general Bayes estimator, the minimum risk equivariant estimator, and the minimax estimator have been established.

Pareto distribution; minimum risk equivariant estimator; Bayes estimator; minimax estimator

10.7612/j.issn.1000-2537.2017.06.013

2016-11-16

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11571138)

*通訊作者,E-mail：xubao97@163.com

O212.8

A

1000-2537(2017)06-0076-04

(編輯 HWJ)